Giải mục I trang 72, 73 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

Hoạt động 1

Cho tam giác ABC có $AB = c, AC = b, \widehat A = \alpha$. Viết công thức tính BC theo $b,c,\alpha$

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow B{C^2} = {c^2} + {b^2} - 2.c.b.\cos \alpha \\ \Leftrightarrow BC = \sqrt {{c^2} + {b^2} - 2bc.\cos \alpha } \end{array}$

Hoạt động 2

Cho tam giác ABC có $AB = c, Ac = b, BC = a$. Viết công thức tính cos A.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, từ đó suy ra công thức tính cos A.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} = {c^2} + {b^2} - 2.c.b.\cos A\\ \Leftrightarrow 2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - {a^2}\\ \Leftrightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\end{array}$

Chú ý

Tương tự, ta suy ra công thức tính $\cos B,\;\cos C$ như sau:

$\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\;\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}$

Hoạt động 3

Viết công thức định lí sin cho tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} = 2R$