Giải mục II trang 46, 47 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

Luyện tập – vận dụng 1

Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) $f\left( x \right) =  - 2{x^2} + 4x - 5$

b) $f\left( x \right) =  - {x^2} + 6x - 9$

Phương pháp giải:

Sử dụng biệt thức thu gọn $\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac$ với $b = 2b'$.

+ Nếu $\Delta ' < 0$ thì $f\left( x \right)$ cùng dấu với hệ số a vời mọi $x \in \mathbb{R}$.

+ Nếu $\Delta ' = 0$ thì $f\left( x \right)$ cùng dấu với hệ số a vời mọi $x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{{b'}}{a}} \right\}$.

+ Nếu $\Delta ' > 0$ thì $f\left( x \right)$ có 2 nghiệm ${x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$. Khi đó:

$f\left( x \right)$ cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng $\left( { - \infty ;{x_1}} \right)$ và $\left( {{x_2}; + \infty } \right)$;

$f\left( x \right)$ trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng $\left( {{x_1};{x_2}} \right)$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $a =  - 2 < 0$, $b = 4 =  > b' = 2$ và $c =  - 5$

$\Delta ' = {2^2} - \left( { - 2} \right).\left( { - 5} \right) =  - 6 < 0$

=>$f\left( x \right)$ cùng dấu âm với hệ số a.

=> $f\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R}$

b) Ta có: $a =  - 1,b = 6,c =  - 9 =  > b' = 3$

$\Delta ' = {3^2} - \left( { - 1} \right).\left( { - 9} \right) = 0$

$\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - b'}}{a} = 3$

=> $f\left( x \right)$ cùng dấu âm với hệ số a với mọi $x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$

=> $f\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$

Luyện tập – vận dụng 2

Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai: $f\left( x \right) =  - {x^2} - 2x + 8$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm nghiệm của $f\left( x \right) =  - {x^2} - 2x + 8$ và hệ số a.

Bước 2: Lập bảng xét dấu.

Lời giải chi tiết:

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) =  - {x^2} - 2x + 8$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1} =  - 4,{x_2} = 2$ và hệ số $a =  - 1 < 0$.

Ta có bảng xét dấu $f\left( x \right)$ như sau: