Giải bài 4.38 trang 87 SGK Toán 7 tập 1 - Kết nối tri thứcCho tam giác ABC cân tại A có A= 120 . Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng: Quảng cáo
Đề bài Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ \). Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng: a) \(\Delta \)BAM = \(\Delta \)CAN; b) Các tam giác ANB, AMC lần lượt cân tại N, M. Phương pháp giải - Xem chi tiết a) Chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp g-c-g b) Chứng minh tam giác có 2 cạnh bằng nhau hoặc 2 góc bằng nhau Lời giải chi tiết a) Xét 2 tam giác vuông BAM và CAN có: \(\widehat{BAM} = \widehat{CAM}(=90^0)\) AB=AC (Do tam giác ABC cân tại A) \(\widehat B = \widehat C\) (Do tam giác ABC cân tại A) =>\(\Delta BAM = \Delta CAN\)(g.c.g) b) Cách 1: Xét tam giác ABC cân tại A, có \(\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ \) có: \(\widehat B = \widehat C = \frac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}\). Xét tam giác ABM vuông tại A có: \(\widehat {B} + \widehat {BAM} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow {30^o} + {90^o} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMB} = {60^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMC} = {180^o} - \widehat {AMB} = {180^o} - {60^o} = {120^o}\) Xét tam giác MAC có: \(\begin{array}{l}\widehat {AMC} + \widehat {MAC} + \widehat C = {180^o}\\ \Rightarrow {120^o} + \widehat {MAC} + {30^o} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {MAC} = {30^o} = \widehat C\end{array}\) \(\Rightarrow \) Tam giác AMC cân tại M. Vì \(\Delta BAM = \Delta CAN\) => BM=CN ( 2 cạnh tương ứng) => BM+MN=CN+NM => BN=CM Xét 2 tam giác ANB và AMC có: AB=AC (cmt) \(AN = AM\)(do \(\Delta BAM = \Delta CAN\)) BN=MC (cmt) =>\(\Delta ANB = \Delta AMC\)(c.c.c) Mà tam giác AMC cân tại M. => Tam giác ANB cân tại N. Cách 2: Xét tam giác ABC cân tại A, có \(\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ \) có: \(\widehat B = \widehat C = \frac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}\). Xét tam giác ABM vuông tại A có: \(\widehat B + \widehat {BAM} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow {30^o} + {90^o} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMB} = {60^o}\) Vì \(\Delta BAM = \Delta CAN\) nên AM = AN (2 cạnh tương ứng) => \(\Delta AMN\) đều (Tam giác cân có 1 góc bằng 60 độ) => \(\widehat {NAM}=60^0\) Ta có: \(\widehat{BAN}+\widehat{NAM}=\widehat{BAM}\) => \(\widehat{BAN} + 60^0=90^0\) => \(\widehat{BAN}=30^0\) Xét tam giác ABN có \(\widehat{BAN}=\widehat{ABN}(=30^0\) nên \(\Delta ABN\) cân tại N. Ta có: \(\widehat{CAM}+\widehat{NAM}=\widehat{CAN}\) => \(\widehat{CAM} + 60^0=90^0\) => \(\widehat{CAM}=30^0\) Xét tam giác ACM có \(\widehat{CAM}=\widehat{ACM}(=30^0\) nên \(\Delta ACM\) cân tại M.
Quảng cáo
|