Đề kiểm tra giữa kì 1 Toán 9 - Đề số 11 có lời giải chi tiết

Đề bài

Câu 1: Tính

a) \(\sqrt {50}  + \sqrt {32}  - 3\sqrt {18}  + 4\sqrt 8 \)

b) \(\frac{{5 - 2\sqrt 5 }}{{\sqrt 5  - 2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \)

Câu 2: Giải phương trình

a) \(\sqrt {4{x^2} - 4x + 1}  = 5\)

b) \(3\sqrt {x - 2}  - \sqrt {4x - 8}  + 4\sqrt {\frac{{9x - 18}}{4}}  = 14\)

c) \(\sqrt[3]{{4x - 1}} = 3\)

Câu 3: Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 2}}\) và \(B = \frac{3}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 2}} - \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 10}}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0,x \ne 4\))

a) Tính giá trị của A khi x = 9.

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Cho biểu thức P =  A.B. Tìm tất cả các giá trị của x để \(P \le {\rm{ \;}} - 1\).

Câu 4: Hãy tính chiều cao của tháp Eiffel mà không cần lên tận đỉnh tháp khi biết góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là \({62^0}\) và bóng của tháp trên mặt đất khi đó là 172m (làm tròn kết quả tới chữ số thập phân thứ nhất)

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 12cm, AC = 16cm. Kẻ đường cao AM. Kẻ \(ME \bot AB.\)

a) Tính \(BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \widehat B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \widehat C.\)

b) Tính độ dài \(AM,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BM.\)

c) Chứng minh \(AE.AB = A{C^2} - M{C^2}.\)  

Câu 6: Chứng minh rằng nếu \(xyz = 1\) thì \(\frac{1}{{1 + x + xy}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} + \frac{1}{{1 + z + zx}} = 1\).

-------- Hết --------

Lời giải chi tiết

Câu 1: Tính

a) \(\sqrt {50}  + \sqrt {32}  - 3\sqrt {18}  + 4\sqrt 8 \)

b) \(\frac{{5 - 2\sqrt 5 }}{{\sqrt 5  - 2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \)

Phương pháp:

Công thức khai phương căn bậc hai, trục căn thức.

Lời giải:

a) \(\sqrt {50}  + \sqrt {32}  - 3\sqrt {18}  + 4\sqrt 8 \)

\(\begin{array}{l} = \sqrt {25.2}  + \sqrt {16.2}  - 3\sqrt {9.2}  + 4\sqrt {4.2} \\ = 5\sqrt 2  + 4\sqrt 2  - 9\sqrt 2  + 8\sqrt 2 \\ = 8\sqrt 2 \end{array}\)

b) \(\frac{{5 - 2\sqrt 5 }}{{\sqrt 5  - 2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \)

\(\begin{array}{l} = \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5  - 2} \right)}}{{\sqrt 5  - 2}} - \sqrt {5 - 2\sqrt 5  + 1} \\ = \sqrt 5  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}} \\ = \sqrt 5  - \left| {\sqrt 5  - 1} \right|\\ = \sqrt 5  - \sqrt 5  + 1\\ = 1\end{array}\)

Câu 2: Giải phương trình

a) \(\sqrt {4{x^2} - 4x + 1}  = 5\)

b) \(3\sqrt {x - 2}  - \sqrt {4x - 8}  + 4\sqrt {\frac{{9x - 18}}{4}}  = 14\)

c) \(\sqrt[3]{{4x - 1}} = 3\)

Phương pháp:

a) Đưa về phương trình trị tuyệt đối chia hai trường hợp

b) Tìm điều kiện xác định, đưa các hệ số ra ngoài căn và rút gọn

c) Lập phương 2 vế của phương trình

Lời giải:

a) \(\sqrt {4{x^2} - 4x + 1}  = 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}  = 5\\ \Leftrightarrow \left| {2x - 1} \right| = 5\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 1 = 5\\2x - 1 =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 6\\2x =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { - 2,3} \right\}\)

b) \(3\sqrt {x - 2}  - \sqrt {4x - 8}  + 4\sqrt {\frac{{9x - 18}}{4}}  = 14\)

TXĐ: \(x \ge 2\)

\(\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow 3\sqrt {x - 2}  - \sqrt {4\left( {x - 2} \right)}  + 4\sqrt {\frac{{9\left( {x - 2} \right)}}{4}}  = 14\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {x - 2}  - 2\sqrt {x - 2}  + 6\sqrt {x - 2}  = 14\\ \Leftrightarrow 7\sqrt {x - 2}  = 14\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 2}  = 2\\ \Leftrightarrow x - 2 = 4\\ \Leftrightarrow x = 6\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ 6 \right\}\)

c) \(\sqrt[3]{{4x - 1}} = 3\)

TXĐ: \(\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow 4x - 1 = {3^3}\\ \Leftrightarrow 4x - 1 = 27\\ \Leftrightarrow 4x = 28\\ \Leftrightarrow x = 7\\ \Rightarrow S = \left\{ 7 \right\}\end{array}\)

Câu 3: Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 2}}\) và \(B = \frac{3}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 2}} - \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 10}}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0,x \ne 4\))

a) Tính giá trị của A khi x = 9.

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Cho biểu thức P =  A.B. Tìm tất cả các giá trị của x để \(P \le {\rm{ \;}} - 1\).

Phương pháp:

a) Kiểm tra x = 9 có thỏa mãn điều kiện hay không, sau đó thay vào biểu thức A để tính.

b) Xác định mẫu thức chung, quy đồng và thực hiện các phép toán với các phân thức đại số.

c) Tính P = A.B.

Biến đổi \(P \le {\rm{ \;}} - 1\) \( \Leftrightarrow P + 1 \le 0\)

\(\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \le 0\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0,g\left( x \right) < 0\) hoặc \(f\left( x \right) \le 0,g\left( x \right) > 0\)

Lời giải:

a) Với \(x = 9\left( {tmdk} \right)\) thay vào A ta được: \(A = \frac{{\sqrt 9 {\rm{ \;}} + 2}}{{\sqrt 9 {\rm{ \;}} - 2}} = \frac{{3 + 2}}{{3 - 2}} = \frac{5}{1} = 5\)

Vậy \(x = 9\) thì \(A = 5\).

b) \(B = \frac{3}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 2}} - \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 10}}{{x - 4}}\)

\( = \frac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} - \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 10}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 2} \right)}} = \frac{{3\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right) - \left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 10} \right)}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{3\sqrt x {\rm{\;}} - 6 - \sqrt x {\rm{\;}} - 10}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 2} \right)}} = \frac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 16}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 2} \right)}}\)

Vậy \(B = \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} - 16}}{{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 2} \right)}}\) với \(x \ge 0,x \ne 4\).

c) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{P = A.B}\\{P = \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 2}}.\frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} - 16}}{{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 2} \right)}}}\\{P = \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} - 16}}{{{{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} - 2} \right)}^2}}}}\end{array}\)

Để \(P \le {\rm{ \;}} - 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} - 16}}{{{{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} - 2} \right)}^2}}} \le {\rm{ \;}} - 1\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} - 16}}{{{{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 2} \right)}^2}}} + 1 \le 0}\\{ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} - 16 + x + 4\sqrt x {\rm{ \;}} + 4}}{{{{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 2} \right)}^2}}} \le 0}\\{ \Leftrightarrow \frac{{x + 6\sqrt x {\rm{ \;}} - 12}}{{{{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 2} \right)}^2}}} \le 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)}\end{array}\)

Vì \(x \ge 0,x \ne 4 \Rightarrow \sqrt x {\rm{ \;}} + 2 \ge 2 \Rightarrow {\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 2} \right)^2} \ge 4 > 0\)

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow x + 6\sqrt x {\rm{ \;}} - 12 \le 0\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow x + 6\sqrt x {\rm{ \;}} + 9 - 21 \le 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} + 3} \right)}^2} - 21 \le 0}\\{ \Leftrightarrow {\rm{ \;}} - \sqrt {21} {\rm{ \;}} \le \sqrt x {\rm{ \;}} + 3 \le \sqrt {21} }\\{ \Leftrightarrow {\rm{ \;}} - \sqrt {21} {\rm{ \;}} - 3 \le \sqrt x {\rm{ \;}} \le \sqrt {21} {\rm{ \;}} - 3}\\{ \Leftrightarrow \sqrt x {\rm{ \;}} \le \sqrt {21} {\rm{ \;}} - 3}\\{ \Leftrightarrow x \le {{\left( {\sqrt {21} {\rm{ \;}} - 3} \right)}^2}}\\{ \Leftrightarrow x \le 30 - 6\sqrt {21} }\end{array}\)

Kết hợp điều kiện: \(x \ge 0,x \ne 4\) ta có \(0 \le x \le 30 - 6\sqrt {21} \).

Vậy \(0 \le x \le 30 - 6\sqrt {21} \).

Câu 4: Hãy tính chiều cao của tháp Eiffel mà không cần lên tận đỉnh tháp khi biết góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là \({62^0}\) và bóng của tháp trên mặt đất khi đó là 172m (làm tròn kết quả tới chữ số thập phân thứ nhất)

Phương pháp:

Vận dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải:

Bài toán được mô tả như hình vẽ

Chiều cao của tháp Eiffel là độ dài đoạn BH

Tam giác ABH vuông tại H nên ta có

\(BH = AH.\tan \widehat {BAH}\) (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow BH = 172.\tan {62^0} = 323,5m\)

Vậy chiều cao của tháp Eiffel là 323,5m

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 12cm, AC = 16cm. Kẻ đường cao AM. Kẻ \(ME \bot AB.\)

a) Tính \(BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \widehat B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \widehat C.\)

b) Tính độ dài \(AM,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BM.\)

c) Chứng minh \(AE.AB = A{C^2} - M{C^2}.\)  

Phương pháp:

a) Sử dụng định lý Pitago để tính \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} .\)

Sử dụng các công thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông và định lý tổng số đo của 3 góc trong tam giác để tính số đo của \(\widehat B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \widehat C.\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AM  ta có: \(AM.BC = AB.AC\) và \(A{B^2} = BM.BC.\)  

c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AMB vuông tại A, có đường cao ME  ta có: \(A{M^2} = AE.AB\) và định lý Pitago cho \(\Delta AMC\) vuông tại M để chứng minh đẳng thức đề bài yêu cầu.

Lời giải:

 

a) Tính \(BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \widehat B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \widehat C.\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \) \( = \sqrt {{{12}^2} + {{16}^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {400} \) \( = 20{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm.\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(\sin \widehat B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{16}}{{20}} = 0,8\) \( \Rightarrow \widehat B \approx {53^0}.\)

\( \Rightarrow \widehat C = {90^0} - \widehat B\) \( = {90^0} - {53^0} = {37^0}.\)

b) Tính độ dài \(AM,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BM.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AM  ta có: \(AM.BC = AB.AC\)

\( \Rightarrow AM = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{12.16}}{{20}} = 9.6{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right).\)

Lại có: \(A{B^2} = BM.BC\) \( \Rightarrow BM = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{{12}^2}}}{{20}} = 7,2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm.\)

Vậy \(AM = 9,6{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm\) và \(BM = 7,2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm.\)

c) Chứng minh \(AE.AB = A{C^2} - M{C^2}.\) 

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AMB vuông tại A, có đường cao ME  ta có: \(A{M^2} = AE.AB\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta AMC\) vuông tại \(M\) ta có: \(A{M^2} = A{C^2} - M{C^2}\)

\( \Rightarrow AE.AB = A{C^2} - M{C^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( { = A{M^2}} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {dpcm} \right).\)

Câu 6: Chứng minh rằng nếu \(xyz = 1\) thì \(\frac{1}{{1 + x + xy}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} + \frac{1}{{1 + z + zx}} = 1\).

Phương pháp:

Sử dụng linh hoạt giả thiết \(xyz = 1\), chứng minh

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{1 + x + xy}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} = \frac{{yz + 1}}{{1 + y + yz}}}\\{\frac{1}{{1 + z + zx}} = \frac{y}{{y + yz + 1}}}\end{array}\)

Lời giải:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{1 + x + xy}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} = \frac{1}{{xyz + x + xy}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} = \frac{{xyz}}{{x\left( {yz + 1 + y} \right)}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} = \frac{{yz + 1}}{{1 + y + yz}}}\\{\frac{1}{{1 + z + zx}} = \frac{{xyz}}{{xzy + z.\left( {xyz} \right) + zx}} = \frac{{xyz}}{{xz\left( {y + yz + 1} \right)}} = \frac{y}{{y + yz + 1}}}\end{array}\)

Suy ra :\(\frac{1}{{1 + x + xy}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} + \frac{1}{{1 + z + zx}} = \frac{{yz + 1}}{{1 + y + yz}} + \frac{y}{{y + yz + 1}} = \frac{{1 + y + yz}}{{1 + y + yz}} = 1\) (đpcm)