Bài 118 trang 94 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Tứ giác \(ABCD\) có \(AB ⊥ CD.\) Gọi \(E,\, F,\, G,\, H\) theo thứ tự là trung điểm của \(BC,\, BD,\, AD,\, AC.\) Chứng minh rằng \(EG = FH.\)

Lời giải chi tiết

Trong \(∆ BCD\) ta có:

\(E\) là trung điểm của \(BC\) (gt)

\(F\) là trung điểm của \(BD\) (gt)

nên \(EF\) là đường trung bình của \(∆ BCD\)

\(⇒ EF // CD\) và \(EF= \dfrac{1}{2}CD\) (1)

Trong \(∆ ACD\) ta có:

\(H\) là trung điểm của \(AC\) (gt)

\(G\) là trung điểm của \(AD\) (gt)

nên \(HG\) là đường trung bình của \(∆ ACD\)

\(⇒ HG // CD\) và \(HG = \dfrac{1}{2}CD\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(EF // HG\) và \(EF = HG\)

Suy ra tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Mặt khác: \(EF // CD\) (chứng minh trên)

                \(AB ⊥ CD\) (gt)

Suy ra \(EF ⊥ AB\)

Trong \(∆ ABC\) ta có \(HE\) là đường trung bình (do H là trung điểm của AC và E là trung điểm của BC)

\(⇒ HE // AB\)

Suy ra: \(HE ⊥ EF\) hay \(\widehat {FEH} = {90^0}\)

Vậy hình bình hành \(EFGH\) là hình chữ nhật.

Do đó \(EG=FH\) (tính chất hình chữ nhật).

Loigiaihay.com