Bài 61 trang 87 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $\widehat A = {60^0}$, trực tâm $H.$ Gọi $M$ là điểm đối xứng với $H$ qua $BC.$

$a)$ Chứng minh $∆ BHC = ∆ BMC.$

$b)$ Tính $\widehat {BMC}$

Lời giải chi tiết

$a)$ Vì $M$ đối xứng với $H$ qua trục $BC$

  $⇒ BC$ là đường trung trực của $HM$

  $⇒ BH = BM$ ( tính chất đường trung trực)

      $CH = CM$ ( tính chất đường trung trực)

Xét tam giác $BHC$ và tam giác $BMC$ có:

Cạnh $BC$ chung

$BH= BM$ ( chứng minh trên)

$CH = CM$ (chứng minh trên) 

Suy ra: $∆ BHC = ∆ BMC \;\; (c.c.c)$

$b)$ Gọi giao điểm $BH$ với $AC$ là $D,$ giao điểm của $CH$ và $AB$ là $E$

$H$ là trực tâm của $∆ ABC$

$⇒ BD ⊥ AC, CE ⊥ AB$

+) Xét tứ giác $ADHE$ ta có:

 $\widehat {DHE} +\widehat A + \widehat D + \widehat E= {360^0}$ (tổng 4 góc trong tứ giác bằng $360^0)$ 

 $\Rightarrow \widehat {DHE} = {360^0} - \left( {\widehat A + \widehat D + \widehat E} \right)$

$= {360^0} - \left( {{{60}^0} + {{90}^0} + {{90}^0}} \right) = {120^0}$ (1)

+) Mà $\widehat {BHC} = \widehat {DHE}$  (đối đỉnh) (2)

+) Vì $∆ BHC = ∆ BMC$ (chứng minh trên) nên $\widehat {BMC} = \widehat {BHC}$ ( 2 góc tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\widehat {BMC} = \widehat {DHE} = {120^0}$