Giải bài 4.38 trang 87 SGK Toán 7 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có $\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ$. Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng:

a) $\Delta$BAM = $\Delta$CAN;

b) Các tam giác ANB, AMC lần lượt cân tại N, M.

Lời giải chi tiết

a) Xét 2 tam giác vuông BAM và CAN có:

$\widehat{BAM} = \widehat{CAM}(=90^0)$

AB=AC (Do tam giác ABC cân tại A)

$\widehat B = \widehat C$ (Do tam giác ABC cân tại A)

=>$\Delta BAM = \Delta CAN$(g.c.g)

b) Cách 1: 

Xét tam giác ABC cân tại A, có $\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ$ có:

$\widehat B = \widehat C = \frac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}$.

Xét tam giác ABM vuông tại A có:

$\widehat {B} + \widehat {BAM} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow {30^o} + {90^o} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMB} = {60^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMC} = {180^o} - \widehat {AMB} = {180^o} - {60^o} = {120^o}$

Xét tam giác MAC có:

$\begin{array}{l}\widehat {AMC} + \widehat {MAC} + \widehat C = {180^o}\\ \Rightarrow {120^o} + \widehat {MAC} + {30^o} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {MAC} = {30^o} = \widehat C\end{array}$

$\Rightarrow$ Tam giác AMC cân tại M.

Vì $\Delta BAM = \Delta CAN$

=> BM=CN ( 2 cạnh tương ứng)

=> BM+MN=CN+NM

=> BN=CM

Xét 2 tam giác ANB và AMC có:

AB=AC (cmt)

$AN = AM$(do $\Delta BAM = \Delta CAN$)

BN=MC (cmt)

=>$\Delta ANB = \Delta AMC$(c.c.c)

Mà tam giác AMC cân tại M.

=> Tam giác ANB cân tại N.

Cách 2: 

Xét tam giác ABC cân tại A, có $\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ$ có:

$\widehat B = \widehat C = \frac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}$.

Xét tam giác ABM vuông tại A có:

$\widehat B + \widehat {BAM} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow {30^o} + {90^o} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMB} = {60^o}$

Vì $\Delta BAM = \Delta CAN$ nên AM = AN (2 cạnh tương ứng)

=> $\Delta AMN$ đều (Tam giác cân có 1 góc bằng 60 độ)

=> $\widehat {NAM}=60^0$

Ta có: $\widehat{BAN}+\widehat{NAM}=\widehat{BAM}$

=> $\widehat{BAN} + 60^0=90^0$

=> $\widehat{BAN}=30^0$

Xét tam giác ABN có $\widehat{BAN}=\widehat{ABN}(=30^0$ nên $\Delta ABN$ cân tại N.

Ta có: $\widehat{CAM}+\widehat{NAM}=\widehat{CAN}$

=> $\widehat{CAM} + 60^0=90^0$

=> $\widehat{CAM}=30^0$

Xét tam giác ACM có $\widehat{CAM}=\widehat{ACM}(=30^0$ nên $\Delta ACM$ cân tại M.