Bài 54 trang 166 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Tam giác \(ABC\) có hai trung tuyến \(AM\) và \(BN\) vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo \(AM\) và \(BN\)

Lời giải chi tiết

Tứ giác \(ABMN\) có hai đường chéo vuông góc.

\({S_{ABMN}} = \eqalign{1 \over 2}AM.BN\)

\(∆ ABM\) và \(∆ AMC\) có chung chiều cao kẻ từ \(A,\) cạnh đáy \(BM = MC\)

\( \Rightarrow {S_{ABM}} = {S_{AMC}} = \eqalign{1 \over 2}{S_{ABC}}\)

\(∆ MAN\) và \(∆ MNC\) có chung chiều cao kẻ từ \(M,\) cạnh đáy \(AN = NC\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow {S_{MAN}} = {S_{MNC}} = {1 \over 2}{S_{AMC}} } \) \(\eqalign{ = {1 \over 4} {S_{ABC}}} \)  

\(\eqalign{{S_{ABMN}} = {S_{ABM}} + {S_{MNA}}} \) 

\(= \eqalign{{1 \over 2}{S_{ABC}} + {1 \over 4}{S_{ABC}} }\)

\(= \eqalign{{3 \over 4}{S_{ABC}} }\) 

\(\Rightarrow \eqalign{{S_{ABC}} = \eqalign{4 \over 3}{S_{ABMN}} }\) \(= \eqalign{{4 \over 3}.\eqalign{1 \over 2}.AM.BN =\eqalign {2 \over 3}AM.BN }\)

Loigiaihay.com