Sự biến thiên của hàm số

Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\) Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\)

Quảng cáo

1. Lý thuyết

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng (a;b).

+ Định nghĩa:

Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu

            \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)

Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu

            \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\)

Xét sự biến thiên của hàm số là tìm các khoảng hàm số đồng biến và các khoảng hàm số nghịch biến.

+ Mô tả sự biến thiên bằng bảng biến thiên

Kết quả xét sự biến thiên được tổng kết trong một bảng biến thiên. Trong đó:

Dấu mũi tên đi lên diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng tương ứng.

Dấu mũi tên đi xuống diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng tương ứng.

+ Mô tả sự biến thiên bằng đồ thị

Hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số  có dạng “đi lên” (từ trái sang phải) trên khoảng đó.

Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số có dạng “đi xuống” (từ trái sang phải) trên khoảng đó.

+ Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a > 0\), nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a < 0\).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chứng minh hàm số \(y = 2{x^2}\)đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\)

Xét hai số bất kì \({x_1},{x_2} \in (0; + \infty )\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).

Ta có: \(0 < {x_1} < {x_2}\) nên \(2{x_1}^2 < 2{x_2}^2\) hay \(f({x_1}) < f({x_2})\)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\)

Ví dụ 2. Cho bảng biến thiên của hàm số \(y = 2{x^2} + 1\)

 

  • Dấu mũi tên đi xuống diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\)
  • Dấu mũi tên đi lên diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\)

Ví dụ 3. Cho đồ thị của hàm số \(y = f(x)\)

 

Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên khoảng (2;5)

Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng (-4;2)

  • Đồ thị của hàm số

    Đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm \(M(x;f(x))\) trên mặt phẳn tọa độ với mọi x thuộc D. Kí hiệu: \((C) = \{ M(x;f(x))|x \in D\} \)

  • Tập xác định, tập giá trị của hàm số

    Tập xác định của hàm số \(y = f(x)\) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức \(f(x)\) có nghĩa. Tập giá trị của hàm số \(y = f(x)\) là tập hợp tất cả các giá trị \(f(x)\) tương ứng với x thuộc tập xác định.

  • Hàm số. Cách cho một hàm số

    Nếu với mỗi giá trị \(x\) thuộc tập D, ta xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng thuộc tập hợp số thực \(\mathbb{R}\) thì ta có một hàm số.

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close