Bài 95 trang 92 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ điểm $D$ thuộc cạnh $BC.$ Gọi $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $AB,$ gọi $F$ là điểm đối xứng với $D$ qua $AC.$ Chứng minh rằng các điểm $E$ và $F$ đối xứng nhau qua điểm $A.$

Lời giải chi tiết

Vì $E$ đối xứng với $D$ qua $AB$

$⇒ AB$ là đường trung trực của đoạn thẳng $DE$

$⇒ AD = AE$ (tính chất đường trung trực)

Nên $∆ ADE$ cân tại $A$

Ta có $∆ ADE$ cân tại $A$ có AB là đường trung trực 

Suy ra: $AB$ cũng là đường phân giác của $\widehat {DAE} \Rightarrow {\widehat A_1} = \widehat {{A_2}}$

Vì $F$ đối xứng với $D$ qua $AC$

$⇒ AC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $DF$

$⇒ AD = AF$ ( tính chất đường trung trực)

Nên $∆ ADF$ cân tại $A$

Ta có $∆ ADF$ cân tại $A$ có AC là đường trung trực

Suy ra: $AC$ cũng là đường phân giác của $\widehat {DAF}$

$\Rightarrow {\widehat A_3} = {\widehat A_4}$

$\widehat {EAF} = \widehat {EAD} + \widehat {{\rm{DAF}}}$$= {\widehat A_2} + {\widehat A_1} + {\widehat A_3} + {\widehat A_4}$

$= 2\left( {{{\widehat A}_1} + {{\widehat A}_3}} \right) = {2.90^0} = {180^0}$

$⇒ E, A, F$ thẳng hàng có $AE = AF = AD$

Nên $A$ là trung điểm của $EF$ hay điểm $E$ đối xứng với $F$ qua điểm $A.$

Loigiaihay.com