Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 9

Đề kiểm tra học kì 2 Toán 9 - Đề số 3

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 9 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Số đo cung lớn $BnC$ trong hình bên là:

A

${280^0}$
B

${290^0}$
C

${300^0}$
D

${310^0}$

Câu 2 :

Số giao điểm của đường thẳng $d:y = 2x + 4$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ là:

A

$2$
B

$1$
C

$0$
D

$3$

Câu 3 :

Hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$ có $a = a'$ và $b \ne b'$. Khi đó

A

$d{\rm{//}}d'$
B

$d \equiv d'$
C

$d$ cắt $d'$
D

$d \bot d'$

Câu 4 :

Đồ thị hàm số $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$ đi qua điểm nào dưới đây?

A

$A\left( {\dfrac{{ - 5}}{3};0} \right)$
B

$B\left( {1;\dfrac{3}{4}} \right)$
C

$C\left( { \dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$
D

$D\left( {4;\dfrac{4}{3}} \right)$

Câu 5 :

Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$. Khi đó

A

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
B

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
C

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = - \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
D

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = - \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$

Câu 6 :

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và một điểm $M$ bên trong đường tròn đó. Qua $M$ kẻ hai dây cung $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau ($C$ thuộc cung nhỏ $AB$). Vẽ đường kính $DE.$ Khi đó tứ giác $ABEC$ là:

A

Hình bình hành
B

Hình thang
C

Hình thang cân
D

Hình thoi

Câu 7 :

Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$4$

Câu 8 :

Với $m = 1$ thì hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x - y = m + 1\\x + 2y = 2m + 3\end{array} \right.$ có cặp nghiệm $(x;y)$ là:

A

$(3;1)$
B

$(1;3)$
C

$( - 1; - 3)$
D

$( - 3; - 1)$

Câu 9 :

Tìm $m$ để đường thẳng $\left( d \right):{\rm{ }}y = x + 3;\left( {d'} \right):{\rm{ }}y = - x + 1;\left( {d''} \right):{\rm{ }}y = \sqrt 3 x - m - 2$ đồng quy.

A

$m = 4 + \sqrt 3 $
B

$m = - 4 - \sqrt 3 $
C

$m = 4 - \sqrt 3 $
D

$m = 2 + \sqrt 3 $

Câu 10 :

Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$4$

Câu 11 :

Với giá trị nào của $m$ thì hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 2m\\x + my = m + 1\end{array} \right.$ có vô số nghiệm.

A

$m = 1$
B

$m = - 1$
C

$m = \pm 1$
D

$m \ne \pm 1$

Câu 12 :

Trong các hình vẽ sau, hình vẽ nào là đồ thị hàm số $y = 2x + 1$

A

Hình 4
B

Hình 2
C

Hình 3
D

Hình 1

Câu 13 :

Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 5x + 2 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$

A

$20$
B

$21$
C

$22$
D

$23$

Câu 14 :

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn tâm $O.$ Trên $\left( O \right)$ lấy điểm $D$ thuộc cung $AC$. Gọi $E = AC \cap BD,\,\,F = AD \cap BC.$ Khi đó mệnh đề đúng là:

A

$\widehat {AFB} > \widehat {ABD}$
B

$\widehat {AFB} < \widehat {ABD}$
C

$\widehat {AFB} = 2\widehat {ABD}$
D

$\widehat {AFB} = \widehat {ABD}$

Câu 15 :

Cho $3$ đường thẳng $\left( d \right):{\rm{ }}y = \left( {m + 2} \right)x - 3m;\left( {d'} \right):{\rm{ }}y = 2x + 4\;;\left( {d''} \right):{\rm{ }}y = - 3x - 1.$ Giá trị của $m$ để $3$ đường thẳng trên đồng quy là :

A

$ - 1$
B

$1$
C

$2$
D

$ - 2$

Câu 16 :

Cho hai đường tròn $\left( {O;8\,cm} \right)$ và $\left( {O';6cm} \right)$ cắt nhau tại $A,B$ sao cho $OA$ là tiếp tuyến của $\left( {O'} \right)$. Độ dài dây $AB$ là

A

$AB = 8,6\,cm$
B

$AB = 6,9\,cm$
C

$AB = 4,8\,cm$
D

$AB = 9,6\,cm$

Câu 17 :

Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài $7,5m.$ Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng ${42^0}.$ Tính chiều cao của cột đèn. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

A

$6,753\,m$
B

$6,75\,m$
C

$6,751\,m$
D

$6,755\,m$

Câu 18 :

Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB = $ $4\sqrt 3 $ $cm$ .

Điểm $C \in (O)$ sao cho $\widehat {ABC} = {30^0}$. Tính diện tích hình viên phân$AC$ . (Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy).

A

$\pi - 3\sqrt 3 $ $ cm^2$
B

$2\pi - 3\sqrt 3 $ $ cm^2$
C

$4\pi - 3\sqrt 3 $ $ cm^2$
D

$2\pi - \sqrt 3 $ $ cm^2$

Câu 19 :

Số nghiệm của hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| + 4\left| y \right| = 18\\3\left| x \right| + \left| y \right| = 10\end{array} \right.$ là:

A

2
B

4
C

3
D

1

Câu 20 :

Cho biểu thức $P = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x + 1}}$. Giá trị của $P$ khi $x = 9$ là

A

$\dfrac{9}{2}$
B

$\dfrac{9}{4}$
C

$9$
D

$18$

Câu 21 :

Cho biểu thức $P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}$.

Giá trị của $P$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2 $ là:

A

$4 + 3\sqrt 2 $
B

$4 - 3\sqrt 2 $
C

$3$
D

$3\sqrt 2 $

Câu 22 :

Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 9}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)$. Rút gọn $P$ .

A

$P = \dfrac{4}{{\sqrt x - 3}}$
B

$P = \dfrac{4}{{\sqrt x + 3}}$
C

$P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 3}}$
D

$P = \dfrac{1}{{\sqrt x + 3}}$

Câu 23 :

Rút gọn biểu thức: $A = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{2} - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}} \right)$ v ới $x > 0;\,\,x \ne 1.$

A

$A = - 2\sqrt x $
B

$A = 2\sqrt x $
C

$A = - \sqrt x $
D

$A = 4\sqrt x $

Câu 24 :

Cho hàm số $y = mx - 2$ có đồ thị là đường thẳng ${d_1}$ và hàm số $y = \dfrac{1}{2}x + 1$ có đồ thị là đường thẳng ${d_2}$. Xác định $m$ để hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại một điểm có hoành độ $x = - 4$.

A

$m = - \dfrac{1}{4}$
B

$m = \dfrac{1}{4}$
C

$m = \dfrac{1}{2}$
D

$m = - \dfrac{1}{2}$

Câu 25 :

Cho đường thẳng $d':y = - 2x + 6$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $d'$ với $Ox$ và $Oy$. Khi đó chu vi tam giác $OMN$ là:

A

$6 + 3\sqrt 5 $
B

$9 + 3\sqrt 5 $
C

$6$
D

$9$

Câu 26 :

Hai công nhân cùng làm 1 công việc. Công nhân thứ nhất làm được $1,5$ ngày thì công nhân thứ 2 đến làm cùng và sau $5,5$ ngày nữa là xong công việc. Biết rằng người thứ 2 hoàn thành công việc đó một mình nhanh hơn người thứ nhất là $3$ ngày. Hỏi nếu làm một mình thì thời gian làm xong công việc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là:

A

$14$ ngày và $11$ ngày
B

$14$ ngày và $12$ ngày
C

$12$ ngày và $11$ ngày
D

$13$ ngày và $11$ ngày

Câu 27 :

Có 2 loại quặng chứa 75% sắt và 50% sắt. Tính khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn với quặng chứa 50% sắt để được $25$ tấn quặng chứa 66% sắt.

A

$16$ tấn
B

$9$ tấn
C

$10$ tấn
D

$8$ tấn

Câu 28 :

Giá trị nào dưới đây gần nhất với giá trị của $m$để phương trình ${x^2} + 3x - m = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn: $2{x_1} + 3{x_2} = 13$.

A

$416$
B

$415$
C

$414$
D

$418$

Câu 29 :

Phương trình $\dfrac{{2x}}{{x - 2}} - \dfrac{5}{{x - 3}} = \dfrac{{ - 9}}{{{x^2} - 5x + 6}}$có số nghiệm là

A

$2$
B

$1$
C

$0$
D

$3$

Câu 30 :

Phương trình $\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} + \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} = 2$ có bao nhiêu nghiệm?

A

$1$
B

$3$
C

$0$
D

$2$

Câu 31 :

Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích $180\,{m^2}$. Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng, biết rằng nếu tăng cạnh đáy lên $4m$ và chiều cao tương ứng giảm đi $1\,\,m$ thì diện tích không đổi.

A

$10$
B

$35$
C

$36$
D

$18$

Câu 32 :

Một ca nô chạy xuôi dòng với quãng đường $42{\rm{km}}$, rồi sau đó ngược dòng trở lại $20{\rm{ km}}$ hết tổng cộng $5{\rm{h}}$. Biến vận tốc của dòng nước chảy là $2{\rm{ km/h}}$. Tính vận tốc của ca nô lúc dòng nước yên lặng.

A

$11{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$
B

$12{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$
C

$14{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$
D

$15{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$

Câu 33 :

Một lâm trường dự định trồng $75$ $ha$ rừng trong một số tuần (mỗi tuần trồng được diện tích bằng nhau). Thực tế, mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức $5$ $ha$ so với dự định nên cuối cùng đã trồng được $80$ $ha$ và hoàn thành sớm hơn dự định một tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu $ha$ rừng?

A

$13$ $ha$
B

$14$ $ha$
C

$16$ $ha$
D

$15$ $ha$

Câu 34 :

Cho $a,b$ là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng $2,5\,cm$. Lấy điểm $I$ trên $a$ và vẽ đường tròn $\left( {I;2,5cm} \right)$. Khi đó đường tròn với đường thẳng $b$

A

cắt nhau
B

không cắt nhau
C

tiếp xúc
D

đáp án khác

Câu 35 :

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $\left( O \right)$ . Kẻ tiếp tuyến $xAy$ với $\left( O \right)$ . Từ $B$ kẻ $BM{\rm{//}}xy\left( {M \in AC} \right)$ . Khi đó tích $AM.AC$ bằng

A

$A{B^2}$
B

$B{C^2}$
C

$A{C^2}$
D

$A{M^2}$

Câu 36 :

Cho điểm $C$ thuộc nửa đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB.$ Từ điểm $D$ thuộc đọan $AO$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AO$ cắt $AC$ và $BC$ lần lượt lại $E$ và $F.$ Tiếp tuyến tại $C$ với nửa đường tròn cắt $EF$ tại $M$ và cắt $AB$ tại $N.$ Khi đó

A

$ME = MF$
B

$2ME = MF$
C

$ME = 2MF$
D

$2ME = 3MF$

Câu 37 :

Cho một hình trụ, một hình nón và một hình cầu có thể tích bằng nhau. Bán kính đáy của hình trụ, bán kính đáy của hình nón và bán kính của hình cầu đều bằng $R.$ Tính các chiều cao ${h_1}$ của hình trụ và ${h_2}$ của hình nón theo $R.$

A

${h_1} = 4R;{h_2} = \dfrac{4}{3}R$
B

${h_1} = \dfrac{4}{3}R;{h_2} = 4R$
C

${h_1} = \dfrac{1}{3}R;{h_2} = 4R$
D

${h_1} = \dfrac{4}{3}R;{h_2} = \dfrac{1}{3}R$

Câu 38 :

Cho $A = \dfrac{{2x}}{{x + 3\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x + 1}}{{x + 4\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{x + 5\sqrt x + 6}}$ với $x \ge 0$. Chọn đáp án đúng.

A

$A = 2\sqrt x $
B

Giá trị của $A$ không phụ thuộc vào biến $x.$
C

$A = 3\left( {\sqrt x + 2} \right)$
D

$A = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$

Câu 39 :

Cho $A$ là điểm cố định trên đường tròn $\left( {O;R} \right).$ Gọi $AB$ và $AC$ là hai dây cung thay đổi trên đường tròn $\left( O \right)$ thỏa mãn $\sqrt {AB.AC} = R\sqrt 3 .$ Khi đó vị trí của $B,\,C$ trên $\left( O \right)$ để diện tích $\Delta ABC$ lớn nhất là:

A

$\Delta ABC$ cân
B

$\Delta ABC$ đều.
C

$\Delta ABC$ vuông cân
D

$\Delta ABC$ vuông

Câu 40 :

Cho $M\left( {0;2} \right),N\left( {1;0} \right),P\left( { - 1; - 1} \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$ . Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

A

$y = 0,5x + 0,5$
B

$y = 0,5x - 1$
C

$y = 2x - 0,5$
D

$y = 0,5x - 0,5$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Số đo cung lớn $BnC$ trong hình bên là:

A

${280^0}$
B

${290^0}$
C

${300^0}$
D

${310^0}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Số đo cung lớn bằng $360^\circ - $ số đo cung nhỏ

Lời giải chi tiết :

Ta có tổng số đo cung nhỏ $BmC$ và số đo cung lớn $BnC$ là ${360^0}.$

Mặt khác số đo cung nhỏ $BmC = {80^0}.$ Từ đó ta suy ra số đo cung lớn $BnC$ là:

${360^0} - {80^0} = {280^0}.$

Câu 2 :

Số giao điểm của đường thẳng $d:y = 2x + 4$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ là:

A

$2$
B

$1$
C

$0$
D

$3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Giải phương trình hoành độ giao điểm.

Bước 2: Số nghiệm vừa tìm được của phương trình là số giao điểm của đường thẳng và parabol

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2x + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 = 0$ có $\Delta ' = 5 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt hay đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt.

Câu 3 :

Hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$ có $a = a'$ và $b \ne b'$. Khi đó

A

$d{\rm{//}}d'$
B

$d \equiv d'$
C

$d$ cắt $d'$
D

$d \bot d'$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$.

+) $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$

+) $d$ cắt $d'$$ \Leftrightarrow a \ne a'$.

+) $d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.$.

+) $d \bot d' \Leftrightarrow a.a' = - 1$.

Câu 4 :

Đồ thị hàm số $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$ đi qua điểm nào dưới đây?

A

$A\left( {\dfrac{{ - 5}}{3};0} \right)$
B

$B\left( {1;\dfrac{3}{4}} \right)$
C

$C\left( { \dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$
D

$D\left( {4;\dfrac{4}{3}} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số $y = ax + b(a \ne 0)$ đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ khi và chỉ khi ${y_0} = a{x_0} + b$

Lời giải chi tiết :

Thay tọa độ từng điểm vào hàm số ta được

+) Với $A\left( {\dfrac{{ - 5}}{3};0} \right)$. Thay $x = - \dfrac{5}{3};y = 0$ vào $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$ ta được $3\left( { - \dfrac{5}{3} - 1} \right) + \dfrac{4}{3} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 20}}{3} = 0$ (Vô lý)

+) Với $B\left( {1;\dfrac{3}{4}} \right)$. Thay $x = 1;y = \dfrac{3}{4}$ vào $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$ ta được $3\left( {1 - 1} \right) + \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{4}$ (Vô lý)

+) Với $D\left( {4;\dfrac{4}{3}} \right)$. Thay $x = 4;y = \dfrac{4}{3}$ vào $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$ ta được $3\left( {4 - 1} \right) + \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{31}}{3} = \dfrac{4}{3}$ (Vô lý)

+)Với $C\left( { \dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$. Thay $x = \dfrac{2}{3};y = \dfrac{1}{3}$ vào $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$ ta được $3\left( { \dfrac{2}{3} - 1} \right) + \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}$ (luôn đúng)

$ \Rightarrow C$ thuộc đồ thị hàm số $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$

Câu 5 :

Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$. Khi đó

A

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
B

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
C

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = - \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
D

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = - \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0).$ Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình thì

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..$

Câu 6 :

A

Hình bình hành
B

Hình thang
C

Hình thang cân
D

Hình thoi

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Sử dụng dấu hiệu nhận biết các hình đặc biệt

Lời giải chi tiết :

Do $DE$ là đường kính của $\left( {O;R} \right)$ nên $\widehat {DCE} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó $CD \bot CE.$ Mặt khác theo giả thiết ta có $CD \bot AB.$

Do đó $AB//CE.$ Vậy tứ giác $ABEC$ là hình thang $\left( 1 \right).$

Mặt khác các dây $CE,AB$ là hai dây song song của $\left( O \right)$ chắn hai cung $AC$ và $BE$ nên

Cung $AC = $ cung $BE $ $ \Rightarrow AC=BE\,\,\,\left( 2 \right).$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra tứ giác $ABEC$ là hình thang cân.

Câu 7 :

Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$4$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất hai điểm chung.

Câu 8 :

Với $m = 1$ thì hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x - y = m + 1\\x + 2y = 2m + 3\end{array} \right.$ có cặp nghiệm $(x;y)$ là:

A

$(3;1)$
B

$(1;3)$
C

$( - 1; - 3)$
D

$( - 3; - 1)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thay $m = 1$ vào hệ phương trình đã cho rồi giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Lời giải chi tiết :

Thay $m = 1$ vào hệ phương trình đã cho ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\x + 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 2y = 4\\x + 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 9\\x + 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.$

Câu 9 :

Tìm $m$ để đường thẳng $\left( d \right):{\rm{ }}y = x + 3;\left( {d'} \right):{\rm{ }}y = - x + 1;\left( {d''} \right):{\rm{ }}y = \sqrt 3 x - m - 2$ đồng quy.

A

$m = 4 + \sqrt 3 $
B

$m = - 4 - \sqrt 3 $
C

$m = 4 - \sqrt 3 $
D

$m = 2 + \sqrt 3 $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng cho trước $d;d'$

- Cho giao điểm vừa tìm được thuộc vào đường thẳng $d''$.

Điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đường thẳng $\left( d \right):y = ax + b $$\Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b$

Lời giải chi tiết :

$d:y = x + 3;d':y = - x + 1;d'':y = \sqrt 3 x - m - 2$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$: $x + 3 = - x + 1 \Leftrightarrow 2x = - 2 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y = 2$

Do đó $d$ và $d'$ cắt nhau tại điểm $\left( { - 1;2} \right)$.

Điểm $A( - 1;2) \in d'':y = \sqrt 3 x - m - 2 $$\Leftrightarrow 2 = \sqrt 3 .\left( { - 1} \right) - m - 2 $$\Leftrightarrow m = - 4 - \sqrt 3 $

Vậy $m = - 4 - \sqrt 3 $.

Câu 10 :

Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$4$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì có một điểm chung duy nhất

Câu 11 :

Với giá trị nào của $m$ thì hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 2m\\x + my = m + 1\end{array} \right.$ có vô số nghiệm.

A

$m = 1$
B

$m = - 1$
C

$m = \pm 1$
D

$m \ne \pm 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Rút $y$ từ phương trình trên thế xuống phương trình dưới ta được phương trình bậc nhất ẩn $x.$

+ Biến đổi phương trình về dạng $ax + b = 0$ (*).

+ Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì phương trình (*) có vô số nghiệm khi đó $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

$\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 2m\\x + my = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2m - mx\\x + m(2m - mx) = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2m - mx\\x + 2{m^2} - {m^2}x = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2m - mx\\x({m^2} - 1) = 2{m^2} - m - 1\end{array} \right.$

Xét: ${m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$

Nếu $m = 1$ ta được: $0x = 0$ (đúng với $\forall x$)$ \Rightarrow $ hệ phương trình có vô số nghiệm.

Nếu $m = - 1$ ta được: $0x = 2$ (vô lý) $ \Rightarrow $ hệ phương trình vô nghiệm.

Câu 12 :

Trong các hình vẽ sau, hình vẽ nào là đồ thị hàm số $y = 2x + 1$

A

Hình 4
B

Hình 2
C

Hình 3
D

Hình 1

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng cách vẽ đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ là một đường thẳng

Nếu $b \ne 0$ thì đồ thị $y = ax + b$ là đường thẳng đi qua các điểm $A(0;b),\,\,B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right).$

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số $y = 2x + 1$ là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ $\left( {0;1} \right)$ và $\left( {1;3} \right)$ nên hình 1 là đồ thị hàm số $y = 2x + 1$.

Câu 13 :

Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 5x + 2 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$

A

$20$
B

$21$
C

$22$
D

$23$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng hệ thức Vi-et

Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..$

Bước 2: Biến đổi $A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$

Lời giải chi tiết :

Phương trình ${x^2} - 5x + 2 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.2 = 17 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$

Theo hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}.{x_2} = 2\end{array} \right.$.

Ta có $A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {5^2} - 2.2 = 21$

Câu 14 :

A

$\widehat {AFB} > \widehat {ABD}$
B

$\widehat {AFB} < \widehat {ABD}$
C

$\widehat {AFB} = 2\widehat {ABD}$
D

$\widehat {AFB} = \widehat {ABD}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất góc nội tiếp, góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn, các cung chắn hai dây bằng nhau để chứng minh $\widehat {AFB} = \widehat {ABD}.$

Lời giải chi tiết :

$\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$ suy ra $sđ\,\overparen{AB} = sđ\,\overparen{AC}.$

Áp dụng kết quả trên và theo tính chất của góc ngoài đường tròn ta có:

$\widehat {AFB} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\,\overparen{AB} - sđ\,\overparen{CD}} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\,\overparen{AC} - sđ\,\overparen{CD}} \right) = \dfrac{1}{2}sđ\,\overparen{AD}.$

Mặt khác theo tính chất góc nội tiếp ta có $\widehat {ABD} = \dfrac{1}{2}sđ\,\overparen{AD}.$

Do đó $\widehat {AFB} = \widehat {ABD}.$

Câu 15 :

A

$ - 1$
B

$1$
C

$2$
D

$ - 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng cho trước $d';d''$

- Cho giao điểm vừa tìm được thuộc vào đường thẳng $d$.

Điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đường thẳng $\left( d \right):y = ax + b $$\Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b$

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm $A$ của $\left( {d'} \right)$ và $\left( {d''} \right)$:

$\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 4 = - 3x - 1}\\{ \Leftrightarrow 5x = - 5}\\{ \Leftrightarrow x = - 1}\\{ \Rightarrow y = 2\left( { - 1} \right) + 4 = 2}\\{ \Rightarrow A\left( { - 1;2} \right)}\end{array}$

Để $\left( d \right);\left( {d'} \right);\left( {d''} \right)$ đồng quy thì $A\left( { - 1;2} \right) \in \left( d \right)$

$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow 2 = \left( {m + 2} \right).\left( { - 1} \right) - 3m}\\{ \Leftrightarrow 2 = - 2 - 4m}\\{ \Leftrightarrow 4m = - 4}\\{ \Leftrightarrow m = - 1}\end{array}$

Vậy khi $m = - 1$ thì $\left( d \right);\left( {d'} \right);\left( {d''} \right)$ đồng quy tại $A\left( { - 1;2} \right)$.

Câu 16 :

Cho hai đường tròn $\left( {O;8\,cm} \right)$ và $\left( {O';6cm} \right)$ cắt nhau tại $A,B$ sao cho $OA$ là tiếp tuyến của $\left( {O'} \right)$. Độ dài dây $AB$ là

A

$AB = 8,6\,cm$
B

$AB = 6,9\,cm$
C

$AB = 4,8\,cm$
D

$AB = 9,6\,cm$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

Vì $OA$ là tiếp tuyến của $\left( {O'} \right)$ nên $\Delta OAO'$ vuông tại $A$.

Vì $\left( O \right)$ và $\left( {O'} \right)$ cắt nhau tại $A,B$ nên đường nối tâm $OO'$ là trung trực của đoạn $AB$.

Gọi giao điểm của $AB$ và $OO'$ là $I$ thì $AB \bot OO'$ tại $I$ là trung điểm của $AB$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $OAO'$ ta có

$\dfrac{1}{{A{I^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O'{A^2}}} = \dfrac{1}{{{8^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} \Rightarrow AI = 4,8\,cm \Rightarrow AB = 9,6\,cm$

Câu 17 :

A

$6,753\,m$
B

$6,75\,m$
C

$6,751\,m$
D

$6,755\,m$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có chiều cao cột đèn là $AC$; $AB = 7,5\,m$ và $\widehat {ACB} = 42^\circ $

Xét tam giác $ACB$ vuông tại $A$ có

$AC = AB.\tan B = 7,5.\tan 42^\circ \simeq 6,753\,\,m$

Vậy cột đèn cao $6,753\,m$

Câu 18 :

Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB = $ $4\sqrt 3 $ $cm$ .

A

$\pi - 3\sqrt 3 $ $ cm^2$
B

$2\pi - 3\sqrt 3 $ $ cm^2$
C

$4\pi - 3\sqrt 3 $ $ cm^2$
D

$2\pi - \sqrt 3 $ $ cm^2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính diện tích hình viên phân.

${S_{vp\,AC}} = {S_{qAOC}} - {S_\Delta }_{AOC}$

Lời giải chi tiết :

Xét đường tròn $(O)$ có:

$\widehat {ABC}$ và $\widehat {AOC}$ là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung$AC$ $ \Rightarrow \widehat {AOC} = 2.\widehat {ABC} = {2.30^0} = {60^0}$$ \Rightarrow {S_{qAOC}} = \dfrac{{\pi {R^2}.60}}{{360}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{6}$

Xét $\Delta AOC$ có $\widehat {AOC} = {60^\circ }$ và $OA=OC=R$ nên tam giác $AOC$ đều cạnh bằng $R$ .

Gọi $CH$ là đường cao của tam giác $AOC$ , ta có:

$CH = CO.\sin {60^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.R \Rightarrow {S_{AOC}} = \dfrac{1}{2}CH.OA = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.R.R = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.{R^2}.$

Diện tích hình viên phân $AC$ là:

${S_{qAOC}} - {S_{AOC}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{6} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.{R^2} = \left( {\dfrac{\pi }{6} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}} \right).{R^2} $

$= \left( {\dfrac{{2\pi - 3\sqrt 3 }}{{12}}} \right).{\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} $

$= 2\pi - 3\sqrt 3 \, cm^2.$

Câu 19 :

Số nghiệm của hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| + 4\left| y \right| = 18\\3\left| x \right| + \left| y \right| = 10\end{array} \right.$ là:

A

2
B

4
C

3
D

1

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Đặt: $\left| x \right| = a \ge 0;\,\,\,\left| y \right| = b \ge 0$.

+ Giải hệ phương trình ẩn $a;b$ bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

+ Thay trở lại cách đặt ta tìm được $x;y.$

Lời giải chi tiết :

Đặt: $\left| x \right| = a \ge 0;\,\,\left| y \right| = b \ge 0$.

Khi đó, ta có hệ phương trình: $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 4b = 18\\3a + b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 18 - 4b\\3\left( {18 - 4b} \right) + b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 18 - 4b\\b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)$.

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = 2\\\left| y \right| = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 2\\y = \pm 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 4\end{array} \right.\end{array} \right.$

Câu 20 :

Cho biểu thức $P = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x + 1}}$. Giá trị của $P$ khi $x = 9$ là

A

$\dfrac{9}{2}$
B

$\dfrac{9}{4}$
C

$9$
D

$18$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính

Lời giải chi tiết :

Ta có $P = \dfrac{{2.9}}{{\sqrt 9 + 1}}$= $\dfrac{{18}}{3+1}$$= \dfrac{{18}}{4} = \dfrac{9}{2}.$

Câu 21 :

Cho biểu thức $P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}$.

Giá trị của $P$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2 $ là:

A

$4 + 3\sqrt 2 $
B

$4 - 3\sqrt 2 $
C

$3$
D

$3\sqrt 2 $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Sử dụng hằng đẳng thức ${a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2};\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ để rút gọn biến số trước khi thay vào biểu thức.

- Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết :

Ta có $x = 3 + 2\sqrt 2 $$ = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2}$

$\Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 + 1$

Thay $\sqrt x = \sqrt 2 + 1$ vào biểu thức $P$ ta được

$P = \dfrac{{\sqrt 2 + 1 + 1}}{{\sqrt 2 + 1 - 2}} = \dfrac{{\sqrt 2 + 2}}{{\sqrt 2 - 1}}$

$ = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}} $

$= 4 + 3\sqrt 2 $

Câu 22 :

Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 9}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)$. Rút gọn $P$ .

A

$P = \dfrac{4}{{\sqrt x - 3}}$
B

$P = \dfrac{4}{{\sqrt x + 3}}$
C

$P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 3}}$
D

$P = \dfrac{1}{{\sqrt x + 3}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết :

Điều kiện $x \ge 0;x \ne 9.$

P = $\left[ {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}} - \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}}} \right]$$\left( {\sqrt x - 3} \right)$

= $\dfrac{{\sqrt x + 1 - (\sqrt x - 3)}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}}$$\left( {\sqrt x - 3} \right)$

= $\dfrac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x + 3}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}}$$\left( {\sqrt x - 3} \right)$

= $\dfrac{4}{{\sqrt x + 3}}$

Vậy $P = \dfrac{4}{{\sqrt x + 3}}$ với $x \ge 0;x \ne 9.$

Câu 23 :

A

$A = - 2\sqrt x $
B

$A = 2\sqrt x $
C

$A = - \sqrt x $
D

$A = 4\sqrt x $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{2} - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}} \right) = \dfrac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}.\left( {\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} - \sqrt x {{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \dfrac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x \left[ {x - 2\sqrt x + 1 - \left( {x + 2\sqrt x + 1} \right)} \right]}}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{x - 2\sqrt x + 1 - x - 2\sqrt x - 1}}{2} = \dfrac{{ - 4\sqrt x }}{2} = - 2\sqrt x .\end{array}$

Vậy $A = - 2\sqrt x $ với $x > 0;\,\,x \ne 1.$

Câu 24 :

A

$m = - \dfrac{1}{4}$
B

$m = \dfrac{1}{4}$
C

$m = \dfrac{1}{2}$
D

$m = - \dfrac{1}{2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Để hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại một điểm có hoành độ $x = {x_0}$.

Bước 1. Viết phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng.

Bước 2. Thay $x = {x_0}$ vào phương trình hoành độ giao điểm để tìm $m$.

Lời giải chi tiết :

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$:

$mx - 2 = \dfrac{1}{2}x + 1$ (*)

Để hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại một điểm có hoành độ $x = - 4$ thì $x = - 4$ thỏa mãn phương trình (*).

Suy ra $m.\left( { - 4} \right) - 2 = \dfrac{1}{2}.\left( { - 4} \right) + 1 $$\Leftrightarrow - 4m - 2 = - 2 + 1 \Leftrightarrow - 4m = 1$

$\Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{4}$.

Câu 25 :

Cho đường thẳng $d':y = - 2x + 6$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $d'$ với $Ox$ và $Oy$. Khi đó chu vi tam giác $OMN$ là:

A

$6 + 3\sqrt 5 $
B

$9 + 3\sqrt 5 $
C

$6$
D

$9$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tìm giao điểm của đường thẳng với trục hoành, trục tung

- Áp dụng định lý Py-ta-go để tính độ dài đoạn thẳng.

- Sử dụng công thức chu vi tam giác.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}d' \cap Ox = M(3;0) \Rightarrow OM = 3\\d' \cap Oy = N(0;6) \Rightarrow ON = 6\end{array}$

Ta có tam giác $OMN$ vuông tại $O$.

Áp dụng định lý Py ta go ta có:

$M{N^2} = O{M^2} + O{N^2} = 9 + 36 = 45 \Rightarrow MN = 3\sqrt 5 $

Suy ra chu vi tam giác $OMN$ là: $MN + OM + ON = 3\sqrt 5 + 3 + 6 = 9 + 3\sqrt 5 $

Câu 26 :

A

$14$ ngày và $11$ ngày
B

$14$ ngày và $12$ ngày
C

$12$ ngày và $11$ ngày
D

$13$ ngày và $11$ ngày

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1: Lập hệ phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình

Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ…

Bước 3: Kết luận

Lời giải chi tiết :

Gọi thời gian người thứ 1 làm một mình xong công việc là: $x$ (ngày); ($x > 5,5$)

Gọi thời gian người thứ 2 làm một mình xong công việc là: $y$ (ngày); ($y > 5,5$)

1 ngày người thứ nhất làm là $\dfrac{1}{x}$ công việc.

1 ngày người thứ hai làm là $\dfrac{1}{y}$ công việc.

Theo bài ra: người thứ nhất làm trong $7$ ngày, người thứ 2 làm trong $5,5$ ngày thì xong công việc nên ta có:

$\dfrac{7}{x} + \dfrac{{5,5}}{y} = 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$.

Vì làm một mình người thứ nhất lâu hơn người thứ hai là 3 ngày nên ta có: x – y =3 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{7}{x} + \dfrac{{5,5}}{y} = 1\\x - y = 3\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 3\\\dfrac{7}{{y + 3}} + \dfrac{{5,5}}{y} = 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 3\\7y + 5,5y + 16,5 = {y^2} + 3y\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 3\\{y^2} - 9,5y - 16,5 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 3\\\left[ \begin{array}{l}y = 11\,\,(tmdk)\\y = - 1,5\,\,(ktmdk)\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11\\x = 14\end{array} \right.\end{array}$

Vậy người thứ hai làm xong công việc một mình trong $11$ (ngày); người thứ nhất làm xong công việc một mình trong $14$ (ngày).

Câu 27 :

Có 2 loại quặng chứa 75% sắt và 50% sắt. Tính khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn với quặng chứa 50% sắt để được $25$ tấn quặng chứa 66% sắt.

A

$16$ tấn
B

$9$ tấn
C

$10$ tấn
D

$8$ tấn

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1: Lập hệ phương trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình

Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ…

Bước 3: Kết luận

Lời giải chi tiết :

Gọi khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn là $x$ tấn,

Gọi khối lượng quặng chứa 50% sắt đem trộn là $y$ tấn $(x,y > 0)$.

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\75\% x + 50\% y = 66\% .25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\0,75x + 0,5y = 16,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,5x + 0,5y = 12,5\\0,75x + 0,5y = 16,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,25x = 4\\x + y = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 16\\y = 9\end{array} \right.$(tmdk).

Vậy khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn là $16$ tấn.

Câu 28 :

Giá trị nào dưới đây gần nhất với giá trị của $m$để phương trình ${x^2} + 3x - m = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn: $2{x_1} + 3{x_2} = 13$.

A

$416$
B

$415$
C

$414$
D

$418$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.$.

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Phương trình ${x^2} + 3x - m = 0$ có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta = 9 + 4m$

Phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ khi $\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 9 + 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{9}{4}$.

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 3\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = - m\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Xét $2{x_1} + 3{x_2} = 13$$ \Leftrightarrow {x_1} = \dfrac{{13 - 3{x_2}}}{2}$ thế vào phương trình $\left( 1 \right)$ ta được $\dfrac{{13 - 3{x_2}}}{2} + {x_2} = - 3 \Leftrightarrow {x_2} = 19 \Rightarrow {x_1} = - 22$

Từ đó phương trình $\left( 2 \right)$ trở thành $ - 19.22 = - m \Leftrightarrow m = 418$ (nhận)

Vậy $m = 418$ là giá trị cần tìm.

Câu 29 :

Phương trình $\dfrac{{2x}}{{x - 2}} - \dfrac{5}{{x - 3}} = \dfrac{{ - 9}}{{{x^2} - 5x + 6}}$có số nghiệm là

A

$2$
B

$1$
C

$0$
D

$3$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x \ne 2;x \ne 3$

$\dfrac{{2x}}{{x - 2}} - \dfrac{5}{{x - 3}} = \dfrac{-9}{{{x^2} - 5x + 6}}$$ \Leftrightarrow \dfrac{{2x\left( {x - 3} \right) - 5\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{ - 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}$$ \Rightarrow 2{x^2} - 11x + 19 = 0$

Nhận thấy $\Delta = {11^2} - 4.19.2 = - 31 < 0$ nên phương trình $2{x^2} - 11x + 19 = 0$ vô nghiệm. Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 30 :

Phương trình $\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} + \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} = 2$ có bao nhiêu nghiệm?

A

$1$
B

$3$
C

$0$
D

$2$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $4x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{4}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm $\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }};\dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x}$

Ta có $\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} + \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }}.\dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x}} $$ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} + \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} \ge 2$

Dấu “=” xảy ra khi $\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} = \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 4x - 1$

Nên phương trình $\dfrac{x}{{\sqrt {4x - 1} }} + \dfrac{{\sqrt {4x - 1} }}{x} = 2$$ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 1 = 0$có $\Delta ' = 3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 3 \,\left( N \right)\\x = 2 - \sqrt 3 \,\left( N \right)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Câu 31 :

A

$10$
B

$35$
C

$36$
D

$18$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giải bài toán có nội dung hình học bằng cách lập phương trình.

Chú ý công thức: $a = \dfrac{{2.S}}{h}$ với $S$ là diện tích tam giác, $h$ là chiều cao, $a$ là độ dài cạnh đáy.

Lời giải chi tiết :

Gọi chiều cao ứng với cạnh đáy của thửa ruộng là $h\left( m \right);h > 0$

Vì thửa ruộng hình tam giác có diện tích $180\,{m^2}$ nên chiều dài cạnh đáy thửa ruộng là $\dfrac{{180.2}}{h}$ hay $\dfrac{{360}}{h}$ $\left( m \right)$

Vì tăng cạnh đáy thêm $4m$ và chiều cao giảm đi $1m$ thì diện tích không đổi nên ta có phương trình

$\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{360}}{h} + 4} \right)\left( {h - 1} \right) = 180 \Rightarrow 4{h^2} - 4h - 360 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 10\,\left( {TM} \right)\\h = - 9\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Nên chiều cao $h = 10\,\,m$

Suy ra cạnh đáy của thửa ruộng ban đầu là $\dfrac{{360}}{{10}} = 36\,\,\left( m \right)$

Câu 32 :

A

$11{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$
B

$12{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$
C

$14{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$
D

$15{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Gọi vận tốc của ca nô lúc dòng nước yên lặng là $x{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right);\left( {x > {\rm{2}}} \right)$

Vì vận tốc nước là $2{\rm{ km/h}}$ nên vận tốc xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là $x{\rm{ }} + {\rm{ }}2$ và $x{\rm{ - }}2{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$

Thời gian để ca nô đi hết $42{\rm{ km}}$ xuôi dòng là $\dfrac{{42}}{{x + 2}}{\rm{(h)}}$

Thời gian để ca nô đi hết $20{\rm{ km}}$ ngược dòng là $\dfrac{{20}}{{x - 2}}{\rm{(h)}}$

Tổng thời gian là $5{\rm{h}}$ do đó

$\dfrac{{42}}{{x + 2}} + \dfrac{{20}}{{x - 2}} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{42(x - 2) + 20(x + 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{62x - 44}}{{{x^2} - 4}} = 5$

$ \Rightarrow 5{x^2} - 62x + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12{\rm{(TM)}}\\x = 0,4{\rm{(L)}}\end{array} \right.$

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là $12{\rm{ km/h}}$ .

Câu 33 :

A

$13$ $ha$
B

$14$ $ha$
C

$16$ $ha$
D

$15$ $ha$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Gọi diện tích rừng mà mỗi tuần lâm trường dự định trồng là $x\left( {ha} \right)$ (Điều kiện: $x > 0$)

Theo dự định, thời gian trồng hết $75$ ha rừng là: $\dfrac{{75}}{x}$(tuần)

Vì mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức $5$ha so với dự định nên thực tế mỗi tuần lâm trường trồng được: $x + 5$ (ha)

Do đó thời gian thực tế lâm trường trồng hết $80$ ha rừng là: $\dfrac{{80}}{{x + 5}}$ (tuần)

Vì thực tế, lâm trường trồng xong sớm so với dự định là $1$tuần nên ta có phương trình:

$\dfrac{{75}}{x} - \dfrac{{80}}{{x + 5}} = 1$

$ \Leftrightarrow 75\left( {x + 5} \right) - 80x = x\left( {x + 5} \right)$

$ \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 375 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15\,\left( N \right)\\x = - 25\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Vậy mỗi tuần lâm trường dự định trồng $15$ ha rừng.

Câu 34 :

A

cắt nhau
B

không cắt nhau
C

tiếp xúc
D

đáp án khác

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Vì hai đường thẳng song song $a,b$ cách nhau một khoảng là $2,5\,cm$ mà $I \in a$ nên khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $b$ là $d = 2,5\,cm$.

Suy ra $d = R = 2,5\,cm$ nên đường tròn $\left( {I;2,5cm} \right)$ và đường thẳng $b$ tiếp xúc với nhau.

Câu 35 :

A

$A{B^2}$
B

$B{C^2}$
C

$A{C^2}$
D

$A{M^2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ quả về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để chứng minh các góc bằng nhau

Lời giải chi tiết :

Ta có $\widehat {yAB} = \widehat {ACB}$ (hệ quả) mà $\widehat {yAB} = \widehat {ABM}$ (so le trong) nên $\widehat {ACB} = \widehat {ABM} \Rightarrow \Delta AMB\backsim\Delta ABC\left( {g - g} \right)$

$\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AM.AC = A{B^2}$ .

Câu 36 :

A

$ME = MF$
B

$2ME = MF$
C

$ME = 2MF$
D

$2ME = 3MF$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có $\widehat {MCA} = \dfrac{1}{2}$ sđ $\overparen{AC}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung chắn cung $AC$) $\left( 1 \right).$

Lại có $\widehat {MEC} = \widehat {AED} = {90^0} - \widehat {EAD} = {90^0} - \dfrac{1}{2}$ sđ $\overparen{BC} = \dfrac{1}{2}$ sđ $\overparen{AC}\,\,\,\left( 2 \right).$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\widehat {MCE} = \widehat {MEC}.$

Vậy $\Delta MEC$ cân tại $M,$ suy ra $MC = ME.$

Chứng minh tương tự ta có $MC = MF.$

Suy ra $ME = MF.$

Câu 37 :

A

${h_1} = 4R;{h_2} = \dfrac{4}{3}R$
B

${h_1} = \dfrac{4}{3}R;{h_2} = 4R$
C

${h_1} = \dfrac{1}{3}R;{h_2} = 4R$
D

${h_1} = \dfrac{4}{3}R;{h_2} = \dfrac{1}{3}R$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức

+ Thể tích hình trụ : $V = \pi {R^2}{h_1}$.

+ Thể tích hình nón : $V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}{h_2}.$

+ Thể tích hình cầu : $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$

Cho ba thể tích trên bằng nhau rồi giải hệ để tìm ${h_1};{h_2}$

Lời giải chi tiết :

+ Thể tích hình trụ : ${V_1} = \pi {R^2}{h_1}$.

+ Thể tích hình nón : ${V_2} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}{h_2}.$

+ Thể tích hình cầu : ${V_3} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$

Ta có ${V_1} = {V_2} = {V_3}$

Nên $\left\{ \begin{array}{l}\pi {R^2}{h_1} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\\\dfrac{1}{3}\pi {R^2}{h_2} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{h_1} = \dfrac{4}{3}R\\{h_2} = 4R\end{array} \right.$

Câu 38 :

Cho $A = \dfrac{{2x}}{{x + 3\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x + 1}}{{x + 4\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{x + 5\sqrt x + 6}}$ với $x \ge 0$. Chọn đáp án đúng.

A

$A = 2\sqrt x $
B

Giá trị của $A$ không phụ thuộc vào biến $x.$
C

$A = 3\left( {\sqrt x + 2} \right)$
D

$A = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết :

$A = \dfrac{{2x}}{{x + 3\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x + 1}}{{x + 4\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{x + 5\sqrt x + 6}}$$= \dfrac{{2x}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{5\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$ = \dfrac{{2x\left( {\sqrt x + 3} \right) + \left( {5\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) + \left( {\sqrt x + 10} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$ = \dfrac{{2x\sqrt x + 6x + 5x + 11\sqrt x + 2 + x + 11\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$ = \dfrac{{2x\sqrt x + 12x + 22\sqrt x + 12}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$ = \dfrac{{2x\sqrt x + 2x + 10x + 10\sqrt x + 12\sqrt x + 12}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{{2x\left( {\sqrt x + 1} \right) + 10\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 12\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {2x + 10\sqrt x + 12} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\
= \dfrac{{2\left( {x + 5\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\
= \dfrac{{2\left( {x + 2\sqrt x + 3\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\
= \dfrac{{2\left[ {\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) + 3\left( {\sqrt x + 2} \right)} \right]}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\= \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = 2\end{array}$

Vậy giá trị của $A$ không phụ thuộc vào biến $x.$

Câu 39 :

A

$\Delta ABC$ cân
B

$\Delta ABC$ đều.
C

$\Delta ABC$ vuông cân
D

$\Delta ABC$ vuông

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Kẻ $AH \bot BC,\,OI \bot BC$, đường kính $AD.$

Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn để chứng minh $\widehat {ABD} = {90^0} \Rightarrow \Delta ABD \backsim \Delta AHC$.

Tính độ dài $AH$ từ tính chất hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra điều kiện để diện tích tam giác $ABC$ lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

Kẻ $AH \bot BC,\,OI \bot BC$, đường kính $AD.$

Ta chứng minh được $\Delta AHC \backsim \Delta ABD\,\left( {g - g} \right).$

Do đó $\dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{{AC}}{{AD}} \Rightarrow AH.AD = AB.AC $$\Rightarrow AB.AC = 2R.AH\,\,\left( 1 \right).$

Theo giả thiết $\sqrt {AB.AC} = R\sqrt 3 ,$ nên $AB.AC = 3{R^2}\,\,\left( 2 \right).$

Thay $\left( 2 \right)$ và $\left( 1 \right)$ ta có $AH = \dfrac{{3R}}{2}.$

Lại có $OI + OA \ge AI \ge AH$ nên $OI \ge AH - OA = \dfrac{{3R}}{2} - R = \dfrac{R}{2}.$

Do $AH = \dfrac{{3R}}{2}$ là giá trị không đổi nên ${S_{ABC}}$ lớn nhất khi $BC$ lớn nhất $ \Leftrightarrow OI$ nhỏ nhất

$ \Leftrightarrow OI = \dfrac{R}{2} \Leftrightarrow BC \bot OA \Rightarrow \Delta ABC$ cân tại $A$.

Mà $OI = \dfrac{R}{2} \Rightarrow \sin \widehat {OBI} $$= \dfrac{{OI}}{{OB}} = \dfrac{1}{2}$$ \Rightarrow \widehat {OBI} = \widehat {OCI} = {30^0} $$\Rightarrow \widehat {BOC} $$= {120^0}$$ \Rightarrow \widehat {BAC} = {60^0}$

Vậy $\Delta ABC$ đều.

Câu 40 :

A

$y = 0,5x + 0,5$
B

$y = 0,5x - 1$
C

$y = 2x - 0,5$
D

$y = 0,5x - 0,5$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Sử dụng kiến thức đường trung bình của tam giác

- Điểm thuộc đường thẳng

- Hai đường thẳng vuông góc: $ d \bot d'$ $ \Leftrightarrow a.a' = - 1$ $ (a;a' \ne 0) $

Lời giải chi tiết :

Gọi phương trình đường trung trực của $AB$ là $d:y = mx + n$ và $MN:y = ax + b$

Ta có $N$ thuộc $MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a = - b$;

$M$ thuộc $MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a = - 2$

Do đó $MN:y = - 2{\rm{x}} + 2$.

Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ của tam giác $ABC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow MN//AB$.

Vì $d$ là đường trung trực của $AB$ nên $BC \bot MN \Rightarrow m( - 2) = - 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}$

$ \Rightarrow d:y = \dfrac{1}{2}x + n$

Vì $P$ là trung điểm của $AB$ nên $d$ đi qua $P$

$ \Rightarrow - 1 = \dfrac{1}{2}( - 1) + n \Leftrightarrow n = - \dfrac{1}{2}$.

Vậy trung trực của $AB$ là : $y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}$.

Bài liên quan