Bài 78 trang 89 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD.\) Gọi \(I, K\) theo thứ tự là trung điểm của \(CD ,\) \(AB.\) Đường chéo \(BD\) cắt \(AI,\) \(CK\) theo thứ tự ở \(E, F.\) Chứng minh rằng: \(DE = EF = FB.\)

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB = CD\) ( tính chất hình bình hành)

\(AK = \displaystyle {1 \over 2}AB\;\;\) (do K là trung điểm của AB)

\(CI  =  \displaystyle {1 \over 2}CD\;\) (do I là trung điểm của DC)

Suy ra: \(AK = CI \;\;(1)\) (vì \(AB=CD)\)

Mặt khác: \(AB // CD\;\;\) (do ABCD là hình bình hành)

\(⇒ AK // CI \;\;(2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra tứ giác \(AKCI\) là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

\(⇒ AI // CK\)

Trong \(∆ ABE\) ta có:

\(K\) là trung điểm của \(AB\;\; (gt)\)

\(AI // CK\) hay \(KF // AE\) nên \(BF = EF\) ( tính chất đường trung bình tam giác)

Trong \(∆ DCF\) ta có:

\(I\) là trung điểm của \(DC\;\; (gt)\)

\(AI // CK\) hay \(IE // CF\) nên \(DE = EF\) (tính chất đường trung bình tam giác)

Suy ra: \(DE = EF = FB\)

Loigiaihay.com