Lý thuyết Nhị thức Newton - SGK Toán 10 Cánh diều

A. Lý thuyết

1. Một số công thức khai triển

Những công thức khai triển nói trên là công thức nhị thức Newton ${(a + b)^n}$ ứng với n = 4 và n = 5.

2. Công thức khai triển tổng quát

Nhận xét:

- Số hạng tổng quát trong khai triển của ${(a + b)^n}$ đều có dạng $C_n^k{a^{n - k}}{b^k}$ $(0 \le k \le n)$.

- Từ công thức nhị thức Newton nói trên, ta có khai triển của ${(a - b)^n}$ như sau:

${(a - b)^n} = C_n^0{a^n} - C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} - C_n^3{a^{n - 3}}{b^3} + ...$, ở đó các dấu “+”, “-“ xen kẽ nhau.

Ví dụ: ${(a - b)^3} = C_3^0{a^3} - C_3^1{a^{3 - 1}}b + C_3^2{a^{3 - 2}}{b^2} - C_3^3{a^{3 - 3}}{b^3} = C_3^0{a^3} - C_3^1{a^2}b + C_3^2a{b^2} - C_3^3{b^3}$.

Có thể xem thêm trong chuyên đề học tập Toán 10.

B. Bài tập

Bài 1: Khai triển biểu thức ${(x + 1)^4}$.

Giải:

Xác định số hạng: a = x, b = 1.

${(x + 1)^4} = C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}.1 + C_4^2{x^2}{.1^2} + C_4^3{x^1}{.1^3} + C_4^4{.1^4} = {a^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1$.

Bài 2: Khai triển biểu thức ${(x - 1)^4}$.

Giải:

Có hai cách khai triển, tùy thuộc vào việc đặt b = -1 hay b = 1.

Nếu coi a = x, b = -1:

${(x - 1)^4} = C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}.( - 1) + C_4^2{x^2}.{( - 1)^2} + C_4^3{x^1}.{( - 1)^3} + C_4^4.{( - 1)^4} = {a^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1$.

Hoặc có thể coi a = x, b = 1 và áp dụng công thức khai triển tổng quát:

${(a - b)^n} = C_n^0{a^n} - C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} - C_n^3{a^{n - 3}}{b^3} + ...$, khi đó sẽ nhận được kết quả như trên (xen kẽ dấu).

Bài 3:

a) Khai triển biểu thức ${(x - 2y)^4}$ và tìm hệ số của số hạng chứa ${y^4}$.

b) Khai triển biểu thức ${(3x - y)^5}$.

Giải:

a) Coi a = x, b = -2y.

${(x - 2y)^4} = {\left[ {x + ( - 2y)} \right]^4} = {x^4} + 4{x^3}( - 2y) + 6{x^2}{( - 2y)^2} + 4x{( - 2y)^3} + {( - 2y)^4}$

$= {x^4} - 8{x^3}y + 24{x^2}{y^2} - 32x{y^3} + 16{y^4}$.

Số hạng chứa ${y^4}$ là $16{y^4}$, hệ số là 16.

b) Coi a = 3x, b = -y.

${(3x - y)^5} = {\left[ {3x + ( - y)} \right]^5}$

$= {\left( {3x} \right)^5} + 5.{(3x)^4}.( - y) + 10{(3x)^3}.{( - y)^2} + 10{(3x)^2}.{( - y)^3} + 5.(3x).{( - y)^4} + {( - y)^5}$

$= 243{x^5} - 405{x^4}y + 270{x^3}{y^2} - 90{x^2}{y^3} + 15x{y^4} - {y^5}$.

Bài 4:

a) Xác định hệ số của ${x^6}$ trong khai triển ${\left( {2x + 1} \right)^{12}}$.

b) Xác định hệ số của ${x^9}$ trong khai triển ${\left( {3x - 2} \right)^{18}}$.

Giải:

a) Số hạng chứa ${x^6}$ là $C_{12}^6.{\left( {2x} \right)^6} = C_{12}^6{.2^6}{x^6}$. Hệ số của ${x^6}$ là $C_{12}^6{.2^6}$.

b) Số hạng chứa ${x^9}$ là $C_{18}^9.{\left( {3x} \right)^9}.{( - 2)^9} = C_{18}^9.{( - 2)^9}{3^9}{x^9} =  - C_{18}^9{.2^9}{3^9}{x^9}$. Hệ số của ${x^9}$ là $- C_{18}^9{.2^9}{3^9} =  - C_{18}^9{.6^9}$.