Sự biến thiên của hàm số bậc hai.

(a > 0) Hàm số nghịch biến trên (( - infty ; - frac{b}{{2a}})), đồng biến trên (( - frac{b}{{2a}}; + infty ))

Quảng cáo

1. Lý thuyết

Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\)

 

Trên khoảng \(( - \infty ; - \frac{b}{{2a}})\)

Trên khoảng \(( - \frac{b}{{2a}}; + \infty )\)

\(a > 0\)

Hàm số nghịch biến

Hàm số đồng biến

\(a < 0\)

Hàm số đồng biến

Hàm số nghịch biến

+ Bảng biến thiên

+ Chú ý

Từ bảng biến thiên, ta thấy

Khi \(a > 0\), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\) tại \(x =  - \frac{b}{{2a}}\) và hàm số có tập giá trị là \([ - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}; + \infty )\)

Khi \(a < 0\), hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \( - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\) tại \(x =  - \frac{b}{{2a}}\) và hàm số có tập giá trị là \(( - \infty ; - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}]\)

 

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của hàm số \(y = {x^2} + 2x + 2\)

Hàm số \(y = {x^2} + 2x + 2\) có \(a = 1,b = 2,c = 2\)

\( \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{2}{{2.1}} =  - 1;y( - 1) = {( - 1)^2} + 2.( - 1) + 2 = 1\)

Bảng biến thiên

 

Hàm số đồng biến trên \(( - 1; + \infty )\), nghịch biến trên \(( - \infty ; - 1)\)

 

Ví dụ 2. Lập bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y =  - {x^2} + 2x\)

Hàm số \(y =  - {x^2} + 2x\) có \(a =  - 1,b = 2,c = 0\)

\( \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{2}{{2.( - 1)}} = 1;y(1) =  - {1^2} + 2.1 = 1\)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ;1)\), nghịch biến trên \((1; + \infty )\)

  • Tính chẵn lẻ của hàm số

    Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu (forall x in D) thì ( - x in D) và (f( - x) = f(x)) Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu (forall x in D) thì ( - x in D) và (f( - x) = - f(x))

  • Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai.

    Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức \(y = a{x^2} + bx + c\), trong đó \(x\) là biến số, \(a,b,c\) là hằng số và \(a \ne 0\).

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close