Bài 1.2 phần bài tập bổ sung trang 83 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao là \(AD \;(D ∈ BC)\). Từ \(D\), kẻ \(DE\) vuông góc với \(AB\; (E ∈ AB)\) và \(DF\) vuông góc với \(AC\; (F ∈ AC).\)

Hỏi rằng, khi độ dài các cạnh \(AB, AC\) thay đổi thì tổng \(\displaystyle {{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}}\) có thay đổi hay không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Vì \(DE\) và \(CA\) cùng vuông góc với \(AB\) nên \(DE // AC\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(DE//AC\)

Theo định lí Ta-lét, ta có:

\(\displaystyle {{AE} \over {AB}} = {{CD} \over {CB}}\)       (1)

Vì \(DF\) và \(BA\) cùng vuông góc với \(AC\) nên \(DF//AB\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(DF//AB\)

Theo định lí Ta-lét, ta có:

\(\displaystyle {{AF} \over {AC}} = {{BD} \over {BC}}\)       (2)

Cộng (1) và (2) theo vế với vế, ta có:

\(\displaystyle {{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}} = {{CD} \over {CB}} + {{BD} \over {BC}}\)

\(\displaystyle \Rightarrow {{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}}= {{CD + BD} \over {BC}}\)

\(\displaystyle \Rightarrow {{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}} = {{BC} \over {BC}} = 1\)

Tổng \(\displaystyle {{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}}\) không thay đổi vì luôn có giá trị bằng \(1.\)

Vậy khi độ dài cạnh góc vuông \(AB, AC\) của tam giác vuông \(ABC\) thay đổi thì tổng \(\displaystyle {{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}}\) luôn luôn không thay đổi. Tổng đó luôn có giá trị bằng \(1.\)

Loigiaihay.com