Bài 120 trang 95 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) điểm \(D\) thuộc cạnh \(AC\). Gọi \(E,\, F,\, G\) theo thứ tự là trung điểm của \(BD,\, BC,\, DC.\) Chứng minh rằng tứ giác \(AEFG\) là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

Trong \(∆ BDC\) ta có:

\(E\) là trung điểm của \(BD\) (gt)

\(F\) là trung điểm của \(BC\) (gt)

Nên \(EF\) là đường trung bình của \(∆ BDC\)

\(⇒ EF // DC\) hay \(EF // AG\)

Suy ra: Tứ giác \(AEFG\) là hình thang

+ Vì \(F\) là trung điểm của \(BC\) (gt)

\(G\) là trung điểm của \(DC\) (gt)

Nên \(FG\) là đường trung bình của \(∆ CBD\)

\(⇒ FG // BD\) \(⇒ {\widehat G_1} = {\widehat D_1}\) (đồng vị) (1)

Trong tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\) có \(AE\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BD\)

\(⇒ AE = ED = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất tam giác vuông)

Nên \(∆ AED\) cân tại \(E\) \( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat D_1}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \({\widehat A_1} = {\widehat G_1}\)

Vậy hình thang \(AEFG\) là hình thang cân (theo định nghĩa).

Loigiaihay.com