Giải bài 8 trang 98 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác ABC có $AB = 2,AC = 3,\widehat {BAC} = {60^o}.$ Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn $\overrightarrow {AD}  = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} .$

a) Tính $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$

b) Biểu diễn $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BD}$ theo $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$

c) Chứng minh $AM \bot BD$.

Lời giải chi tiết

a) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 2.3.\cos \widehat {BAC} = 6.\cos {60^o} = 3$

b)

Ta có: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM}$(do M là trung điểm của BC)

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$

+) $\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB}  = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}$

c) Ta có:

 $\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)\\ = \frac{7}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{7}{{24}}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \\ =  - \frac{1}{2}A{B^2} + \frac{7}{{24}}A{C^2} - \frac{5}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ =  - \frac{1}{2}{.2^2} + \frac{7}{{24}}{.3^2} - \frac{5}{{24}}.3\\ = 0\end{array}$

$\Rightarrow AM \bot BD$