Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto - SGK Toán 10 Cánh diều

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

a) Tích vô hướng của hai vecto có cùng điểm đầu

b) Tích vô hướng  của hai vecto tùy ý

Cho hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ khác $\overrightarrow 0$, kí hiệu là $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$. Lấy một điểm O và vẽ vecto $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a$, $\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b$.

Quy ước: Tích vô hướng của một vecto bất kì vói vecto $\overrightarrow 0$ là số 0.

Chú ý:

+) $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow a } \right)$.

+) Nếu $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^o}$ thì ta nói hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\vec a \bot \vec b$ hoặc $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b$. Khi đó $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos {90^o} = 0$.

+) Tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng bằng tích hai độ dài của chúng.

+) Tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng bằng số đối của tích hai độ dài của chúng.

2. Tính chất

Trong đó, kí hiệu $\overrightarrow a .\overrightarrow a  = {\overrightarrow a ^2}$ và biểu thức này được gọi là bình phương vô hướng của vecto $\overrightarrow a$.

3. Một số ứng dụng

a) Tính độ dài của đoạn thẳng

Nhận xét: Với hai điểm A, B phân biệt, ta có ${\overrightarrow {AB} ^2} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2}$. Do đó, độ dài đoạn thẳng AB được tính như sau: $AB = \sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}}$.

b) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Nhận xét: Cho hai vecto bất kì $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ khác $\overrightarrow 0$. Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b$.

B. Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = 4 cm.

a) Tính độ dài cạnh huyền BC.

b) Tính $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$; $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}$.

Giải:

a) $BC = AB\sqrt 2  = 4\sqrt 2$ (cm).

b) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$

$= 4.4.\cos \widehat {BAC} = 16.\cos {90^o} = 16.0 = 0$.

$\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)$

$= 4.4\sqrt 2 .\cos \widehat {ABC} = 16\sqrt 2 .\cos {45^o} = 16\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 16$.

Bài 2: Cho hình vuông ABCD tâm O có độ dài cạnh bằng a. Tính:

a) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OC}$.

b) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD}$.

c) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OD}$.

Giải:

a) Ta có: $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {OC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right) = \widehat {BAO} = {45^o}$.

Vậy $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {OC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {OC} } \right) = a.\frac{a}{{\sqrt 2 }}.\cos {45^o} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}$.

b) Vẽ vecto $\overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AB}$. Ta có:

$\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \widehat {EBD} = {135^o}$.

Vậy $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = a.a\sqrt 2 .\cos {135^o} = {a^2}\sqrt 2 .\frac{{ - \sqrt 2 }}{2} =  - {a^2}$.

c) Vì $\overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {BO}  = \overrightarrow {OD}$ nên $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {OD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BO} } \right) = \widehat {EBO} = {135^o}$.

Vậy $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OD}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {OD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {OD} } \right) = a.\frac{a}{{\sqrt 2 }}.\cos {135^o} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }}.\frac{{ - \sqrt 2 }}{2} = \frac{{ - {a^2}}}{2}$.

Bài 3: Cho đoạn thẳng AB và I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng với mỗi điểm O, ta có:

a) $\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IB}  = 0$.

b) $\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {OB} }^2} - {{\overrightarrow {OA} }^2}} \right)$.

Giải:

a) Vì I là trung điểm của AB nên $\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0$.

Vậy $\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow {OI} .\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) = \overrightarrow {OI} .\overrightarrow 0  = 0$.

b) Vì I là trung điểm AB nên $2\overrightarrow {OI}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA}  \Leftrightarrow \overrightarrow {OI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA} } \right)$.

Vậy $\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA} } \right).\left( {\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} } \right) = \frac{1}{2}.\left( {{{\overrightarrow {OB} }^2} - {{\overrightarrow {OA} }^2}} \right)$.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}$.

Giải:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0$ (do $\overrightarrow {AB}$ vuông góc với $\overrightarrow {AC}$).

Bài 5: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A$ (định lí cosin trong tam giác).

Giải:

Ta có ${\overrightarrow {BC} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} - 2.\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}$.

Suy ra $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$

$= A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A$.