Lý thuyết Tích của một số với một vecto - SGK Toán 10 Cánh diều

A. Lý thuyết 1. Định nghĩa

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa...

Quảng cáo

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho số thực \(k \ne 0\) và vecto \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \). Tích của số k với vecto \(\overrightarrow a \) là một vecto, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \), được xác định như sau:

+) Cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu k > 0, ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu k < 0.

+) Có độ dài bằng \(\left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|\).

Quy ước: \(0\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \), \(k\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \).

Phép lấy tích của một số với một vecto gọi là phép nhân một số với một vecto.

2. Tính chất

Với hai vecto bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và hai số thực h, k, ta có:

+) \(k\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b \); \(k\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a - k\overrightarrow b \)

+) \((h + k)\overrightarrow a = h\overrightarrow a + k\overrightarrow a \)

+) \(h\left( {k\overrightarrow a } \right) = \left( {hk} \right)\overrightarrow a \)

+) \(1\overrightarrow a = \overrightarrow a \); \(( - 1)\overrightarrow a = - \overrightarrow a \)

Nhận xét: \(k\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi k = 0 hoặc \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \).

3. Một số ứng dụng

a) Trung điểm của đoạn thẳng

Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \) với điểm M bất kì.

b) Trọng tâm của tam giác

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \) với điểm M bất kì.

c) Điều kiện để hai vecto cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng

Điều kiện cần và đủ để hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) \(\left( {\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 } \right)\) cùng phương là có một số thực k để \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \).

Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là có số thực k để \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \).

Nhận xét: Trong mặt phẳng, cho hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Với mỗi vecto \(\overrightarrow c \) có duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn \(\overrightarrow c = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b \).

B. Bài tập

Bài 1: Cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC. Tìm số k trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow {CA} = k\overrightarrow {CB} \).

b) \(\overrightarrow {CA} = k\overrightarrow {AB} \).

Giải:

a) Ta có \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} \) là hai vecto cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {CB} } \right|\).

Suy ra \(\overrightarrow {CA} = 2\overrightarrow {CB} \). Vậy k = 2.

b) Ta có \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} \) là hai vecto ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\).

Suy ra \(\overrightarrow {CA} = - 2\overrightarrow {AB} \). Vậy k = -2.

Bài 2: Vật chuyển động thẳng đều từ A đến B với tốc độ là 9 m/s và vật thứ hai chuyển động thẳng đều từ B đến A với tốc độ là 6 m/s. Gọi \(\overrightarrow {{v_1}} \), \(\overrightarrow {{v_2}} \) lần lượt là các vecto vận tốc của vật thứ nhất và vật thứ hai. Có hay không số thực k thỏa mãn \(\overrightarrow {{v_1}} = k\overrightarrow {{v_2}} \)?

Giải:

Do tỉ số tốc độ của vật thứ nhất và vật thứ hai là \(\frac{9}{6} = \frac{3}{2}\) đồng thời hai vật chuyển động ngược hướng nên hai vecto vận tốc ngược hướng.

Suy ra \(\overrightarrow {{v_1}} = \frac{{ - 3}}{2}\overrightarrow {{v_2}} \). Vậy \(k = - \frac{3}{2}\).

Bài 3: Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh:

a) \(2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AC} \).

b) \(3\left( {5\overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {CB} - 14\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} \).

Giải:

a) Ta có: \(2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} = 2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = 2\overrightarrow {AC} \).

b) Ta có:

\(3\left( {5\overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {CB} - 14\overrightarrow {AC} = 15\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} - 14\overrightarrow {AC} = 15\overrightarrow {AC} - 14\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \).

Bài 4: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN. Chứng minh \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \).

Giải:

Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM} \).

Vì N là trung điểm của CD nên \(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN} \).

Suy ra \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GM} + 2\overrightarrow {GN} = 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0 \).

Bài 5: Cho tam giác OAB. Điểm M thuộc cạnh AB sao cho \(AM = \frac{2}{3}AB\). Kẻ MH // OB, MK // OA. Giả sử \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \).

a) Biểu thị \(\overrightarrow {OH} \) theo \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {OK} \) theo \(\overrightarrow b \).

b) Biểu thị \(\overrightarrow {OM} \) theo \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).

Giải:

a) Ta có: MK // OA, MH // OB suy ra \(\frac{{OK}}{{OB}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{3}\), \(\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{1}{3}\).

Vì \(\overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {OA} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {OH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} = \frac{1}{3}\overrightarrow a \).

Vì \(\overrightarrow {OK} \) và \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {OK} = \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} = \frac{2}{3}\overrightarrow b \).

b) Vì tứ giác OHMK là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{3}\overrightarrow b \).