Giải mục III trang 36 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

Hoạt động 5

Cho hàm số $f\left( x \right) = x + 1$.

a) So sánh $f\left( 1 \right)$ và $f\left( 2 \right)$.

b) Chứng minh rằng nếu ${x_1},{x_2} \in \mathbb{R}$ sao cho ${x_1} < {x_2}$ thì $f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$.

Phương pháp giải:

a) Tính $f\left( 1 \right)$ và $f\left( 2 \right)$ và so sánh .

b) Thay ${x_1},{x_2}$ vào $f\left( x \right) = x + 1$ tìm $f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right)$ rồi chứng minh $f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$f\left( 1 \right) = 1 + 1 = 2$

$f\left( 2 \right) = 2 + 1 = 3$

$\Rightarrow f\left( 2 \right) > f\left( 1 \right)$

b) Ta có:

$f\left( {{x_1}} \right) = {x_1} + 1;f\left( {{x_2}} \right) = {x_2} + 1$

$\begin{array}{l}f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \left( {{x_1} + 1} \right) - \left( {{x_2} + 1} \right)\\ = {x_1} - {x_2} < 0\end{array}$

Vậy ${x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$.

Luyện tập – vận dụng 6

Chứng tỏ hàm số $y = 6{x^2}$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$.

Phương pháp giải:

Xét hai số bất kì ${x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right)$ sao cho ${x_1} < {x_2}$. Chứng minh $f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Xét hai số bất kì ${x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right)$ sao cho ${x_1} < {x_2}$.

Ta có: $f\left( {{x_1}} \right) = 6x_1^2;f\left( {{x_2}} \right) = 6x_2^2$

$f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = 6x_1^2 - 6x_2^2$$= 6\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$

${x_1} < {x_2} \Rightarrow {x_1} - {x_2} < 0$

${x_1} < 0;{x_2} < 0 \Rightarrow {x_1} + {x_2} < 0$

$\Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$.

Hoạt động 6

Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = {x^2}$ như Hình 6.

a) So sánh $f\left( { - 2} \right),f\left( { - 1} \right)$. Nêu nhận xét về sự biến thiên của giá trị hàm số khi giá trị biến x tăng dần từ -2 đến -1.

b) So sánh $f\left( 1 \right),f\left( 2 \right)$. Nêu nhận xét về sự biến thiên của giá trị hàm số khị giá trị biến x tăng dần từ 1 đến 2.

Phương pháp giải:

a)

- Tính $f\left( { - 2} \right),f\left( { - 1} \right)$

- Lấy ${x_1},{x_2} \in \left( { - 2; - 1} \right)$ sao cho ${x_1} < {x_2}$. Chứng minh $f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$

b)

- Tính $f\left( 1 \right),f\left( 2 \right)$

- Lấy ${x_1},{x_2} \in \left( {1;2} \right)$ sao cho ${x_1} < {x_2}$. Chứng minh $f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$

Lời giải chi tiết:

a)

$f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^2} = 4;$$f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} = 1$

$\Rightarrow f\left( { - 2} \right) > f\left( { - 1} \right)$

Lấy ${x_1},{x_2} \in \left( { - 2; - 1} \right)$ sao cho ${x_1} < {x_2}$.

$\Rightarrow {x_1} - {x_2} < 0$

${x_1},{x_2} < 0 \Rightarrow {x_1} + {x_2} < 0$

Ta có:

$\begin{array}{l}f\left( {{x_1}} \right) = x_1^2;f\left( {{x_2}} \right) = x_2^2\\f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = x_1^2 - x_2^2\\ = \left( {{x_1} - {x_2}} \right).\left( {{x_1} + {x_2}} \right) > 0\\ \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\end{array}$

=> Hàm số nghịch biến trên (-2;-1)

Vậy hàm số giảm khi x tăng từ -2 đến -1

b)

$\begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 1;f\left( 2 \right) = {2^2} = 4\\ \Rightarrow f\left( 1 \right) < f\left( 2 \right)\end{array}$

Lấy ${x_1},{x_2} \in \left( {1;2} \right)$ sao cho ${x_1} < {x_2}$.

$\Rightarrow {x_1} - {x_2} < 0$

${x_1},{x_2} > 0 \Rightarrow {x_1} + {x_2} > 0$

Ta có:

$\begin{array}{l}f\left( {{x_1}} \right) = x_1^2;f\left( {{x_2}} \right) = x_2^2\\f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = x_1^2 - x_2^2\\ = \left( {{x_1} - {x_2}} \right).\left( {{x_1} + {x_2}} \right) < 0\\ \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\end{array}$

=> Hàm số đồng biến trên (1;2)

Vậy hàm số tăng khi x tăng từ 1 đến 2.