Đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 - Đề số 2Đề bài
Câu 1 :
Cho hai đường tròn $\left( {O;4cm} \right)$ và $\left( {O';3cm} \right)$ biết $OO' = 5cm$. Hai đường tròn trên cắt nhau tại $A$ và \(B\). Độ dài $AB$ là:
Câu 2 :
Cho đường thẳng \(d\):\(y = - kx + b\,\,\left( {k \ne 0} \right)\). Hệ số góc của đường thẳng \(d\) là
Câu 3 :
Khẳng định nào sau đây là đúng? Cho hai góc phụ nhau thì
Câu 4 :
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 5 :
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + x\). Tính \(f\left( 2 \right)\)
Câu 6 :
Điểm $\left( { - 2;3} \right)$ thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau:
Câu 7 :
Cho hai đường tròn \(\left( {O;6\,cm} \right)\) và \(\left( {O';2\,cm} \right)\) cắt nhau tại \(A,B\) sao cho \(OA\) là tiếp tuyến của \(\left( {O'} \right)\). Độ dài dây \(AB\) là
Câu 8 :
Cho hai hàm số $f\left( x \right) = - 2{x^3}$ và $h\left( x \right) = 10 - 3x$. So sánh $f\left( { - 2} \right)$ và $h\left( { - 1} \right)$
Câu 9 :
Rút gọn biểu thức \(A = 3\sqrt 8 - \sqrt {18} + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}} + \sqrt {50} \) ta được kết quả là
Câu 10 :
Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm $M$ bất kỳ, biết rằng $OM = R$. Chọn khẳng định đúng?
Câu 11 :
Đưa thừa số $5y\sqrt y $ ($y \ge 0$) vào trong dấu căn ta được
Câu 12 :
Cho \(\left( {O;4cm} \right)\). Đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;4\,cm} \right)\), khi đó
Câu 13 :
Tìm $m$ để đường thẳng $\left( d \right):{\rm{ }}y = x + 3;\left( {d'} \right):{\rm{ }}y = - x + 1;\left( {d''} \right):{\rm{ }}y = \sqrt 3 x - m - 2$ đồng quy.
Câu 14 :
Giải tam giác vuông $ABC,$ biết $\widehat A = 90^\circ \;$ và $BC = 50cm;\widehat B = {48^o}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Câu 15 :
Cho biểu thức $C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$ với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$. Câu 15.1
Tìm $x$ để $C < 1$
Câu 15.2
Rút gọn biểu thức $C$ ta được
Câu 16 :
Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)$ Câu 16.1
Rút gọn $P.$
Câu 16.2
Tính giá trị của P biết $x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}$
Câu 16.3
Tìm \(x\) để$P < - \dfrac{1}{2}$
Câu 16.4
Có bao nhiêu giá trị $x \in Z$ để $P \in Z$.
Câu 17 :
Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$. Vẽ dây $AC$ sao cho \(\widehat {ABC} = 30^\circ \) . Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = R$ . Câu 17.1
Chọn khẳng định đúng?
Câu 17.2
Tính độ dài $MC$ theo $R.$
Câu 18 :
Cho hai đường tròn $\left( {{O_1}} \right)$ và $\left( {{O_2}} \right)$ tiếp xúc ngoài tại $A$ và một đường thẳng $d$ tiếp xúc với $\left( {{O_1}} \right);\left( {{O_2}} \right)$ lần lượt tại $B,C$. Câu 18.1
Tam giác $ABC$ là
Câu 18.2
Lấy $M$ là trung điểm của $BC$. Chọn khẳng định sai?
Câu 19 :
Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB.$ Vẽ các tiếp tuyến $Ax$ và $By$ ($Ax$ và $By$ và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là $AB$ ). Gọi $M$ là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại $M$ cắt $Ax$ và $By$ theo thứ tự tại $C$ và $D.$ Lấy $I$ là trung điểm của $CD.$ Câu 19.1
Chọn câu sai.
Câu 19.2
Hình thang $ABDC$ có chu vi nhỏ nhất là
Câu 20 :
Rút gọn biểu thức $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }}$ với $x > 0$ ta được
Câu 21 :
Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 5} = x - 2\) ta được nghiệm là
Câu 22 :
Cho hai đường thẳng ${d_1}:y = 2x - 2$ và ${d_2}:y = 3 - 4x$. Tung độ giao điểm của ${d_1};{d_2}$ có tọa độ là
Câu 23 :
Cho hai đường thẳng \(d:y = \left( {1 - m} \right)x + \dfrac{m}{2}\) và \(d':y = - x + 1\) .Với giá trị nào của \(m\) thì \(d\) \( \equiv \) \(d'\)?
Câu 24 :
Viết phương trình đường thẳng \(d\) biết \(d\) tạo với đường thẳng \(y = 2\) (theo chiều dương) một góc bằng \(135^\circ \) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(4\).
Câu 25 :
Đường thẳng $y = a{\rm{x}} + b$ đi qua $2$ điểm $M\left( { - 3;2} \right)$ và $N\left( {1; - 1} \right)$ là:
Câu 26 :
Tính \(\sin \alpha ,\,\,\tan \alpha \) biết \(\cos \alpha = \dfrac{3}{4}\).
Câu 27 :
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = {70^0},\widehat C = {35^0},AC = 4,5cm.\) Diện tích tam giác \(ABC\) gần nhất với giá trị nào dưới đây? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Câu 28 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , có$AB = 15cm;AC = 20cm$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Câu 29 :
Cho nửa đường tròn $\left( O \right)$, đường kính $AB$ và một dây $CD$. Kẻ $AE$ và $BF$ vuông góc với $CD$ lần lượt tại $E$ và $F$ . So sánh độ dài $CE$ và $DF$ .
Câu 30 :
Cho đường tròn $\left( {O;25cm} \right)$ và dây $AB$ bằng $40cm.$ Khi đó khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ là
Câu 31 :
Tìm $m$ để đường thẳng $d:y = mx + 1$ cắt đường thẳng $d':y = 2x - 1$ tại $1$ điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ $II$ và thứ $IV$.
Câu 32 :
Cho hình thang \(ABCD\) có \(\widehat A = \widehat D = {90^0},\widehat B = {60^0},CD = 30cm,CA \bot CB\). Tính diện tích của hình thang.
Câu 33 :
Cho đường thẳng xy và đường tròn (O; R) không giao nhau. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O) tại A và B. Kẻ \(OH \bot xy\) . Chọn câu đúng.
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cho hai đường tròn $\left( {O;4cm} \right)$ và $\left( {O';3cm} \right)$ biết $OO' = 5cm$. Hai đường tròn trên cắt nhau tại $A$ và \(B\). Độ dài $AB$ là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Dựa vào tính chất hai đường tròn cắt nhau. Định lí Pi-ta-go đảo. Lời giải chi tiết :
Xét tam giác $OAO'$ có $O{A^2} + O'{A^2} = OO{'^2}$ (vì ${4^2} + {3^2} = {5^2}$) nên tam giác $OAO'$ vuông tại $A$. Xét $\Delta HAO \backsim \Delta AO'O (g.g)$ nên $\frac{AH}{OA} = \frac{O'A}{OO'}$ suy ra $AH.OO' = OA.O'A \Rightarrow AH = \dfrac{{OA.O'A}}{{OO'}} = \dfrac{{4.3}}{5} = \dfrac{{12}}{5}$ Mà $AB = 2AH$ nên $AB = \dfrac{{24}}{5} = 4,8cm$
Câu 2 :
Cho đường thẳng \(d\):\(y = - kx + b\,\,\left( {k \ne 0} \right)\). Hệ số góc của đường thẳng \(d\) là
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Đường thẳng \(d\) có phương trình \(y = - kx + b\,\,\left( {k \ne 0} \right)\) có \( - k\) là hệ số góc.
Câu 3 :
Khẳng định nào sau đây là đúng? Cho hai góc phụ nhau thì
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Với hai góc phụ nhau thì sin góc nọ bằng sin góc kia và tan góc nọ bằng cotan góc kia.
Câu 4 :
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Với mọi $a,b$ ta có $\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b} \Leftrightarrow a > b$
Câu 5 :
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + x\). Tính \(f\left( 2 \right)\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng cách tính giá trị hàm số tại một điểm Để tính giá trị \({y_0}\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) ta thay \(x = {x_0}\) vào \(f\left( x \right)\), ta được \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\). Lời giải chi tiết :
Thay \(x = 2\) vào hàm số ta được \(f\left( 2 \right) = {2^3} + 2 = 10\).
Câu 6 :
Điểm $\left( { - 2;3} \right)$ thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau:
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Điểm $({x_0};{y_0})$ thuộc ĐTHS $y = {\rm{ax}} + b \Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}_0} + b = {y_0}$. - Tính toán và chọn đáp án phù hợp. Lời giải chi tiết :
Ta có $3( - 2) - 2.3 = - 12 \ne 3$=> loại A $3( - 2) - 3 = - 9 \ne 0$ => loại B $0( - 2) + 3 = 3$
Câu 7 :
Cho hai đường tròn \(\left( {O;6\,cm} \right)\) và \(\left( {O';2\,cm} \right)\) cắt nhau tại \(A,B\) sao cho \(OA\) là tiếp tuyến của \(\left( {O'} \right)\). Độ dài dây \(AB\) là
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông. Lời giải chi tiết :
Vì \(OA\) là tiếp tuyến của \(\left( {O'} \right)\) nên \(\Delta OAO'\) vuông tại \(A\). Vì \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại \(A,B\) nên đường nối tâm \(OO'\) là trung trực của đoạn \(AB\). Gọi giao điểm của \(AB\) và \(OO'\) là \(I\) thì \(AB \bot OO'\) tại \(I\) là trung điểm của \(AB\) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OAO'\) ta có \(\dfrac{1}{{A{I^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O'{A^2}}} = \dfrac{1}{{{6^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}} \Rightarrow AI = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5}\,cm \Rightarrow AB = \dfrac{{6\sqrt {10} }}{5}\,cm\)
Câu 8 :
Cho hai hàm số $f\left( x \right) = - 2{x^3}$ và $h\left( x \right) = 10 - 3x$. So sánh $f\left( { - 2} \right)$ và $h\left( { - 1} \right)$
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng cách tính giá trị hàm số tại một điểm Để tính giá trị ${y_0}$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ ta thay $x = {x_0}$ vào $f\left( x \right)$, ta được ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$. So sánh các giá trị tìm được Lời giải chi tiết :
Thay $x = - 2$ vào hàm số $f\left( x \right) = - 2{x^3}$ ta được $f\left( { - 2} \right) = - 2.{\left( { - 2} \right)^3} = 16$. Thay $x = - 1$ vào hàm số $h\left( x \right) = 10 - 3x$ ta được $h\left( { - 1} \right) = 10 - 3\left( { - 1} \right) = 13$ Nên $f\left( { - 2} \right) > h\left( { - 1} \right)$.
Câu 9 :
Rút gọn biểu thức \(A = 3\sqrt 8 - \sqrt {18} + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}} + \sqrt {50} \) ta được kết quả là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức khai phương một tích, khai phương một thương, trục căn thức ở mẫu + Khai phương một tích: \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B {\rm{ }}(A \ge 0,B \ge 0)\) + Khai phương một thương: \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}{\rm{ }}(A \ge 0,B > 0)\) + Với \(A.B \ge 0\) và \(B \ne 0\) thì \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}\) Lời giải chi tiết :
\(A = 3\sqrt 8 - \sqrt {18} + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}} + \sqrt {50} \) \( = 3\sqrt {4.2} - \sqrt {9.2} + 5 \dfrac{\sqrt 2}{2} + \sqrt {25.2} \) \( = 6\sqrt 2 - 3\sqrt 2 + \dfrac{5}{2}\sqrt 2 + 5\sqrt 2 \) \( = \left( {6 - 3 + \dfrac{5}{2} + 5} \right).\sqrt 2 \) \( = \dfrac{{21}}{2}\sqrt 2 \)
Câu 10 :
Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm $M$ bất kỳ, biết rằng $OM = R$. Chọn khẳng định đúng?
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Cho điểm $M$ và đường tròn $\left( {O;R} \right)$ ta so sánh khoảng cách $OM$ với bán kính $R$ để xác định vị trí tương đối theo bảng sau:
Câu 11 :
Đưa thừa số $5y\sqrt y $ ($y \ge 0$) vào trong dấu căn ta được
Đáp án : B Phương pháp giải :
Đưa thừa số vào trong dấu căn +) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$ +) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$ Lời giải chi tiết :
Ta có $5y\sqrt y $$ = \sqrt {{{\left( {5y} \right)}^2}y} = \sqrt {25{y^2}.y} = \sqrt {25{y^3}} $.
Câu 12 :
Cho \(\left( {O;4cm} \right)\). Đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;4\,cm} \right)\), khi đó
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính của đường tròn đó.
Câu 13 :
Tìm $m$ để đường thẳng $\left( d \right):{\rm{ }}y = x + 3;\left( {d'} \right):{\rm{ }}y = - x + 1;\left( {d''} \right):{\rm{ }}y = \sqrt 3 x - m - 2$ đồng quy.
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng cho trước $d;d'$ - Cho giao điểm vừa tìm được thuộc vào đường thẳng $d''$. Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b \)\(\Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b\) Lời giải chi tiết :
$d:y = x + 3;d':y = - x + 1;d'':y = \sqrt 3 x - m - 2$ Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$: $x + 3 = - x + 1 \Leftrightarrow 2x = - 2 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y = 2$ Do đó $d$ và $d'$ cắt nhau tại điểm $\left( { - 1;2} \right)$. Điểm $A( - 1;2) \in d'':y = \sqrt 3 x - m - 2 $$\Leftrightarrow 2 = \sqrt 3 .\left( { - 1} \right) - m - 2 $$\Leftrightarrow m = - 4 - \sqrt 3 $ Vậy $m = - 4 - \sqrt 3 $.
Câu 14 :
Giải tam giác vuông $ABC,$ biết $\widehat A = 90^\circ \;$ và $BC = 50cm;\widehat B = {48^o}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vuông đó Sử dụng các tỉ số lượng giác, định lý về góc trong tam giác, hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông. Lời giải chi tiết :
Xét $\Delta ABC$ có: $\widehat A = {90^o}$ \(AC = BC.\sin B = 50.\sin 48^\circ \approx 37,2cm\) \(AB = BC.\cos B = 50.\cos 48^\circ \approx 33,5cm\) Vậy \(AC = 37,2\,cm;\,AB = 33,5\,cm;\,\widehat C = 42^\circ \) .
Câu 15 :
Cho biểu thức $C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$ với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$. Câu 15.1
Tìm $x$ để $C < 1$
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Chuyển vế, quy đồng các phân thức sau đó xét các trường hợp xảy ra của bất phương trình -So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm. Lời giải chi tiết :
Theo câu trước ta có $C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$ với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$ Để $C < 1$ $\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} < 1 \\ \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} < 0 \\ \dfrac{4}{{\sqrt x - 3}} < 0$ Mà $4 > 0$ nên $\sqrt x - 3 < 0 $ hay $\sqrt x < 3 \Rightarrow x < 9$ Kết hợp điều kiện $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$ suy ra $0 \le x < 9;x \ne 4$. Câu 15.2
Rút gọn biểu thức $C$ ta được
Đáp án : C Phương pháp giải :
-Tìm mẫu thức chung bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử -Quy đồng mẫu thức các phân thức. -Cộng trừ các phân thức đã quy đồng và rút gọn. Lời giải chi tiết :
Ta có $x - 5\sqrt x + 6 = x - 2\sqrt x - 3\sqrt x + 6 = \sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) - 3\left( {\sqrt x - 2} \right) = \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)$ nên $C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$$ = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$ $ = \dfrac{{2\sqrt x - 9 - \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$ = \dfrac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$ $ = \dfrac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{x - 2\sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) + \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$ Vậy $C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$
Câu 16 :
Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)$ Câu 16.1
Rút gọn $P.$
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Tìm điều kiện + Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức + Từ đó rút gọn biểu thức Lời giải chi tiết :
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x - 3 \ne 0\\x - 9 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 9\end{array} \right..\) $\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right) - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\dfrac{{2\sqrt x - 2 - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2x - 6\sqrt x + x + 3\sqrt x - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}.\end{array}$ Vậy \(P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 9.\) Câu 16.2
Tính giá trị của P biết $x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}$
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Sử dụng kết quả câu trước \(P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 9.\) + Biến đổi \(x\) để tính \(\sqrt x .\) + Thay \(\sqrt x \) tìm được vào \(P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\) Lời giải chi tiết :
Ta có: $x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = \dfrac{{6 - 2\sqrt 5 }}{4} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}}}{4}$ \(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}}}{4}} = \dfrac{{\left| {\sqrt 5 - 1} \right|}}{2} = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.\\ \Rightarrow P = \dfrac{{ - 3}}{{\dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2} + 3}} = \dfrac{{ - 3.2}}{{\sqrt 5 - 1 + 6}} = \dfrac{{ - 6}}{{\sqrt 5 + 5}} = \dfrac{{ - 6\left( {5 - \sqrt 5 } \right)}}{{{5^2} - 5}} = \dfrac{{6\sqrt 5 - 30}}{{20}} = \dfrac{{3\sqrt 5 - 15}}{{10}}.\end{array}\) Câu 16.3
Tìm \(x\) để$P < - \dfrac{1}{2}$
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Sử dụng kết quả câu trước \(P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 9.\) + Giải bất phương trình $P < - \dfrac{1}{2}$ + So sánh điều kiện để tìm \(x.\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 9.\) Suy ra $\begin{array}{l}P < - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}} < - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}} > \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{1}{2} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6 - \sqrt x - 3}}{{2\left( {\sqrt x + 3} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow 3 - \sqrt x > 0\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt x + 3 > 0\,\,\forall x \ge 0;\,x \ne 9} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x < 3 \Leftrightarrow x < 9.\end{array}$ Kết hợp với ĐKXĐ ta được với \(0 \le x < 9\) thì $P < - \dfrac{1}{2}$. Câu 16.4
Có bao nhiêu giá trị $x \in Z$ để $P \in Z$.
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Sử dụng kết quả câu trước \(P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 9.\) + Xét với \(x\) không là số chính phương + Xét với \(x\) là số chính phương khi đó \(P \in Z \Rightarrow \left( {\sqrt x + 3} \right) \in U\left( { - 3} \right)\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 9.\) + Với \(x\) không là số chính phương thì \(\sqrt x \) là số vô tỉ nên \(P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\) là số vô tỉ (loại) + Với \(x\) là số chính phương Ta có: $\begin{array}{l}P \in Z \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}} \in Z \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 3} \right) \in U\left( { - 3} \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 3} \right) \in \left\{ {1;\,3} \right\}\,\,\left( {do\,\,\sqrt x + 3 > 0\,\,\forall x \ge 0;\,x \ne 9} \right).\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x + 3 = 1\\\sqrt x + 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = - 2\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} \right)\end{array}$ Vậy x = 0 thì $P \in Z$.
Câu 17 :
Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$. Vẽ dây $AC$ sao cho \(\widehat {ABC} = 30^\circ \) . Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = R$ . Câu 17.1
Chọn khẳng định đúng?
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Tam giác $OBC$ cân tại $O$ có \(\widehat {ABC} = 30^\circ \) suy ra $\widehat {AOC} = 60^\circ $ (góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với nó). Nên tam giác $OCA$ là tam giác đều suy ra \(AC = AO = AM = R.\) \( \Rightarrow \widehat {OCM} = {90^ \circ } \Rightarrow MC\) là tiếp tuyến của \((O;R).\) Câu 17.2
Tính độ dài $MC$ theo $R.$
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng định lý Pytago. Lời giải chi tiết :
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $OCM$, ta có \(O{M^2} = O{C^2} + M{C^2}\)\( \Rightarrow M{C^2} = O{M^2} - O{C^2} = 3{R^2} \Rightarrow MC = \sqrt 3 R.\)
Câu 18 :
Cho hai đường tròn $\left( {{O_1}} \right)$ và $\left( {{O_2}} \right)$ tiếp xúc ngoài tại $A$ và một đường thẳng $d$ tiếp xúc với $\left( {{O_1}} \right);\left( {{O_2}} \right)$ lần lượt tại $B,C$. Câu 18.1
Tam giác $ABC$ là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng phương pháp cộng góc Lời giải chi tiết :
Xét $\left( {{O_1}} \right)$ có ${O_1}B = {O_1}A$ $\Rightarrow \Delta {O_1}AB$ cân tại ${O_1}$ $\Rightarrow \widehat {{O_1}BA} = \widehat {{O_1}AB}$ Xét $\left( {{O_2}} \right)$ có ${O_2}C = {O_2}A $ $\Rightarrow \Delta {O_2}CA$ cân tại ${O_2}$ $\Rightarrow \widehat {{O_2}CA} = \widehat {{O_2}AC}$ Mà $\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = 360^\circ - \widehat C - \widehat B = 180^\circ $ $ \Leftrightarrow 180^\circ - \widehat {{O_1}BA} - \widehat {{O_1}AB} + 180^\circ - \widehat {{O_2}CA} - \widehat {{O_2}AC} = 180^\circ $ $\Leftrightarrow 2\left( {\widehat {{O_1}AB} + \widehat {{O_2}AC}} \right) = 180^\circ $ $ \Rightarrow \widehat {{O_1}AB} + \widehat {{O_2}AC} = 90^\circ $ $ \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ $ $\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$. Câu 18.2
Lấy $M$ là trung điểm của $BC$. Chọn khẳng định sai?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn Lời giải chi tiết :
Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là trung tuyến nên $AM = BM = DM = \dfrac{{BC}}{2}$ Xét tam giác $BMA$ cân tại $M$ $ \Rightarrow \widehat {MBA} = \widehat {MAB}$, mà $\widehat {{O_1}BA} = \widehat {{O_1}AB}$ (cmt) nên $\widehat {{O_1}BA} + \widehat {MBA} = \widehat {{O_1}AB} + \widehat {MAB} \Rightarrow \widehat {{O_1}AM} = \widehat {{O_1}BM} = 90^\circ $$ \Rightarrow MA \bot A{O_1}$ tại $A$ nên $AM$ là tiếp tuyến của $\left( {{O_1}} \right)$ Tương tự ta cũng có $ \Rightarrow MA \bot A{O_2}$ tại $A$ nên $AM$ là tiếp tuyến của $\left( {{O_2}} \right)$ Hay $AM$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn Vậy phương án A, C, D đúng. B sai.
Câu 19 :
Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB.$ Vẽ các tiếp tuyến $Ax$ và $By$ ($Ax$ và $By$ và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là $AB$ ). Gọi $M$ là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại $M$ cắt $Ax$ và $By$ theo thứ tự tại $C$ và $D.$ Lấy $I$ là trung điểm của $CD.$ Câu 19.1
Chọn câu sai.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất đường trung bình của hình thang Sử dụng vị trí tương đối của hai đường tròn Lời giải chi tiết :
Vì \(I\) là trung điểm của \(CD.\) Nên \(I\) là tâm của đường tròn đường kính \(CD.\) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $AC = CM\;$ và $BD = DM$ Xét tứ giác $ABDC$ có: $AC//BD \Rightarrow ABDC$ là hình thang Suy ra $IO$ là đường trung bình của hình thang $ABDC$ \( \Rightarrow \) $IO//AC//BD$ mà $AC\; \bot AB \Rightarrow IO\; \bot AB{\rm{ }}\left( 1 \right)$ $IO = \dfrac{{AC + BD}}{2} = \dfrac{{CM + DM}}{2} = \dfrac{{CD}}{2}(2)$ Từ (1) và (2) suy ra đường tròn đường kính $CD$ tiếp xúc với $AB.$ Vậy A,C,D đúng, B sai. Câu 19.2
Hình thang $ABDC$ có chu vi nhỏ nhất là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau Sử dụng công thức tính chu vi hình thang và lập luận để có chu vi nhỏ nhất Lời giải chi tiết :
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $AC = CM\;$ và $BD = DM$ Chu vi hình thang $ABDC$ là: ${P_{ABDC}} = AC + AB + BD + CD $$= CM + AB + DM + CD = AB + 2CD$ $ \Rightarrow {P_{ABDC}}_{\min }\,{\rm{khi}}\,\,C{D_{\min }} \Rightarrow CD = AB \Rightarrow CD//AB$ Mà $OM\; \bot CD{\rm{ }} \Rightarrow OM\; \bot AB$ $ \Rightarrow {P_{ABDC\min }} = AB + 2AB = 3AB$ Vậy chu vi nhỏ nhất của hình thang $ABDC$ là $3AB$ khi $OM$ $ \bot $ $AB$ .
Câu 20 :
Rút gọn biểu thức $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }}$ với $x > 0$ ta được
Đáp án : A Phương pháp giải :
-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $ -Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ Lời giải chi tiết :
Ta có $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }}$$ = \dfrac{{\sqrt {{x^2}\left( {x + 2} \right)} }}{{\sqrt {x + 2} }} = \dfrac{{\sqrt {{x^2}} .\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x + } 2}} = \sqrt {{x^2}} = \left| x \right|$ mà $x > 0$ nên $\left| x \right| = x$ Từ đó $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }} = x$.
Câu 21 :
Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 5} = x - 2\) ta được nghiệm là
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Tìm điều kiện + Giải phương trình dạng \(\sqrt A = B\,\left( {B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = {B^2}\) Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2.\) Ta có: \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 5} = x - 2\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {\left( {x - 2} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} = - 1\,\) (vô nghiệm vì \({x^2} \ge 0\,\,\forall x\) ) Vậy phương trình vô nghiệm.
Câu 22 :
Cho hai đường thẳng ${d_1}:y = 2x - 2$ và ${d_2}:y = 3 - 4x$. Tung độ giao điểm của ${d_1};{d_2}$ có tọa độ là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng theo các bước Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đó để tìm hoành độ giao điểm. Bước 2. Thay hoành độ giao điểm vừa tìm được vào một trong hai phương trình đường thẳng ta tìm được tung độ giao điểm. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ ta được $2x - 2 = 3 - 4x \Leftrightarrow 6x = 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{6}$ Thay $x = \dfrac{5}{6}$ vào phương trình đường thẳng ${d_1}:y = 2x - 2$ ta được $y = 2.\dfrac{5}{6} - 2 = - \dfrac{1}{3}$
Câu 23 :
Cho hai đường thẳng \(d:y = \left( {1 - m} \right)x + \dfrac{m}{2}\) và \(d':y = - x + 1\) .Với giá trị nào của \(m\) thì \(d\) \( \equiv \) \(d'\)?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng \(d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và \(d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)\) thì \(d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\). Lời giải chi tiết :
Ta thấy \(d:y = \left( {1 - m} \right)x + \dfrac{m}{2}\) có \(a = 1 - m;b = \dfrac{m}{2}\) và \(d':y = - x + 1\) có \(a' = - 1;b = 1\) . Điều kiện để \(d:y = \left( {1 - m} \right)x + \dfrac{m}{2}\) là hàm số bậc nhất \(1 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\) Để \(d\) \( \equiv \) \(d'\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m = - 1\\\dfrac{m}{2} = 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\left( {tm} \right)\) Vậy \(m = 2.\)
Câu 24 :
Viết phương trình đường thẳng \(d\) biết \(d\) tạo với đường thẳng \(y = 2\) (theo chiều dương) một góc bằng \(135^\circ \) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(4\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Gọi phương trình đường thẳng \(d:y = ax + b\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) Xác định hệ số \(a\) dựa vào góc tạo bởi đường thẳng \(d\) với đường thẳng cho trước tìm \(b\) dựa vào giao điểm với trục tung. Lời giải chi tiết :
Gọi phương trình đường thẳng \(d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) Vì góc tạo bởi đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(y = 2\) là \(135^\circ \) nên góc tạo bởi đường thẳng \(d\) và trục \(Ox\) cũng là \(135^\circ \)(do đường thẳng \(y = 1\) song song với trục \(Ox\)) nên \(a = \tan 135^\circ = - 1\) \( \Rightarrow y = - x + b\) Vì đường thẳng \(d\) cắt trục tung tại điểm có tung độ \(4\) nên \(b = 4\). Từ đó \(d:y = - x + 4\).
Câu 25 :
Đường thẳng $y = a{\rm{x}} + b$ đi qua $2$ điểm $M\left( { - 3;2} \right)$ và $N\left( {1; - 1} \right)$ là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức: +) Điểm $({x_0};{y_0})$ thuộc đồ thị hàm số $y = {\rm{ax}} + b$$ \Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}_0} + b = {y_0}$. +) Từ đó tìm $a;b$. Lời giải chi tiết :
Gọi $d:y = {\rm{ax}} + b$ đi qua $2$ điểm $M\left( { - 3;2} \right)$ và $N\left( {1; - 1} \right)$ $M$ thuộc $d \Leftrightarrow - 3a + b = 2 \Rightarrow b = 2 + 3a\,\,\,\,\,(1)$ $N$ thuộc $d \Leftrightarrow 1.a + b = - 1 \Rightarrow b = - 1 - a \,\,\,\,\,(2)$ Từ (1) và (2) suy ra \(2 + 3a = - 1 - a \Leftrightarrow 4a = - 3 \Leftrightarrow a = - \dfrac{3}{4}\)\( \Rightarrow b = 2 + 3a = - \dfrac{1}{4}\) Nên $a = \dfrac{{ - 3}}{4};b = - \dfrac{1}{4}$. Vậy $d:y = - \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{4}$.
Câu 26 :
Tính \(\sin \alpha ,\,\,\tan \alpha \) biết \(\cos \alpha = \dfrac{3}{4}\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng các hệ thức lượng giác thích hợp + Nếu \(\alpha \) là một góc nhọn bất kỳ thì \(0 < \sin \alpha < 1;0 < \cos \alpha < 1\), \(\tan \alpha > 0;\cot \alpha > 0\) , \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) ; \(\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) Lời giải chi tiết :
Ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - \dfrac{9}{{16}} = \dfrac{7}{{16}} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}\) Lại có \(\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 7 }}{4}}}{{\dfrac{3}{4}}} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}\). Vậy \(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4};\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}\).
Câu 27 :
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = {70^0},\widehat C = {35^0},AC = 4,5cm.\) Diện tích tam giác \(ABC\) gần nhất với giá trị nào dưới đây? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Đáp án : C Phương pháp giải :
+) Kẻ đường cao \(AD\) +) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông thích hợp và định lý Py-ta-go để tính cạnh. +) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác. Lời giải chi tiết :
Kẻ đường cao \(AD\). Xét tam giác vuông \(ACD\), có \(AD = AC.\sin C = 4,5.\sin 35^\circ \approx 2,58\,cm\); \(CD = AC.\cos C = 4,5.\cos 35^\circ \approx 3,69\,cm\) Xét tam giác vuông \(ABD\), có \(BD = AD.\cot B \approx 2,58.\cot 70^\circ \approx 0,94\,cm\) Suy ra \(BC = BD + DC = 0,94 + 3,69 = 4,63\) Do đó \({S_{ABC}} = \dfrac{{AD.BC}}{2} \approx 5,97\)\(c{m^2}\).
Câu 28 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , có$AB = 15cm;AC = 20cm$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Đáp án : B Phương pháp giải :
Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp. Sử dụng định lý Pytago để tính toán Lời giải chi tiết :
Vì tam giác $ABC$ vuông tại$A$ nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền $BC$, bán kính là $R = \dfrac{{BC}}{2}$. Theo định lý Pytago ta có $BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = 25$ nên bán kính $R = \dfrac{{25}}{2}$.
Câu 29 :
Cho nửa đường tròn $\left( O \right)$, đường kính $AB$ và một dây $CD$. Kẻ $AE$ và $BF$ vuông góc với $CD$ lần lượt tại $E$ và $F$ . So sánh độ dài $CE$ và $DF$ .
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Lấy $I$ là trung điểm của $EF$ Bước 2: Sử dụng mối liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn để hoàn thành. Lời giải chi tiết :
Lấy $I$ là trung điểm của $EF$ Xét tứ giác $AEFB$ có $AE\,{\rm{//}}FB$ (vì cùng vuông với $EF$) nên $AEFB$ là hình thang vuông tại $E;F$. Ta có $OI$ là đường trung bình của hình thang $AEFB$ nên $OI\,{\rm{//}}\,AE{\rm{//}}FB$$ \Rightarrow OI \bot EF$ Hay $OI \bot CD$ nên $I$ là trung điểm của $CD$ ( quan hệ giữa dây và đường kính) Ta có $IE = IF;IC = ID \Rightarrow IE - IC = IF - ID \Leftrightarrow EC = DF$.
Câu 30 :
Cho đường tròn $\left( {O;25cm} \right)$ và dây $AB$ bằng $40cm.$ Khi đó khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Tính chất đường kính vuông góc với dây cung Định lí Py-ta –go Lời giải chi tiết :
Từ $O$ kẻ $OH$ vuông góc với $AB.$ Vậy $H$ là trung điểm của $AB$ (mối quan hệ giữa đường kính và dây) suy ra $AH = \dfrac{{AB}}{2} = 20cm$. Xét tam giác $OAH$ vuông tại $H$ nên theo định lí Py-ta-go ta có $O{H^2} = O{A^2} - A{H^2}$=${25^2} - {20^2} = 225 = {15^2}$ Vậy $OH = 15cm$.
Câu 31 :
Tìm $m$ để đường thẳng $d:y = mx + 1$ cắt đường thẳng $d':y = 2x - 1$ tại $1$ điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ $II$ và thứ $IV$.
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Điều kiện để 2 đường thẳng cắt nhau - Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng cho trước - Đường phân giác của góc phần tư thứ 2 có phương trình $y = - x$ Lời giải chi tiết :
Ta có: $d \cap d' \Leftrightarrow m \ne 2$ Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$: $\begin{array}{l}mx + 1 = 2x - 1 \Leftrightarrow (m - 2)x = - 2\\ \Rightarrow x = \dfrac{{ - 2}}{{m - 2}} \Rightarrow y = 2.\dfrac{{ - 2}}{{m - 2}} - 1 = \dfrac{{ - m - 2}}{{m - 2}}.\end{array}$ Phương trình đường phân giác góc phần tư thứ $2$ là $y = - x$ Vì $d$ và $d'$ cắt nhau tại $1$ điểm điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ $II$ và thứ $IV$ nên ta có: $\dfrac{{ - m - 2}}{{m - 2}} = - \dfrac{{ - 2}}{{m - 2}} \Leftrightarrow - m - 2 = 2 \Leftrightarrow m = - 4$ (t/m) Vậy $m = - 4$.
Câu 32 :
Cho hình thang \(ABCD\) có \(\widehat A = \widehat D = {90^0},\widehat B = {60^0},CD = 30cm,CA \bot CB\). Tính diện tích của hình thang.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Kẻ \(CH \bot AB\). Sử dụng định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông Lời giải chi tiết :
Ta có $\tan \widehat{CAD}=\dfrac{DC}{AD}\Leftrightarrow AD=DC:\tan 60^0=AD = 10\sqrt 3$ \(\left( {cm} \right)\). Kẻ \(CH \bot AB\). Tứ giác \(AHCD\) là hình chữ nhật vì có \(\widehat A = \widehat D = \widehat H = {90^0}\), suy ra \(AH = CD = 30cm;CH = AD = 10\sqrt 3 \left( {cm} \right)\). Tam giác \(ACB\) vuông tại \(C\), ta có: \(C{H^2} = HA.HB\), suy ra \(HB = \dfrac{{C{H^2}}}{{HA}} = \dfrac{{{{\left( {10\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{30}} = \dfrac{{300}}{{30}} = 10\left( {cm} \right)\), do đó \(AB = AH + HB = 30 + 10 = 40\left( {cm} \right).\) \({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}CH\left( {AB + CD} \right)=\dfrac{1}{2}.10\sqrt 3 .\left( {40 + 30} \right) = 350\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right).\) Vậy diện tích hình thang \(ABCD\) bằng \(350\sqrt 3 c{m^2}\)
Câu 33 :
Cho đường thẳng xy và đường tròn (O; R) không giao nhau. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O) tại A và B. Kẻ \(OH \bot xy\) . Chọn câu đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Sử dụng tam giác đồng dạng + Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chỉ ra các điểm và đoạn thẳng cố định. Lời giải chi tiết :
Vì \(OH \bot xy,\) nên \(H\) là một điểm cố định và \(OH\) không đổi Gọi giao điểm của \(AB\) và \(OM\) là \(E;\) giao điểm của \(AB\) với \(OH\) là \(F.\) Vì \(\left( {O;R} \right)\) và đường tròn đường kính \(OM\) cắt nhau tại \(A;B\) nên \(AB \bot OM\) Lại có điểm A nằm trên đường tròn đường kính OM nên \(\widehat {OAM} = 90^\circ \) Xét \(\Delta OEF\) và \(\Delta OHM\) có \(\widehat O\) chung và \(\widehat {OEF} = \widehat {OHM} = 90^\circ \) nên \(\Delta OEF \backsim \Delta OHM\left( {g - g} \right)\) Suy ra \(\dfrac{{OE}}{{OH}} = \dfrac{{OF}}{{OM}} \Rightarrow OE.OM = OF.OH\) Xét \(\Delta MAO\) vuông tại \(A\) có \(AE\) là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(\begin{array}{*{20}{l}}{OM.OE = O{A^2}\; = {R^2}}\\{\; \Rightarrow OF.OH = {R^2}\; \Rightarrow OF = \dfrac{{{R^2}}}{{OH}}}\end{array}\) Do \(OH\) không đổi nên \(OF\) cũng không đổi Vậy \(F\) là một điểm cố định hay \(AB\) luôn đi qua một điểm cố định là giao của \(AB\) và \(OH.\) |