Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai.

1. Lý thuyết

+ Định nghĩa:

Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức $y = a{x^2} + bx + c$, trong đó $x$ là biến số, $a,b,c$ là hằng số và $a \ne 0$.

Tập xác định của hàm số bậc hai là $\mathbb{R}$

+ Đồ thị hàm số bậc hai

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)$ là một parabol, có đỉnh là điểm $I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}} \right)$, có trục đối xứng là đường thẳng $x =  - \frac{b}{{2a}}$.

Parabol này quay bề lõm lên trên nếu $a > 0$, xuống dưới nếu $a < 0$.

+ Các bước vẽ đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$

Bước 1: Xác định a,b,c từ đó suy ra tọa độ đỉnh $I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}} \right)$

Bước 2: Xác định trục đối xứng  $x =  - \frac{b}{{2a}}$

Bước 3: Xác định giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) và vài điểm đặc biệt (đối xứng nhau qua trục đối xứng) trên parabol

Bước 4: Vẽ parabol.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Vẽ đồ thị hàm số $y = {x^2} + 2x + 2$

Hàm số $y = {x^2} + 2x + 2$ có $a = 1,b = 2,c = 2$

$\Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{2}{{2.1}} =  - 1;y( - 1) = {( - 1)^2} + 2.( - 1) + 2 = 1$

+ Tọa độ đỉnh $I( - 1;1)$

+ Trục đối xứng $x =  - 1$

+ Giao điểm với trục tung là A(0;2), không cắt trục hoành (vì $y = {x^2} + 2x + 2 = {(x + 1)^2} + 1 > 0\;\forall x \in \mathbb{R}$)

+ Lấy điểm B(-2;2) đối xứng với A(0;2) qua trục đối xứng. Điểm C(1;5), D(-3;5) thuộc đồ thị.

Ví dụ 2. Vẽ đồ thị hàm số $y =  - {x^2} + 2x$

Hàm số $y =  - {x^2} + 2x$ có $a =  - 1,b = 2,c = 0$

$\Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{2}{{2.( - 1)}} = 1;y(1) =  - {1^2} + 2.1 = 1$

+ Tọa độ đỉnh $I(1;1)$

+ Trục đối xứng $x = 1$

+ Giao điểm với trục tung là O(0;0), điểm giao với trục hoành là A(2;0)

+ Lấy điểm B(-1;-3) thuộc đồ thị. Điểm C(3;-3) đối xứng với B(-1;-3) qua trục đối xứng