Bài 40 trang 84 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC,\) các đường trung tuyến \(BD,\) \(CE.\) Gọi \(M, N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BE, CD. \) Gọi \(I, K\) theo thứ tự là giao điểm của \(MN\) với \(BD, CE.\) Chứng minh rằng \(MI = IK = KN.\)

Lời giải chi tiết

Trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(E\) là trung điểm của cạnh \(AB\)

\(D\) là trung điểm của cạnh \(AC\)

Nên \(ED\) là đường trung bình của \(∆ ABC\)

\( \Rightarrow ED//BC\) và \(ED = \displaystyle {1 \over 2}BC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Vì \(ED//BC\) nên tứ giác \(BCDE\) là hình thang. 

Trong hình thang \(BCDE,\) ta có: \(BC // DE\)

\(M\) là trung điểm cạnh bên \(BE\)

\(N\) là trung điểm cạnh bên \(CD\)

Nên \(MN\) là đường trung bình hình thang \(BCDE ⇒ MN // DE\)

\(MN =\displaystyle  {{DE + BC} \over 2}\)\( = \displaystyle { \displaystyle {{\displaystyle {BC} \over 2} + BC} \over 2} = {{3BC} \over 4}\) (tính chất đường trung bình hình thang)

Trong tam giác \(BED\) ta có:

\(M\) là trung điểm của \(BE\)

\(MI // DE\)

Suy ra: \(MI\) là đường trung bình của \(∆ BED\)

\( \Rightarrow MI = \displaystyle  {1 \over 2}DE \)\(= \displaystyle {1 \over 2}.{1 \over 2}BC= {1 \over 4}BC\) (tính chất đường trung bình tam giác)

Trong tam giác \(CED\) ta có:

\(N\) là trung điểm của \(CD\)

\(NK // DE\)

Suy ra: \(NK\) là đường trung bình của \(∆ CED\)

\( \Rightarrow NK = \displaystyle {1 \over 2}DE \)\( =\displaystyle {1 \over 2}.{1 \over 2}BC= {1 \over 4}BC\) (tính chất đường trung bình tam giác)

\(\eqalign{
& IK = MN - \left( {MI + NK} \right) \cr 
& = {3 \over 4}BC - \left( {{1 \over 4}BC + {1 \over 4}BC} \right) = {1 \over 4}BC \cr 
& \Rightarrow MI = IK = KN = {1 \over 4}BC \cr} \)

Loigiaihay.com