Giải mục I trang 44, 45 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

Hoạt động 1

a) Quan sát Hình 17 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 2$

b) Quan sát Hình 18 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 5$

c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ với dấu của hệ số a trong trường hợp $\Delta  < 0$.

Phương pháp giải:

a) $a{x^2} + bx + c > 0$ ứng với phần parabol  $y = a{x^2} + bx + c$ nằm phía trên trục hoành.

b) $a{x^2} + bx + c < 0$ ứng với phần parabol  $y = a{x^2} + bx + c$ nằm phía dưới trục hoành.

c) Rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Ta thấy đồ thị nằm trên trục hoành nên $f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 2 > 0$.

b) Ta thấy đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 5 < 0$.

c) Ta thấy $f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 2$ có hệ số a=1>0 và $f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 2 > 0$

$f\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 5$ có hệ số a=-1

Như thế, khi $\Delta  < 0$ thì tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ cùng dấu với hệ số a.

Hoạt động 2

a) Quan sát Hình 19 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} + 2x + 1$

b) Quan sát Hình 20 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 4$

c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ với dấu của hệ số a trong trường hợp $\Delta  = 0$.

Phương pháp giải:

a) Xét giao điểm của đồ thị và trục hoành. Xét dấu của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} + 2x + 1$.

b) Xét giao điểm của đồ thị và trục hoành. Xét dấu của tam thức bậc hai $f\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 4$.

c) Rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Từ đồ thị ta thấy ${x^2} + 2x + 1 \ge 0\forall x$

Và ${x^2} + 2x + 1 > 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$

b) Từ đồ thị ta thấy $- {x^2} + 4x - 4 \le 0\forall x$

Và $- {x^2} + 4x - 4 < 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$

c) Nếu $\Delta  = 0$ thì $f\left( x \right)$ cùng dấu với dấu của hệ số a, với mọi $x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{ - b}}{{2a}}} \right\}$

Hoạt động 3

a) Quan sát Hình 21 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} + 3x + 2$ tùy theo các khoảng của x.

b) Quan sát Hình 22 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 3$ tùy theo các khoảng của x.

c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ với dấu của hệ số tùy theo các khoảng của x trong trường hợp $\Delta  > 0$.

Phương pháp giải:

a) Xét các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right);\left( { - 2; - 1} \right);\left( { - 1; + \infty } \right)$

b) Xét các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right);\left( {1;3} \right);\left( {3; + \infty } \right)$

c) Rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Ta thấy trên $\left( { - \infty ; - 2} \right)$: Đồ thị nằm trên trục hoành

=> $f\left( x \right) = {x^2} + 3x + 2 > 0$$\forall x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)$

Trên $\left( { - 2; - 1} \right)$: Đồ thị nằm dưới trục hoành

=> $f\left( x \right) = {x^2} + 3x + 2 < 0$$\forall x \in \left( { - 2; - 1} \right)$

Trên $\left( { - 1; + \infty } \right)$: Đồ thị nằm trên trục hoành

=> $f\left( x \right) = {x^2} + 3x + 2 > 0$$\forall x \in \left( { - 1; + \infty } \right)$

b)

Trên $\left( { - \infty ;1} \right)$: Đồ thị nằm dưới trục hoành

=> $f\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 3 < 0$$\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right)$

Trên $\left( {1;3} \right)$: Đồ thị nằm trên trục hoành

=> $f\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 3 > 0$$\forall x \in \left( {1;3} \right)$

Trên $\left( {3; + \infty } \right)$: Đồ thị nằm dưới trục hoành

=> $f\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 3 < 0$$\forall x \in \left( {3; + \infty } \right)$

c) Nếu $\Delta  > 0$ thì $f\left( x \right)$ cùng dấu vưới hệ số a với mọi x thuộc các khoảng $\left( { - \infty ;{x_1}} \right)$ và $\left( {{x_2}; + \infty } \right)$; $f\left( x \right)$ trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng $\left( {{x_1};{x_2}} \right)$, trong đó ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của $f\left( x \right)$ và ${x_1} < {x_2}$.