Bài 111 trang 94 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi \(E,\, F,\, G,\, H\) theo thứ tự là trung điểm các cạnh \(AB,\, BC,\, CD,\, DA .\) Tứ giác \(EFGH\) là hình gì ? Vì sao ?

Lời giải chi tiết

Trong \(∆ ABC\) ta có:

\(E\) là trung điểm của \(AB\) (gt)

\(F\) là trung điểm của \(BC\) (gt)

nên \(EF\) là đường trung bình của \(∆ ABC\)

\(⇒ EF // AC\) và \(EF  = \dfrac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong \(∆ DAC\) ta có:

\(H\) là trung điểm của \(AD\) (gt)

\(G\) là trung điểm của \(DC\) (gt)

nên \(HG\) là đường trung bình của \(∆ DAC.\)

\(⇒ HG // AC\) và \(HG  = \dfrac{1}{2} AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(EF // HG\) và \(EF = HG\)

Suy ra: Tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Ta lại có: \(BD ⊥ AC\) (gt)

                  \(EF // AC\) ( chứng minh trên)

Suy ra: \(EF ⊥ BD\)

Trong \(∆ ABD\) ta có \(EH\) là đường trung bình (vì E là trung điểm của AB và H là trung điểm của AD)

\(⇒ EH // BD\)

Suy ra: \(EF ⊥ EH\) hay \(\widehat {FEH} = {90^0}\)

Vậy hình bình hành \(EFGH\) là hình chữ nhật (Hình bình hành có 1 góc vuông).