Bài 43 trang 85 SBT toán 8 tập 1

Giải bài 43 trang 85 sách bài tập toán 8. Hình thang ABCD có AB // CD, AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh A và D cắt nhau tại M, các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau tại N.

Quảng cáo

Đề bài

Hình thang \(ABCD\) có \(AB // CD,\) \(AB = a,\) \(BC = b,\) \(CD = c,\) \(DA = d.\) Các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh \(A\) và \(D\) cắt nhau tại \(M,\) các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(N.\)

\(a)\) Chứng ninh rằng \(MN // CD.\)

\(b)\) Tính độ dài MN theo \(a, b, c, d\) (\(a, b, c, d\) có cùng đơn vị đo)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Trong tam giác cân, đường phân giác ứng với cạnh đáy cũng là đường trung tuyến.

+) Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

+) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Gọi \(M’\) và \(N’\) là giao điểm của tia \(AM\) và \(BN\) với \(CD.\)

Vì ABCD là hình thang nên \(AB//CD\) hay \(AB//M'N'\)

Suy ra \(ABN'M'\) cũng là hình thang.

Ta có:

Vì \(AB//M'N'\) nên \(\widehat {M'} = {\widehat A_2}\) (hai góc so le trong)

\({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (do AM' là phân giác góc ngoài tại đỉnh A)

Suy ra: \(\widehat {M'} = {\widehat A_1}\) 

Nên \(∆ ADM’\) cân tại \(D\)

Có \(DM\) là phân giác của \(\widehat {ADM'}\) 

Suy ra: \(DM\) là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

\(⇒ AM = MM’\) (1)

Vì \(AB//M'N'\) nên \(\widehat {N'} = {\widehat B_2}\) (hai góc so le trong)

\({\widehat B_1} = {\widehat B_2}\) (do BN' là phân giác góc ngoài tại đỉnh B)

Suy ra: \(\widehat {N'} = {\widehat B_1}\) 

Nên \(∆ BCN’\) cân tại \(C\)

Có \(CN\) là phân giác của \(\widehat {BCN'}\)

Suy ra: \(CN\) là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

\(⇒ BN = NN’\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABN’M’\)

\(⇒ MN // M’N’\) (tính chất đường trung bình hình thang)

Hay \(MN // CD\)

\(b)\) \(MN =\displaystyle  {{AB + M'N'} \over 2}\) (tính chất đường trung bình của hình thang)

\( \Rightarrow MN = \displaystyle  {{AB + M'D + CD + CN'} \over 2}\;\,( * )\)

Mà \(M’D = AD\) (vì \(∆ ADM’\) cân tại \(D\)) và \(CN’ = BC\) (vì \(∆ BCN’\) cân tại \(C\))

Thay vào \((*)\) ta được: 

\(MN = \displaystyle  {{AB + AD + CD + BC} \over 2}\)\( = \displaystyle {{a + d + c + b} \over 2}\)

Loigiaihay.com

  • Bài 44 trang 85 SBT toán 8 tập 1

    Giải bài 44 trang 85 sách bài tập toán 8. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi O là trung điểm của AM. Qua O kẻ đường thẳng d cắt các cạnh AB và AC. Gọi AA’, BB’, CC’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C đến đường thẳng d. Chứng minh rằng:...

  • Bài 4.1 phần bài tập bổ sung trang 85 SBT toán 8 tập 1

    Giải bài 4.1 phần bài tập bổ sung trang 85 sách bài tập toán 8. Trên hình bs.1, ta có AB // CD // EF // GH và AC = CE = EG. Biết CD = 9, GH = 13. Các độ dài AB và EF bằng:...

  • Bài 4.2 phần bài tập bổ sung trang 85 SBT toán 8 tập 1

    Giải bài 4.2 phần bài tập bổ sung trang 85 sách bài tập toán 8. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B có khoảng cách đến đường thẳng d theo thứ tự là 20cm và 6cm. Gọi C là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng d.

  • Bài 4.3 phần bài tập bổ sung trang 85 SBT toán 8 tập 1

    Giải bài 4.3 phần bài tập bổ sung trang 85 sách bài tập toán 8. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = AB. Gọi K là giao điểm của DM và AC. Chứng minh rằng AK = 2KC.

  • Bài 42 trang 84 SBT toán 8 tập 1

    Giải bài 42 trang 84 sách bài tập toán 8. Chứng minh rằng trong hình thang mà hai đáy không bằng nhau, đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo bằng nửa hiệu hai đáy.

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close