Đề kiểm tra giữa kì 1 Toán 9 - Đề số 2 có lời giải chi tiết

Đề bài

Câu 1 (2 điểm): Thực hiện phép tính:

a) $5\sqrt {12}  - \sqrt {27}  - 2\sqrt {75}  + \sqrt {48}$                                                     

b) $\frac{2}{{\sqrt {13}  - \sqrt {11} }} + \frac{5}{{4 + \sqrt {11} }} - \sqrt {52}$

c) $\sqrt {6 + 2\sqrt 5 }  + \sqrt {9 - 4\sqrt 5 }  - \sqrt {20}$

Câu 2 (2 điểm): Giải các phương trình sau:

a) $3\sqrt x  = \sqrt {16x}  - 5$                     

b) $\sqrt {4x - 8}  - \sqrt {9x - 18}  + 4\sqrt {\frac{{x - 2}}{{25}}}  =  - 3$                   

c) $x - \sqrt {5x + 4}  = 2$

Câu 3 (2 điểm): Cho biểu thức: $A = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}};$ $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x  - 4}}{{1 - x}}\,\,\,\left( {x \ge 0,\,\,x \ne 1} \right).$

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 25.$

b) Rút gọn biểu thức $B.$

c) Tìm $x$để $A:B < \frac{1}{2}.$  

Câu 4 (3 điểm): Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ đường cao $AH,$ $AB = 6cm,$ $BC = 10\,cm.$

a) Giải tam giác vuông $ABC.$ (kết quả làm tròn đến phút)

b) Kẻ tia phân giác góc $A$ cắt $BC$ tại $E.$ Tính $BE,\,\,AE.$

c) Gọi $M,\,\,N$ theo thứ tự là hình chiếu của $E$ trên $AB$ và $AC.$ Tính diện tích tứ giác $AMEN.$  

Câu 5 (1 điểm):

a) Giải bài toán sau: (kết quả làm tròn đến số thập phân thứ hai)

Để đo chiều rộng của một khúc sông $AH,$ người ta chọn hai vị trí $B,\,\,C$ cùng một bờ. Biết $BC = 60\,\,m,$ $\angle ACB = {38^0},$ $\angle ABC = {30^0}.$  Hãy tính chiều rộng $AH$ của khúc sông đó.

 

b) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \sqrt {{{\left( {x - 2019} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x - 2020} \right)}^2}} .$  

Lời giải chi tiết

Câu 1

Phương pháp:

a) Sử dụng công thức: $\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right.,\,\,B \ge 0.$

b) Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu: $\frac{1}{{\sqrt A  - \sqrt B }} = \frac{{\sqrt A  + \sqrt B }}{{A - B}}\,\,\,\left( {A \ge 0,\,\,B \ge 0,\,\,A \ne B} \right)$ và $\frac{1}{{A + \sqrt B }} = \frac{{A - \sqrt B }}{{{A^2} - B}}$ với $B \ge 0,\,\,{A^2} \ne B.$  

c) Sử dụng công thức hằng đẳng thức ở mẫu: $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..$

Cách giải:

Thực hiện phép tính:

a) $5\sqrt {12}  - \sqrt {27}  - 2\sqrt {75}  + \sqrt {48}$                 

$\begin{array}{l} = 5\sqrt {{{3.2}^2}}  - \sqrt {{3^2}.3}  - 2\sqrt {{5^2}.3}  + \sqrt {{4^2}.3} \\ = 5.2\sqrt 3  - 3\sqrt 3  - 2.5\sqrt 3  + 4\sqrt 3 \\ = 10\sqrt 3  - 3\sqrt 3  - 10\sqrt 3  + 4\sqrt 3 \\ = \sqrt 3 .\end{array}$                                 

b) $\frac{2}{{\sqrt {13}  - \sqrt {11} }} + \frac{5}{{4 + \sqrt {11} }} - \sqrt {52}$

$\begin{array}{l} = \frac{{2\left( {\sqrt {13}  + \sqrt {11} } \right)}}{{13 - 11}} + \frac{{5\left( {4 - \sqrt {11} } \right)}}{{{4^2} - 11}} - \sqrt {{2^2}.13} \\ = \frac{{2\left( {\sqrt {13}  + \sqrt {11} } \right)}}{2} + \frac{{5\left( {4 - \sqrt {11} } \right)}}{5} - \sqrt {{2^2}.13} \\ = \sqrt {13}  + \sqrt {11}  + 4 - \sqrt {11}  - 2\sqrt {13} \\ = 4 - \sqrt {13} .\end{array}$

c) $\sqrt {6 + 2\sqrt 5 }  + \sqrt {9 - 4\sqrt 5 }  - \sqrt {20}$

$\begin{array}{l} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 2\sqrt 5  + 1}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 2.2.\sqrt 5  + {2^2}}  - \sqrt {{2^2}.5} \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 2} \right)}^2}}  - 2\sqrt 5 \\ = \left| {\sqrt 5  + 1} \right| + \left| {\sqrt 5  - 2} \right| - 2\sqrt 5 \\ = \sqrt 5  + 1 + \sqrt 5  - 2 - 2\sqrt 5 \,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 5  - 2 > 0} \right)\\ =  - 1.\end{array}$

Câu 2

Phương pháp:

Tìm điều kiện để phương trình xác định.

Giải phương trình: $\sqrt {f\left( x \right)}  = a\,\,\left( {a \ge 0} \right)$ $\Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = {a^2}.$

Cách giải:

Giải các phương trình sau:

a) $3\sqrt x  = \sqrt {16x}  - 5\,\,\,\,\left( * \right)$  

Điều kiện: $x \ge 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 3\sqrt x  = 4\sqrt x  - 5\\ \Leftrightarrow \sqrt x  = 5 \Leftrightarrow x = 25\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 25.$        

b) $\sqrt {4x - 8}  - \sqrt {9x - 18}  + 4\sqrt {\frac{{x - 2}}{{25}}}  =  - 3\,\,\,\,\left( * \right)$       

Điều kiện:$x \ge 2.$  

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {4\left( {x - 2} \right)}  - \sqrt {9\left( {x - 2} \right)}  + 4.\frac{{\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {25} }} =  - 3\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 2}  - 3\sqrt {x - 2}  + \frac{4}{5}\sqrt {x - 2}  =  - 3\\ \Leftrightarrow  - \frac{1}{5}.\sqrt {x - 2}  =  - 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 2}  = 15\\ \Leftrightarrow x - 2 = 225\\ \Leftrightarrow x = 227\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 227.$

c) $x - \sqrt {5x + 4}  = 2\,\,\,\left( * \right)$

Điều kiện: $$x \ge  - \frac{4}{5}.$$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow x - 2 = \sqrt {5x + 4} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} = 5x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} - 4x + 4 = 5x + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} - 9x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x\left( {x - 9} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 9 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 9\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 9.\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 9.$

Câu 3

Phương pháp:

a) Thay giá trị $x = 25\,\,\left( {tm} \right)$ vào biểu thức $A$ để tính giá trị của biểu thức.

b) Biến đổi, quy đồng sau đó rút gọn biểu thức đã cho.

c) Giải bất phương trình $A:\,B < \frac{1}{2}$ để tìm $x.$ Đối chiếu với điều kiện xác định rồi kết luận.

Cách giải:

Cho biểu thức: $A = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}};$ $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x  - 4}}{{1 - x}}\,\,\,\left( {x \ge 0,\,\,x \ne 1} \right).$

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 25.$

Điều kiện: $x \ge 0,\,\,x \ne 1.$

Thay giá trị $x = 25\,\,\left( {tm} \right)$ vào biểu thức ta được: $A = \frac{{\sqrt {25}  - 2}}{{\sqrt {25}  + 1}} = \frac{{5 - 2}}{{5 + 1}} = \frac{1}{2}.$

Vậy với $x = 25$ thì $A = \frac{1}{2}.$

b) Rút gọn biểu thức $B.$

Điều kiện: $x \ge 0,\,\,x \ne 1.$

$\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x  - 4}}{{1 - x}}\,\,\, = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{\sqrt x  - 4}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) + \sqrt x  - 4}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{x - \sqrt x  + \sqrt x  - 4}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{x - 1}}.\end{array}$

c) Tìm $x$để $A:B < \frac{1}{2}.$  

Điều kiện: $x \ge 0,\,\,x \ne 1.$

Ta có: $A:B < \frac{1}{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}}:\frac{{x - 4}}{{x - 1}} < \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}}.\frac{{x - 1}}{{x - 4}} < \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}}.\frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} < \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{1}{2} < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x  - 2 - \sqrt x  - 2}}{{2\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} < 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x  - 4 < 0\,\,\,\left( {do\,\,\,2\left( {\sqrt x  + 2} \right) > 0\,\,\forall x\,\,tm\,\,dkxd} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x  < 4\\ \Leftrightarrow x < 16\end{array}$ 

Kết hợp với điều kiện $x \ge 0,\,\,x \ne 1$ ta có: $0 \le x < 16,\,\,x \ne 1$ thỏa mãn bài toán.

Vậy $0 \le x < 16,\,\,x \ne 1$ thỏa mãn bài toán.

Câu 4

Phương pháp:

a) Sử dụng định lý Pitago và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác để giải $\Delta ABC.$

b) Sử dụng tính chất tia phân giác của tam giác để tính $BE,\,\,AE.$

Ta có: $AE$ là tia phân giác của $\angle A$ $\Rightarrow \frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{CE}}{{CA}}.$  

c) Chứng minh tứ giác $AMEN$ là hình chữ nhật.

Vì $AE$ là phân giác của $\angle A$ $\Rightarrow \angle MAE = \angle NEA = {45^0}$

$\Rightarrow \Delta AME,\,\,\Delta ANE$ là các tam giác vuông cân tị $M$ và $N.$

$\Rightarrow AMEN$ là hình vuông.

Từ đó tính $AM,\,\,AN$ $\Rightarrow {S_{AMEN}} = A{M^2}.$

Cách giải:

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ đường cao $AH,$ $AB = 6cm,$ $BC = 10\,cm.$

a) Giải tam giác vuông $ABC.$ (kết quả làm tròn đến phút)

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8\,\,cm.$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$\sin \angle B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5}$ $\Rightarrow \angle B \approx {53^0}8'$

$\sin \angle C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \angle C \approx {36^0}52'$

Vậy $AC = \,8\,\,cm,\,\,\angle B \approx {53^0}8',\,\,\angle C \approx {36^0}52'.$

b) Kẻ tia phân giác góc $A$ cắt $BC$ tại $E.$ Tính $BE,\,\,AE.$

Áp dụng tính chất của tia phân giác ta có: $\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{CE}}{{CA}} \Leftrightarrow \frac{{BE}}{6} = \frac{{CE}}{8}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{BE}}{6} = \frac{{CE}}{8} = \frac{{BE + CE}}{{6 + 8}} = \frac{{10}}{{14}} = \frac{5}{7}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BE = \frac{5}{7}.6 = \frac{{30}}{7}\,\,cm\\CE = \frac{5}{7}.8 = \frac{{40}}{7}\,\,cm\end{array} \right..\end{array}$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ABC$ vuông tại$A,$ có đường cao $AH$ ta có:

$AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{6.8}}{{10}} = 4,8\,\,cm.$

$A{B^2} = BH.BC$ $\Rightarrow BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{6^2}}}{{10}} = 3,6\,\,cm.$

$\Rightarrow HE = BE - BH = \frac{{30}}{7} - 3,6 = \frac{{24}}{{35}}.$

Áp dụng định lý Pitago cho  $\Delta AHE$ vuông tại $H$ ta có:

$AE = \sqrt {A{H^2} + H{E^2}}  = \sqrt {4,{8^2} + {{\left( {\frac{{24}}{{35}}} \right)}^2}}$ $= \sqrt {\frac{{1152}}{{49}}}  = \frac{{24\sqrt 2 }}{7}\,\,cm.$

Vậy $BE = \frac{{30}}{7}\,\,cm,\,\,\,AE = \frac{{24\sqrt 2 }}{7}\,\,cm.$

c) Gọi $M,\,\,N$ theo thứ tự là hình chiếu của $E$ trên $AB$ và $AC.$ Tính diện tích tứ giác $AMEN.$  

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}EM \bot AB = \left\{ M \right\}\\EN \bot AC = \left\{ N \right\}\end{array} \right.$ $\Rightarrow \angle AME = \angle ANE = {90^0}$

Xét tứ giác $AMEN$ ta có:$\angle MAN = \angle AME = \angle ANE = {90^0}$

$\Rightarrow AMEN$ là hình chữ nhật.

Vì $AE$ là phân giác của $\angle A$ $\Rightarrow \angle MAE = \angle NEA = {45^0}$

$\Rightarrow \Delta AME,\,\,\Delta ANE$ là các tam giác vuông cân tị $M$ và $N.$

$\Rightarrow AMEN$ là hình vuông.

Xét $\Delta AME$ vuông cân tại$M$ ta có:

$\begin{array}{l}A{E^2} = A{M^2} + M{E^2} = 2A{M^2}\\ \Rightarrow A{M^2} = \frac{{A{E^2}}}{2} = \frac{{1152}}{{2.49}} = \frac{{576}}{{49}}\\ \Rightarrow {S_{AMEN}} = A{M^2} = \frac{{576}}{{49}}\,\,\,c{m^2}.\end{array}$

Câu 5

Phương pháp:

a) Áp dụng hệ số về cạnh và góc trong các tam giác $ABH,\,\,ACH$ vuông tại $H$ để tính $AH.$

b) Sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối: $\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|.$

Dấu “=” xảy ra $ab \ge 0.$

Cách giải:

a) Giải bài toán sau: (kết quả làm tròn đến số thập phân thứ hai)

Để đo chiều rộng của một khúc sông $AH,$ người ta chọn hai vị trí $B,\,\,C$ cùng một bờ. Biết $BC = 60\,\,m,$ $\angle ACB = {38^0},$ $\angle ABC = {30^0}.$  Hãy tính chiều rộng $AH$ của khúc sông đó.

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ ta có:  

Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H$ ta có: $CH = AH\cot C = AH\cot {38^0} \approx 1,28AH$

$\begin{array}{l} \Rightarrow BC = BH + HC = \sqrt 3 AH + 1,28AH\\ \Leftrightarrow 60 = 3,01AH\\ \Leftrightarrow AH \approx 19,92\,\,m.\end{array}$

Vậy chiều rộng của khúc sông khoảng $19,92\,\,m.$

b) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \sqrt {{{\left( {x - 2019} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x - 2020} \right)}^2}} .$  

Ta có:

$\begin{array}{l}A = \sqrt {{{\left( {x - 2019} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x - 2020} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\, = \left| {x - 2019} \right| + \left| {x - 2020} \right|\\\,\,\,\,\, = \left| {x - 2019} \right| + \left| {2020 - x} \right|\\\,\,\,\,\, \ge \left| {x - 2019 + 2020 - x} \right| = 1\end{array}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left( {x - 2019} \right)\left( {2020 - x} \right) \ge 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 2019} \right)\left( {x - 2020} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 2019 \le x \le 2020.\end{array}$

Vậy $MinA = 1$ khi $2019 \le x \le 2020.$