Bài 10 trang 80 SBT toán 8 tập 1

Giải bài 10 trang 80 sách bài tập toán 8. Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.

Quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Lời giải chi tiết

Đặt độ dài \(AB = a,\) \(BC = b,\) \( CD = c,\) \(AD = d\)

Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\)

Trong \(∆OAB,\) ta có:

\(OA + OB > a\) (bất đẳng thức tam giác)\( (1)\)

Trong \(∆OCD\) ta có:

\(OC + OD > c\) (bất đẳng thức tam giác)\( (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra:

\(OA + OB + OC + OD > a + c\)

Hay \(AC + BD > a + c  \;\;(*)\)

Trong \(∆OAD\) ta có: \(OA + OD > d\) (bất đẳng thức tam giác) \((3)\)

Trong \(∆OBC\) ta có: \(OB + OC > b\) (bất đẳng thức tam giác) \((4)\)

Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(OA + OD + OB + OC > b + d\)

\(⇒ AC + BD > b + d \;\;(**)\)

Từ \((*)\) và \((**)\) suy ra: \(2(AC + BD) > a + b + c + d\)

\(⇒ AC + BD > \displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\)

Trong \(∆ABC\) ta có: \(AC < AB + BC =  a + b\) (bất đẳng thức tam giác)

Trong \(∆ADC\) ta có: \(AC < AD + DC = c + d\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: \(2AC < a + b + c + d\)

\(AC < \displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\)   \((5)\)

Trong \(∆ABD\) ta có: \(BD < AB + AD = a + d\) (bất đẳng thức tam giác)

Trong \(∆BCD\) ta có: \(BD < BC + CD = b + c\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: \(2BD < a + b + c + d\)

\(BD < \displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\)   \((6)\)

Từ \((5)\) và \((6)\) suy ra: \(AC + BD < a + b + c + d\)

Vậy \(\displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\)

Loigiaihay.com

Xem thêm tại đây: Bài 1. Tứ giác
Quảng cáo
list
close
Gửi bài