Giải mục I trang 93, 94 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

LT-VD 1

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat B = {30^o},AB = 3\;cm.$ Tính $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} ;\;\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} .$

Phương pháp giải:

+) Tính tích vô hướng $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}$ bằng công thức $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos (\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} )$

Trong đó: $(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ) = \widehat {ABC}$ là góc giữa hai vecto $\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $BC = \frac{{AB}}{{\cos {{30}^o}}} = 3:\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3$; $AC = BC.\sin \widehat {ABC} = 2\sqrt 3 .\sin {30^o} = \sqrt 3 .$

$\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos (\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ) = 3.2\sqrt 3 .\cos \widehat {ABC} = 6\sqrt 3 .\cos {30^o} = 6\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 9.$

$\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = \left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|\cos (\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} ) = \sqrt 3 .2\sqrt 3 .\cos \widehat {ACB} = 6.\cos {60^o} = 6.\frac{1}{2} = 3.$

LT-VD 2

Cho tam giác ABC đều cạnh a, AH là đường cao. Tính:

 a) $\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {BA}$

b) $\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}$

Phương pháp giải:

+) Tính tích vô hướng $\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {BA}$ bằng công thức $\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {BA}  = \left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BA} } \right|\cos (\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {BA} )$

+) $(\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {BA} ) = (\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BA} )$ nếu $\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {CB}$

Lời giải chi tiết:

a) Vẽ vecto $\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {CB}$. Ta có:

$(\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {BA} ) = (\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BA} ) = \widehat {DBA} = {120^o}$

Vậy $\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {BA}  = \left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BA} } \right|\cos (\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {BA} ) = a.a.\cos {120^o} = {a^2}.\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - \frac{{{a^2}}}{2}.$

b) Vì $AH \bot BC$ nên $$(\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} ) = {90^o}$$ , suy ra $\cos (\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} ) = \cos {90^o} = 0.$

Vậy $\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {AH} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos (\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} ) = 0.$