Bài 101 trang 92 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho góc \(xOy,\) điểm \(A\) nằm trong góc đó. Vẽ điểm \(B\) đối xứng với \(A\) qua \(Ox,\) vẽ điểm \(C\) đối xứng với \(A\) qua \(Oy.\)

\(a)\) Chứng minh rằng \(OB = OC\)

\(b)\) Tính số đo góc \(xOy\) để \(B\) đối xứng với \(C\) qua \(O.\)

Lời giải chi tiết

\(a)\) Vì \(B\) đối xứng với \(A\) qua trục \(Ox\) nên \(Ox\) là đường trung trực của đoạn \(AB.\)

\(⇒ OA = OB\) (tính chất đường trung trực) \((1)\)

Vì \(C\) đối xứng với \(A\) qua trục \(Oy\) nên \(Oy\) là đường trung trực của đoạn \(AC.\)

\(⇒ OA = OC\) (tính chất đường trung trực) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(OB = OC.\)

\(b)\) Ta có: \(OB = OC\) do đó điểm \(B\) đối xứng với điểm \(C\) qua tâm \(O\) cần thêm điều kiện \(B, O, C \) thẳng hàng.

\(∆ OAB\) cân tại \(O\) có \(Ox\) là đường trung trực của \(AB\) nên \(Ox\) cũng là đường phân giác của \(\widehat {AOB} \Rightarrow {\widehat O_1} = {\widehat O_3}\)

\(∆ OAC\) cân tại \(O\) có \(Oy\) là đường trung trực của \(AC\) nên \(Oy\) cũng là đường phân giác của \(\widehat {AOC} \Rightarrow {\widehat O_2} = {\widehat O_4}\)

\(B, O, C\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow {\widehat O_1} +{\widehat O_2} + {\widehat O_3} + {\widehat O_4} = {180^0}\)

\(\eqalign{&  \Leftrightarrow 2{\widehat O_1} + 2{\widehat O_2} = {180^0}  \cr&  \Leftrightarrow {\widehat O_1} + {\widehat O_2} = {90^0}  \cr&  \Leftrightarrow \widehat {xOy} = {90^0} \cr} \)

Vậy \(\widehat {xOy} = {90^0}\) thì \(B\) đối xứng với \(C\) qua tâm \(O.\)

Loigiaihay.com