Giải bài 8 trang 100 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, \(\widehat {BAD} = {60^o}\) (Hình 74).

a) Biểu thị các vecto \(\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AC} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \).

b) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} ,\;\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\;\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AC} \).

c) Tính độ dài các đường chéo \(BD,AC\).

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB}\), \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \).

b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 4.6.\cos \widehat {BAD} = 24.\cos {60^o} = 12.\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) \)

\(= {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = {4^2} + 12 = 28\).

\(\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AC}  = (\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} )(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} )\)

\(= {\overrightarrow {AD} ^2} - {\overrightarrow {AB} ^2} = {6^2} - {4^2} = 20\).

c) Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABD ta có:

\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos A\)

\(\Leftrightarrow B{D^2} = {4^2} + {6^2} - 2.4.6.\cos {60^o} = 28\)

\(\Leftrightarrow BD = 2\sqrt 7\).

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos B\)

\(\Leftrightarrow A{C^2} = {4^2} + {6^2} - 2.4.6.\cos {120^o} = 76\)

\(\Leftrightarrow AC = 2\sqrt {19} \).