Bài 25 trang 8 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng: \({n^2}\left( {n + 1} \right) + 2n\left( {n + 1} \right)\) luôn chia hết cho \(6\) với mọi số nguyên \(n\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \({n^2}\left( {n + 1} \right) + 2n\left( {n + 1} \right)\)\(=(n+1)(n^2+2n)=(n+1)n(n+2)\) \( = n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\) 

Vì \(n \) và \(n+1 \) là hai số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 \(⇒ n\left( {n + 1} \right) \vdots \;2\)

Lại có \(n, n+1, n+2\) là \(3\) số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3 \(⇒ n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \vdots \;3\) 

Mà \(ƯCLN \left( {2;3} \right) = 1\)

Vậy \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \vdots \left( {2.3} \right)\) hay \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \vdots \,6.\)

Loigiaihay.com