Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 8

Đề kiểm tra học kì 1 Toán 8 - Đề số 2

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Trong các tứ giác sau, tứ giác nào là hình có $4$ trục đối xứng?

A

Hình chữ nhật
B

Hình vuông
C

Hình bình hành
D

Hình thoi

Câu 2 :

Cho tứ giác $ABCD$ có $BC = CD$ và $DB$ là tia phân giác của góc $D$. Chọn khẳng định đúng

A

$ABCD$ là hình thang
B

$ABCD$ là hình thang vuông
C

$ABCD$ là hình thang cân
D

Cả A, B, C đều sai.

Câu 3 :

Phân thức $\dfrac{{5x - 7}}{{3{x^2} + 6x}}$ xác định khi:

A

$x \ne 0$
B

$x \ne - 2$
C

$x \ne - 2;x \ne 0$
D

$x \ne 3;x \ne - 2;x \ne 0$

Câu 4 :

Chọn câu đúng.

A

Đường trung bình của hình thang là đường nối trung điểm hai cạnh đáy hình thang.
B

Đường trung bình của tam giác là đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
C

Trong một tam giác chỉ có một đường trung bình.
D

Đường trung bình của tam giác là đường nối từ một đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện.

Câu 5 :

Hình vuông là tứ giác có

A

Có bốn cạnh bằng nhau
B

Có bốn góc bằng nhau
C

Có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau
D

Cả A,B,C đều sai

Câu 6 :

Thực hiện phép tính sau $\dfrac{{2x + 5}}{{5{x^2}{y^2}}} + \dfrac{8}{{5x{y^2}}} + \dfrac{{2x - 1}}{{{x^2}{y^2}}}$, ta được kết quả là:

A

$\dfrac{4}{{{x^2}{y^2}}}$
B

$\dfrac{2}{{x{y^2}}}$
C

$\dfrac{4}{{5{x^2}{y^2}}}$
D

$\dfrac{4}{{x{y^2}}}$

Câu 7 :

Chọn câu sai.

A

${\left( {x - 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right)$.
B

${\left( {x - 1} \right)^3} + 2\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2} \right]$.
C

${\left( {x - 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} = \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2x - 2} \right]$.
D

${\left( {x - 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} $$= \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)$.

Câu 8 :

Đa thức P trong đẳng thức $\dfrac{{5{{(y - x)}^2}}}{{5{x^2} - 5xy}} = \dfrac{{x - y}}{P}$ là:

A

$P = x + y$
B

$P = 5(x - y)$
C

$P = 5(y - x)$
D

$P = x$

Câu 9 :

Phân thức $\dfrac{{ - 2{z^2}}}{{5y}}$ là kết quả của tích

A

$\dfrac{{ - 27{z^4}}}{{6{y^3}z}}.\dfrac{{2{y^2}}}{{ - 45{x^2}z}}$ .
B

$\dfrac{{ - 9x{z^4}}}{{18{y^3}z}}.\dfrac{{8x{y^2}}}{{ - 45{x^2}z}}$.
C

$\dfrac{{ - 27x{z^4}}}{{6{y^3}{z^2}}}.\dfrac{{4x{y^2}}}{{ - 45{x^2}}}$.
D

$\dfrac{{ - 27x{z^4}}}{{18{y^3}z}}.\dfrac{{4x{y^2}}}{{15{x^2}z}}$.

Câu 10 :

Phân tích đa thức $mx + my + m$ thành nhân tử ta được

A

$m\left( {x + y + 1} \right)$.
B

$m\left( {x + y + m} \right)$.
C

$m\left( {x + y} \right)$.
D

$m\left( {x + y - 1} \right)$

Câu 11 :

Chọn câu đúng.

A

$\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} + 2AB + {B^2}$
B

$\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - {B^2}$
C

$\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - 2AB + {B^2}$
D

$\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} + {B^2}$

Câu 12 :

Viết biểu thức ${x^3} - 6{x^2} + 12x - 8$ dưới dạng lập phương của một hiệu

A

${\left( {x + 4} \right)^3}$.
B

${\left( {x - 4} \right)^3}$.
C

${\left( {x + 2} \right)^3}$.
D

${\left( {x - 2} \right)^3}$.

Câu 13 :

Rút gọn đa thức $16{x^2} - 4x + \dfrac{1}{4}$ ta được kết quả nào sau đây?

A

${\left( {4x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
B

${\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
C

${\left( {4x + \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
D

${\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2}$

Câu 14 :

Hãy chọn câu đúng:

A

Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông
B

Diện tích hình chữ nhật bằng nửa tích hai kích thước của nó
C

Diện tích hình vuông có cạnh $a$ là $2a$
D

Tất cả các đáp án trên đều đúng

Câu 15 :

Cho $x + y = 3$. Tính giá trị của biểu thức: $A = {x^2} + 2xy + {y^2} - 4x - 4y + 1$.

A

$\dfrac{1}{2}$
B

$1$
C

$2$
D

$ - 2$

Câu 16 :

Hãy chọn câu đúng?

Cho $\Delta ABC$, $I,K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$. Biết $AC = 10\,cm$. Ta có:

A

$IK = 4\,cm$
B

$IK = 5\,cm$
C

$IK = 3,5\,cm$
D

$IK = 10\,cm$

Câu 17 :

Các phân thức $\dfrac{1}{{4x - 12}};\dfrac{1}{{4x + 12}};\dfrac{4}{{9 - {x^2}}}$ có mẫu chung là:

A

$4{\left( {x + 3} \right)^2}$
B

$4\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$
C

$\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$
D

$4{\left( {x - 3} \right)^2}$

Câu 18 :

Kết quả của tổng $\dfrac{x}{{xy - {y^2}}} + \dfrac{{2x - y}}{{xy - {x^2}}}$ là

A

$\dfrac{{ - x + y}}{{xy}}$.
B

$\dfrac{{x - y}}{x}$.
C

$\dfrac{{x - y}}{y}$.
D

$\dfrac{{x - y}}{{xy}}$.

Câu 19 :

Rút gọn phân thức $\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}}{{a + b + c}}$ ta được phân thức có tử là

A

$a - b - c$
B

$a + b + c$
C

$a - b + c$
D

$a + b - c$

Câu 20 :

Phân tích đa thức thành nhân tử: $5{x^2} + 10xy - 4x - 8y$

A

$\left( {5x - 2y} \right)\left( {x + 4y} \right)$
B

$\left( {5x + 4} \right)\left( {x - 2y} \right)$
C

$\left( {x + 2y} \right)\left( {5x - 4} \right)$
D

$\left( {5x - 4} \right)\left( {x - 2y} \right)$

Câu 21 :

Cho $M = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\dfrac{{4x}}{{3x - 3}}$ .

Câu 21.1

Rút gọn $M$ ta được

A.

$M = \dfrac{{12}}{{x + 1}}$.
B.

$M = \dfrac{3}{{x + 1}}$.
C.

$M = \dfrac{{ - 3}}{{x + 1}}$.
D.

$M = \dfrac{3}{{x - 1}}$.

Câu 21.2

Tính $M$ khi $x = \dfrac{1}{2}$ .

A.

$M = 2$.
B.

$M = \dfrac{1}{2}$.
C.

$M = 3$.
D.

$M = \dfrac{1}{6}$.

Câu 21.3

Để $M = - 1$ thì giá trị của $x$ là

A.

$x = 2$.
B.

$x = 4$.
C.

$x = - 4$.
D.

$x = - 2$.

Câu 21.4

Có bao nhiêu $x$ nguyên để $M$ có giá trị nguyên.

A.

$2$
B.

$3$
C.

$4$
D.

$1$

Câu 22 :

Giá trị của biểu thức $Q = {a^3} + {b^3}$ biết $a + b = 5$ và $a.b = - 3$.

A

$Q = 170$
B

$Q = 140$
C

$Q = 80$
D

$Q = - 170$

Câu 23 :

Cho ${x_1}$ và ${x_2}$ là hai giá trị thỏa mãn $x\left( {5 - 10x} \right) - 3\left( {10x - 5} \right) = 0$ . Khi đó ${x_1} + {x_2}$ bằng

A

$\dfrac{1}{2}$.
B

$ - 3$.
C

$\dfrac{{ - 5}}{2}$.
D

$\dfrac{{ - 7}}{2}$.

Câu 24 :

Ta có $(x - 1)(x - 2)(x + 4)(x + 5) - 27 = \left( {{x^2} + 3x + a} \right)\left( {{x^2} + 3x + b} \right)$ với $a,\,b$ là các số nguyên . Khi đó $a + b$ bằng

A

$12$.
B

$14$.
C

$ - 12$.
D

$ - 14$.

Câu 25 :

Để đa thức ${x^3} + a{x^2} - 4$ chia hết cho ${x^2} + 4x + 4$ thì giá trị của $a$ là

A

$a = - 6$.
B

$a = 6$.
C

$a = - 3$.
D

$a = 3$.

Câu 26 :

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {x^2} - x + 1$ là:

A

$\dfrac{2}{4}$
B

$\dfrac{3}{4}$
C

$1$
D

$ - \dfrac{3}{4}$

Câu 27 :

Rút gọn phân thức $B = \dfrac{{x|x - 2|}}{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}}$ ta được:

A

$B = \dfrac{1}{{x - 3}}$ khi $x \ge 2; x \ne 3$
B

$B = \dfrac{1}{{3 - x}}$ khi $x < 2; x \ne 0$
C

$B = \dfrac{1}{{x - 3}}$
D

Cả A, B đều đúng

Câu 28 :

Cho các phân thức $\dfrac{{11x}}{{3x - 3}};\,\dfrac{5}{{4 - 4x}};\dfrac{{2x}}{{{x^2} - 1}}$ .

Bạn Nam nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là $6\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2}$ .

Bạn Minh nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là $4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)$

Chọn câu đúng.

A

Bạn Nam đúng, bạn Minh sai.
B

Bạn Nam sai, bạn Minh đúng.
C

Hai bạn đều sai.
D

Hai bạn đều đúng.

Câu 29 :

Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức $M = \dfrac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \dfrac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}$ với $x = - 0,25$?

A

$M = 16$.
B

$M > 1$.
C

$M < 0$.
D

$0 < M < 1$.

Câu 30 :

Thu gọn biểu thức $A = \dfrac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{x - 3}}$ ta được

A

$\dfrac{{ - 2}}{{x - 3}}$ .
B

$\dfrac{{2x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$.
C

$\dfrac{2}{{x + 3}}$.
D

$\dfrac{2}{{x - 3}}$.

Câu 31 :

Cho tam giác $ABC$, các đường trung tuyến $BD$ và $CE$ cắt nhau ở $G$. Gọi $I,K$ theo thứ tự là trung điểm của $GB,GC$. Trong các câu sau câu nào đúng?

A

$DE//IK$
B

$DE = IK$
C

Cả A và B đều đúng
D

Cả A và B đều sai.

Câu 32 :

Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng $6\,cm$ , $8\,cm$ là:

A

$10\,cm$
B

$9\,cm\;\;\;\;$
C

$5\,cm\;\;\;\;$
D

$8\,cm$

Câu 33 :

Cho tam giác $ABC$ . Trên các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = CE$ . Gọi $M,N,P,Q$ thứ tự là trung điểm của $BE,CD,DE$ và $BC$ . Chọn câu đúng nhất.

A

$PQ$ vuông góc với$MN$ .
B

Tứ giác $PMQN$ là hình thoi.
C

Cả A, B đều đúng.
D

Cả A, B đều sai.

Câu 34 :

Cho hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O.$ Biết $OA = 12cm$, diện tích hình thoi $ABCD$ là $168c{m^2}$. Cạnh của hình thoi là:

A

$\sqrt {190} (cm)$
B

$\sqrt {180} (cm)$
C

$\sqrt {193} (cm)$
D

$\sqrt {195} (cm)$

Câu 35 :

Cho hình vuông $ABCD,{\rm{ }}E$ là một điểm trên cạnh $CD.$ Tia phân giác của góc $BAE$ cắt $BC$ tại $M.$ Chọn câu đúng.

A

$AM = ME$
B

$AM < ME$
C

$AM \le 2ME$
D

$AM > 2ME$

Câu 36 :

Cho $a,b,c$ là các số thỏa mãn điều kiện $a = b + c.$ Khi đó

A

$\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{a + b}}{{a + c}}$
B

$\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{a + c}}{{a + b}}$
C

$\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{b + c}}{{a + b}}$
D

$\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{b + c}}{{a + c}}$

Câu 37 :

Tam giác $ABC$ có hai trung tuyến $AM$ và $BN$ vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo hai cạnh $AM$ và $BN.$

A

${S_{ABC}} = AM.BN$
B

${S_{ABC}} = \dfrac{3}{2}AM.BN$
C

${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AM.BN$
D

${S_{ABC}} = \dfrac{2}{3}AM.BN$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Trong các tứ giác sau, tứ giác nào là hình có $4$ trục đối xứng?

A

Hình chữ nhật
B

Hình vuông
C

Hình bình hành
D

Hình thoi

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Dựa vào tính chất của các hình để suy ra trục đối xứng

Lời giải chi tiết :

+) Hình vuông là tứ giác có 4 trục đối xứng.

+) Hình chữ nhật có 2 trục đối xứng là hai đường trung trực của các cạnh.

+) Hình bình hành không có trục đối xứng.

+) Hình thoi có 2 trục đối xứng là 2 đường chéo.

Câu 2 :

Cho tứ giác $ABCD$ có $BC = CD$ và $DB$ là tia phân giác của góc $D$. Chọn khẳng định đúng

A

$ABCD$ là hình thang
B

$ABCD$ là hình thang vuông
C

$ABCD$ là hình thang cân
D

Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Chứng minh $AD{\rm{//}}BC$ suy ra $ABCD$ là hình thang.

Lời giải chi tiết :

Xét $\Delta BCD$ có $BC = CD(gt)$ nên $\Delta BCD$ là tam giác cân.

Suy ra $\widehat {CBD} = \widehat {CDB}$

Vì $DB$ là tia phân giác góc $D$ của tứ giác $ABCD$ nên $\widehat {ADB} = \widehat {CDB}$

Do đó $\widehat {CBD} = \widehat {ADB}$

Mà hai góc $\widehat {CBD}$ và $\widehat {ADB}$ là hai góc ở vị trí so le trong nên suy ra $BC//AD$ .

Tứ giác $ABCD$ có $AD//BC$ (cmt) nên là hình thang.

Câu 3 :

Phân thức $\dfrac{{5x - 7}}{{3{x^2} + 6x}}$ xác định khi:

A

$x \ne 0$
B

$x \ne - 2$
C

$x \ne - 2;x \ne 0$
D

$x \ne 3;x \ne - 2;x \ne 0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

ĐKXĐ của phân thức: Mẫu thức khác 0.

Lời giải chi tiết :

ĐK: $3{x^2} + 6x \ne 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x + 2} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x \ne - 2
\end{array} \right.$

Câu 4 :

Chọn câu đúng.

A

Đường trung bình của hình thang là đường nối trung điểm hai cạnh đáy hình thang.
B

Đường trung bình của tam giác là đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
C

Trong một tam giác chỉ có một đường trung bình.
D

Đường trung bình của tam giác là đường nối từ một đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Ta sử dụng định nghĩa đường trung bình của tam giác và hình thang.

Lời giải chi tiết :

+ Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác nên B đúng.

+ Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang nên A, D sai.

+ Trong một tam giác có ba đường trung bình nên C sai.

Câu 5 :

Hình vuông là tứ giác có

A

Có bốn cạnh bằng nhau
B

Có bốn góc bằng nhau
C

Có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau
D

Cả A,B,C đều sai

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Câu 6 :

Thực hiện phép tính sau $\dfrac{{2x + 5}}{{5{x^2}{y^2}}} + \dfrac{8}{{5x{y^2}}} + \dfrac{{2x - 1}}{{{x^2}{y^2}}}$, ta được kết quả là:

A

$\dfrac{4}{{{x^2}{y^2}}}$
B

$\dfrac{2}{{x{y^2}}}$
C

$\dfrac{4}{{5{x^2}{y^2}}}$
D

$\dfrac{4}{{x{y^2}}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Qui đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức

Rút gọn phân thức thu được

Lời giải chi tiết :

$\dfrac{{2x + 5}}{{5{x^2}{y^2}}} + \dfrac{8}{{5x{y^2}}} + \dfrac{{2x - 1}}{{{x^2}{y^2}}} = \dfrac{{2x + 5 + 8x + 10x - 5}}{{5{x^2}{y^2}}} = \dfrac{{20x}}{{5{x^2}{y^2}}} = \dfrac{4}{{x{y^2}}}.$

Câu 7 :

Chọn câu sai.

A

${\left( {x - 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right)$.
B

${\left( {x - 1} \right)^3} + 2\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2} \right]$.
C

${\left( {x - 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} = \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2x - 2} \right]$.
D

${\left( {x - 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} $$= \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)$.

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\left( {x - 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 1} \right) + 2.{\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 1 + 2} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right)$ nên A đúng

+) ${\left( {x - 1} \right)^3} + 2\left( {x - 1} \right) $$= \left( {x - 1} \right).{\left( {x - 1} \right)^2} + 2\left( {x - 1} \right) $$= \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2} \right]$ nên B đúng

+) ${\left( {x - 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} $$= \left( {x - 1} \right){\left( {x - 1} \right)^2} + 2\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) $$= \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2\left( {x - 1} \right)} \right] $$=\left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2x - 2} \right]$

nên C đúng.

+) ${\left( {x - 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} $$ = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 1 + 2} \right) $$= {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right)$

$ \ne \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)$

nên D sai.

Câu 8 :

Đa thức P trong đẳng thức $\dfrac{{5{{(y - x)}^2}}}{{5{x^2} - 5xy}} = \dfrac{{x - y}}{P}$ là:

A

$P = x + y$
B

$P = 5(x - y)$
C

$P = 5(y - x)$
D

$P = x$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Biến đổi phân thức vế trái sao cho có tử thức bằng với tử thức bên vế phải

Từ đó tìm ra đa thức $P.$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\dfrac{{5{{(y - x)}^2}}}{{5{x^2} - 5xy}} = \dfrac{{5{{(x - y)}^2}}}{{5x(x - y)}} = \dfrac{{x - y}}{x} \Rightarrow \dfrac{{x - y}}{x} = \dfrac{{x - y}}{P} \Rightarrow P = x.$

Câu 9 :

Phân thức $\dfrac{{ - 2{z^2}}}{{5y}}$ là kết quả của tích

A

$\dfrac{{ - 27{z^4}}}{{6{y^3}z}}.\dfrac{{2{y^2}}}{{ - 45{x^2}z}}$ .
B

$\dfrac{{ - 9x{z^4}}}{{18{y^3}z}}.\dfrac{{8x{y^2}}}{{ - 45{x^2}z}}$.
C

$\dfrac{{ - 27x{z^4}}}{{6{y^3}{z^2}}}.\dfrac{{4x{y^2}}}{{ - 45{x^2}}}$.
D

$\dfrac{{ - 27x{z^4}}}{{18{y^3}z}}.\dfrac{{4x{y^2}}}{{15{x^2}z}}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Thực hiện phép nhân phân thức: Muốn nhân hai phân thức , ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau.

Bước 2: Rút gọn phân thức thu được.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{ - 27{z^4}}}{{6{y^3}z}}.\dfrac{{2{y^2}}}{{ - 45{x^2}z}}$$ = \dfrac{{ - 27{z^4}.2{y^2}}}{{6{y^3}z.\left( { - 45{x^2}z} \right)}} = \dfrac{{ - 54.{z^4}{y^2}}}{{ - 270.{x^2}{y^3}{z^2}}} = \dfrac{{{z^2}}}{{5{x^2}y}}$ nên A sai.

* $\dfrac{{ - 9x{z^4}}}{{18{y^3}z}}.\dfrac{{8x{y^2}}}{{ - 45{x^2}z}}$$ = \dfrac{{ - 72.{x^2}{y^2}{z^4}}}{{ - 810{x^2}{y^3}{z^2}}} = \dfrac{{4{z^2}}}{{45y}}$ nên B sai.

* $\dfrac{{ - 27x{z^4}}}{{6{y^3}{z^2}}}.\dfrac{{4x{y^2}}}{{ - 45{x^2}}}$$ = \dfrac{{ - 108{x^2}{y^2}{z^4}}}{{ - 270{x^2}{y^3}{z^2}}} = \dfrac{{2{z^2}}}{{5y}}$ nên C sai.

* $\dfrac{{ - 27x{z^4}}}{{18{y^3}z}}.\dfrac{{4x{y^2}}}{{15{x^2}z}}$$ = \dfrac{{ - 108{x^2}{y^2}{z^4}}}{{270{x^2}{y^3}{z^2}}} = \dfrac{{ - 2{z^2}}}{{5y}}$ nên D đúng.

Câu 10 :

Phân tích đa thức $mx + my + m$ thành nhân tử ta được

A

$m\left( {x + y + 1} \right)$.
B

$m\left( {x + y + m} \right)$.
C

$m\left( {x + y} \right)$.
D

$m\left( {x + y - 1} \right)$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có $mx + my + m$$ = m\left( {x + y + 1} \right)$

Câu 11 :

Chọn câu đúng.

A

$\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} + 2AB + {B^2}$
B

$\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - {B^2}$
C

$\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - 2AB + {B^2}$
D

$\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} + {B^2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$

Câu 12 :

Viết biểu thức ${x^3} - 6{x^2} + 12x - 8$ dưới dạng lập phương của một hiệu

A

${\left( {x + 4} \right)^3}$.
B

${\left( {x - 4} \right)^3}$.
C

${\left( {x + 2} \right)^3}$.
D

${\left( {x - 2} \right)^3}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức lập phương của một hiệu ${A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3} = {\left( {A - B} \right)^3}$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 $$= {x^3} - 3.{x^2}.2 + 3.x{.2^2} - {2^3} $$= {\left( {x - 2} \right)^3}$

Câu 13 :

Rút gọn đa thức $16{x^2} - 4x + \dfrac{1}{4}$ ta được kết quả nào sau đây?

A

${\left( {4x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
B

${\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
C

${\left( {4x + \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
D

${\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$

Lời giải chi tiết :

$16{x^2} - 4x + \dfrac{1}{4} = {\left( {4x} \right)^2} - 2.4x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {4x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$

Câu 14 :

Hãy chọn câu đúng:

A

Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông
B

Diện tích hình chữ nhật bằng nửa tích hai kích thước của nó
C

Diện tích hình vuông có cạnh $a$ là $2a$
D

Tất cả các đáp án trên đều đúng

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào công thức tính diện tích hình chữ nhật, hình vuông, tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

+) Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó.

+) Diện tích hình vuông có cạnh a là ${a^2}.$

+) Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.

Câu 15 :

Cho $x + y = 3$. Tính giá trị của biểu thức: $A = {x^2} + 2xy + {y^2} - 4x - 4y + 1$.

A

$\dfrac{1}{2}$
B

$1$
C

$2$
D

$ - 2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$ và nhóm các hạng tử để biến đổi $A$ sao cho xuất hiện hạng tử $x + y.$

Lời giải chi tiết :

$A = {x^2} + 2xy + {y^2} - 4x - 4y + 1 $$= \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - \left( {4x + 4y} \right) + 1 $$= {\left( {x + y} \right)^2} - 4\left( {x + y} \right) + 1$

Tại $x + y = 3$ , ta có: $A = {3^2} - 4.3 + 1 = - 2$

Câu 16 :

Hãy chọn câu đúng?

Cho $\Delta ABC$, $I,K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$. Biết $AC = 10\,cm$. Ta có:

A

$IK = 4\,cm$
B

$IK = 5\,cm$
C

$IK = 3,5\,cm$
D

$IK = 10\,cm$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Ta sử dụng định lý đường trung bình của tam giác để tính độ dài.

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải chi tiết :

+ Vì $I,K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$ nên $IK$ là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow IK = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.10 = 5\,cm$.

Vậy $IK = 5\,cm$.

Câu 17 :

Các phân thức $\dfrac{1}{{4x - 12}};\dfrac{1}{{4x + 12}};\dfrac{4}{{9 - {x^2}}}$ có mẫu chung là:

A

$4{\left( {x + 3} \right)^2}$
B

$4\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$
C

$\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$
D

$4{\left( {x - 3} \right)^2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm mẫu chung:

+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử.

+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

Ta có các phân thức: $\dfrac{1}{{4x - 12}};\dfrac{1}{{4x + 12}};\dfrac{4}{{9 - {x^2}}}$ có mẫu lần lượt là:

$4x - 12 = 4\left( {x - 3} \right);4x + 12 = 4\left( {x + 3} \right);$$9 - {x^2} = - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$

Nên mẫu thức chung có phần hệ số là $4$ và phần biến số là $\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$.

Hay mẫu thức chung là $4\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$.

Câu 18 :

Kết quả của tổng $\dfrac{x}{{xy - {y^2}}} + \dfrac{{2x - y}}{{xy - {x^2}}}$ là

A

$\dfrac{{ - x + y}}{{xy}}$.
B

$\dfrac{{x - y}}{x}$.
C

$\dfrac{{x - y}}{y}$.
D

$\dfrac{{x - y}}{{xy}}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Quy đồng mẫu thức. Sử dụng $\dfrac{A}{{ - B}} = \dfrac{{ - A}}{B}$ tìm mẫu chung.

Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữa nguyên.

Bước 3: Phân tích tử số thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể).

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{x}{{xy - {y^2}}} + \dfrac{{2x - y}}{{xy - {x^2}}}$$ = \dfrac{x}{{y\left( {x - y} \right)}} + \dfrac{{2x - y}}{{x\left( {y - x} \right)}}$$ = \dfrac{x}{{y\left( {x - y} \right)}} - \dfrac{{2x - y}}{{x\left( {x - y} \right)}} = \dfrac{{{x^2} - y\left( {2x - y} \right)}}{{xy\left( {x - y} \right)}}$

$ = \dfrac{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}{{xy\left( {x - y} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{xy\left( {x - y} \right)}} = \dfrac{{x - y}}{{xy}}$.

Câu 19 :

Rút gọn phân thức $\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}}{{a + b + c}}$ ta được phân thức có tử là

A

$a - b - c$
B

$a + b + c$
C

$a - b + c$
D

$a + b - c$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Phân tích tử số thành nhân tử.

- Xác định nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}}{{a + b + c}} = \dfrac{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right)}} = \dfrac{{a + b - c}}{1}$.

Câu 20 :

Phân tích đa thức thành nhân tử: $5{x^2} + 10xy - 4x - 8y$

A

$\left( {5x - 2y} \right)\left( {x + 4y} \right)$
B

$\left( {5x + 4} \right)\left( {x - 2y} \right)$
C

$\left( {x + 2y} \right)\left( {5x - 4} \right)$
D

$\left( {5x - 4} \right)\left( {x - 2y} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 2 và nhóm hạng tử thứ 3 với hạng tử thứ 4 để xuất hiện nhân tử chung.

Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,5{x^2} + 10xy - 4x - 8y = \left( {5{x^2} + 10xy} \right) - \left( {4x + 8y} \right)\\ = 5x\left( {x + 2y} \right) - 4\left( {x + 2y} \right) = \left( {5x - 4} \right)\left( {x + 2y} \right)\end{array}$

Câu 21 :

Cho $M = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\dfrac{{4x}}{{3x - 3}}$ .

Câu 21.1

Rút gọn $M$ ta được

A.

$M = \dfrac{{12}}{{x + 1}}$.
B.

$M = \dfrac{3}{{x + 1}}$.
C.

$M = \dfrac{{ - 3}}{{x + 1}}$.
D.

$M = \dfrac{3}{{x - 1}}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có $M = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\dfrac{{4x}}{{3x - 3}}$ ĐK: $x \ne \pm 1$

$ = \left[ {\dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]:\dfrac{{4x}}{{3\left( {x - 1} \right)}}$ $ = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{4x}}$ $ = \dfrac{{4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{4x}} = \dfrac{3}{{x + 1}}$ .

Vậy $M = \dfrac{3}{{x + 1}}$ .

Câu 21.2

Tính $M$ khi $x = \dfrac{1}{2}$ .

A.

$M = 2$.
B.

$M = \dfrac{1}{2}$.
C.

$M = 3$.
D.

$M = \dfrac{1}{6}$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thay $x = \dfrac{1}{2}$ vào $M$ rồi tính.

Lời giải chi tiết :

Thay $x = \dfrac{1}{2}$ (TMĐK) vào $M = \dfrac{3}{{x + 1}}$ ta được $M = \dfrac{3}{{\dfrac{1}{2} + 1}} = \dfrac{3}{{\dfrac{3}{2}}} = 3:\dfrac{3}{2} = 3.\dfrac{2}{3} = 2$ . Vậy với $x = \dfrac{1}{2}$ thì $M = 2$ .

Câu 21.3

Để $M = - 1$ thì giá trị của $x$ là

A.

$x = 2$.
B.

$x = 4$.
C.

$x = - 4$.
D.

$x = - 2$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Cho $M = - 1$ , quy đồng mẫu rồi tìm $x$ .

Bước 2: So sánh điều kiện xác định rồi kết luận

Lời giải chi tiết :

Để $M = - 1$ thì $\dfrac{3}{{x + 1}} = - 1 \Leftrightarrow \dfrac{3}{{x + 1}} = \dfrac{{ - x - 1}}{{x + 1}} \Rightarrow - x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = - 4\,\left( {TM} \right)$ .

Vậy $x = - 4$ .

Câu 21.4

Có bao nhiêu $x$ nguyên để $M$ có giá trị nguyên.

A.

$2$
B.

$3$
C.

$4$
D.

$1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Để $M = \dfrac{a}{B}$ có giá trị nguyên thì $B \in $ Ư$\left( a \right)$ . Từ đó tìm được $x$ .

Bước 2: So sánh điều kiện $x \ne \pm 1$ rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

ĐK: $x \ne \pm 1$

$M$ có giá trị nguyên nghĩa là $\dfrac{3}{{x + 1}}$ có giá trị nguyên

Suy ra $3 \vdots \left( {x + 1} \right) \Rightarrow \left( {x + 1} \right) \in $ Ư$\left( 3 \right) = \left\{ { - 1;1; - 3;3} \right\}$ .

+ $x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\left( {TM} \right)$

+ $x + 1 = - 1 \Leftrightarrow x = - 2\,\left( {TM} \right)$

+ $x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)$

+ $x + 1 = - 3 \Leftrightarrow x = - 4\,\left( {TM} \right)$

Vậy $x \in \left\{ { - 4; - 2;2;0} \right\}$

Câu 22 :

Giá trị của biểu thức $Q = {a^3} + {b^3}$ biết $a + b = 5$ và $a.b = - 3$.

A

$Q = 170$
B

$Q = 140$
C

$Q = 80$
D

$Q = - 170$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dùng các hằng đẳng thức đã biết ${\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}$$ = {A^3} + {B^3} + 3AB\left( {A + B} \right)$ để biến đổi $Q$ về các biểu thức chứa $a + b$ và $a.b$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}$$ = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)$

Suy ra ${a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)$

Hay $Q = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)$

Thay $a + b = 5$ và $a.b = - 3$ vào $Q = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)$ ta được $Q = {5^3} - 3.\left( { - 3} \right).5 = 170$

Vậy $Q = 170$

Câu 23 :

Cho ${x_1}$ và ${x_2}$ là hai giá trị thỏa mãn $x\left( {5 - 10x} \right) - 3\left( {10x - 5} \right) = 0$ . Khi đó ${x_1} + {x_2}$ bằng

A

$\dfrac{1}{2}$.
B

$ - 3$.
C

$\dfrac{{ - 5}}{2}$.
D

$\dfrac{{ - 7}}{2}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng tính chất $A = - \left( { - A} \right)$ để làm xuất hiện nhân tử chung.

+ Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử.

+ Đưa về dạng $A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có $x\left( {5 - 10x} \right) - 3\left( {10x - 5} \right) = 0$$ \Leftrightarrow x\left( {5 - 10x} \right) + 3\left( {5 - 10x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {5 - 10x} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\5 - 10x = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\10x = 5\end{array} \right. $$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Nên ${x_1} = - 3;{x_2} = \dfrac{1}{2}$$ \Rightarrow {x_1} + {x_2} = - 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{{ - 5}}{2}$

Câu 24 :

Ta có $(x - 1)(x - 2)(x + 4)(x + 5) - 27 = \left( {{x^2} + 3x + a} \right)\left( {{x^2} + 3x + b} \right)$ với $a,\,b$ là các số nguyên . Khi đó $a + b$ bằng

A

$12$.
B

$14$.
C

$ - 12$.
D

$ - 14$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ sau đó dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

Gọi $T = (x - 1)(x - 2)(x + 4)(x + 5) - 27$$ = \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)} \right].\left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right)} \right] - 27$$ = \left( {{x^2} + 3x - 4} \right).\left( {{x^2} + 3x - 10} \right) - 27$

Đặt ${x^2} + 3x - 7 = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x - 4 = t + 3\\{x^2} + 3x - 10 = t - 3\end{array} \right.$ từ đó ta có $T = \left( {t - 3} \right)\left( {t + 3} \right) - 27 = {t^2} - 9 - 27 = {t^2} - 36 = \left( {t - 6} \right)\left( {t + 6} \right)$

Thay $t = {x^2} + 3x - 7$ ta được $T = \left( {{x^2} + 3x - 7 - 6} \right)\left( {{x^2} + 3x - 7 + 6} \right)$$ = \left( {{x^2} + 3x - 13} \right)\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)$ suy ra $a = - 13;b = - 1\, \Rightarrow a + b = - 14$

Câu 25 :

Để đa thức ${x^3} + a{x^2} - 4$ chia hết cho ${x^2} + 4x + 4$ thì giá trị của $a$ là

A

$a = - 6$.
B

$a = 6$.
C

$a = - 3$.
D

$a = 3$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.

+ Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư $R = 0$ thì phép chia đó là phép chia hết.

Chú ý: $Ax + B = 0$ với $\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$ .

Lời giải chi tiết :

Để ${x^3} + a{x^2}-4$ chia hết cho ${x^2} + 4x + 4$ thì $4\left( {3-a} \right).x-4a + 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {3 - a} \right) = 0\\12 - 4a = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow a = 3$.

Vậy $a = 3$.

Câu 26 :

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {x^2} - x + 1$ là:

A

$\dfrac{2}{4}$
B

$\dfrac{3}{4}$
C

$1$
D

$ - \dfrac{3}{4}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Biến đổi đưa về dạng ${\left( {x - a} \right)^2} + m$ rồi đánh giá ${\left( {x - a} \right)^2} + m \ge m$

Giá trị nhỏ nhất của ${\left( {x - a} \right)^2} + m$ là $m \Leftrightarrow x = a.$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}A = {x^2} - x + 1 = {x^2} - 2.x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow \;Min\;A = \dfrac{3}{4}\;\end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = 0$ hay $x = \dfrac{1}{2}$.

Câu 27 :

Rút gọn phân thức $B = \dfrac{{x|x - 2|}}{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}}$ ta được:

A

$B = \dfrac{1}{{x - 3}}$ khi $x \ge 2; x \ne 3$
B

$B = \dfrac{1}{{3 - x}}$ khi $x < 2; x \ne 0$
C

$B = \dfrac{1}{{x - 3}}$
D

Cả A, B đều đúng

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Phá dấu giá trị tuyệt đối $\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\,\,khi\,\,a \ge 0\\ - a\,\,khi\,\,a < 0\end{array} \right.$

+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử theo từng trường hợp.

+ Rút gọn phân thức.

Lời giải chi tiết :

$B = \dfrac{{x|x - 2|}}{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x({x^2} - 5x + 6)}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x({x^2} - 2x - 3x + 6)}}$$ = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x{\rm{[}}x(x - 2) - 3(x - 2){\rm{]}}}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x(x - 2)(x - 3)}}$

Điều kiện: $x \ne \left\{ {0;2;3} \right\}$

Nếu $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$ thì $|x - 2| = x - 2 \Rightarrow B = \dfrac{{x(x - 2)}}{{x(x - 2)(x - 3)}} = \dfrac{1}{{x - 3}}.$

Nếu $x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2$ thì $|x - 2| = 2 - x \Rightarrow B = \dfrac{{x(2 - x)}}{{x(x - 2)(x - 3)}} = \dfrac{{x(x - 2)}}{{x(x - 2)(3 - x)}} = \dfrac{1}{{3 - x}}.$

Vậy $B = \dfrac{1}{{x - 3}}$ khi $x \ge 2;x \ne 3$ và $B = \dfrac{1}{{3 - x}}$ khi $x < 2;x \ne 0$.

Câu 28 :

Cho các phân thức $\dfrac{{11x}}{{3x - 3}};\,\dfrac{5}{{4 - 4x}};\dfrac{{2x}}{{{x^2} - 1}}$ .

Bạn Nam nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là $6\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2}$ .

Bạn Minh nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là $4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)$

Chọn câu đúng.

A

Bạn Nam đúng, bạn Minh sai.
B

Bạn Nam sai, bạn Minh đúng.
C

Hai bạn đều sai.
D

Hai bạn đều đúng.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

* Tìm mẫu chung

+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử

+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{11x}}{{3x - 3}} = \dfrac{{11x}}{{3\left( {x - 1} \right)}};\,\dfrac{5}{{4 - 4x}} = \dfrac{{ - 5}}{{4\left( {x - 1} \right)}};\dfrac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

Ta có BCNN$\left( {3;4} \right) = 12$ nên mẫu chung của các phân thức trên là $12\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 12\left( {{x^2} - 1} \right)$ .

Do đó cả hai bạn đều sai.

Câu 29 :

A

$M = 16$.
B

$M > 1$.
C

$M < 0$.
D

$0 < M < 1$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Rút gọn biểu thức ( bằng cách thực hiện các phép cộng trừ các phân thức)

Bước 2: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức và thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết :

Ta có $M = \dfrac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \dfrac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}$$ = \dfrac{{10\left( {x + 3} \right) - 12\left( {x + 2} \right) - \left( {3 - x} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)}}$

$ = \dfrac{{10x + 30 - 12x - 24 - 3 + x}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)}}$$ = \dfrac{{ - x + 3}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}$

Thay $x = - 0,25$ vào $M = \dfrac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}$ ta được $M = \dfrac{1}{{\left( { - 0,25 + 2} \right)\left( { - 0,25 + 3} \right)}} = \dfrac{{16}}{{77}}$ .

Câu 30 :

Thu gọn biểu thức $A = \dfrac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{x - 3}}$ ta được

A

$\dfrac{{ - 2}}{{x - 3}}$ .
B

$\dfrac{{2x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$.
C

$\dfrac{2}{{x + 3}}$.
D

$\dfrac{2}{{x - 3}}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Quy đồng mẫu thức. ( dùng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$ )

Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữ nguyên.

Bước 3: Phân tích tử thức thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể).

Lời giải chi tiết :

Ta có $A = \dfrac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{x - 3}}$$ = \dfrac{{3x + 21}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \dfrac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$

$ = \dfrac{{3x + 21 + 2x - 6 - 3x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{{2x + 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$ $ = \dfrac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{2}{{x - 3}}$ .

Câu 31 :

Cho tam giác $ABC$, các đường trung tuyến $BD$ và $CE$ cắt nhau ở $G$. Gọi $I,K$ theo thứ tự là trung điểm của $GB,GC$. Trong các câu sau câu nào đúng?

A

$DE//IK$
B

$DE = IK$
C

Cả A và B đều đúng
D

Cả A và B đều sai.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh các đường thẳng lần lượt là các đường trung bình của các tam giác tương ứng.

Bước 2: Sau đó sử dụng định lý của các đường trung bình để suy ra các mỗi liên hệ giữa các đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác $ABC$ có $AE = EB,AD = DC$ nên $ED$ là đường trung bình, do đó $ED{\rm{//}}BC,ED = \dfrac{1}{2}BC$.

Tương tự tam giác $GBC$ có $GI = IB,GK = KC$ nên $IK$ là đường trung bình, do đó $IK{\rm{//}}BC,IK = \dfrac{1}{2}BC$.

Suy ra $ED{\rm{//}}IK$ (cùng song song với $BC$); $ED = IK$ (cùng bằng $\dfrac{1}{2}BC$).

Câu 32 :

Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng $6\,cm$ , $8\,cm$ là:

A

$10\,cm$
B

$9\,cm\;\;\;\;$
C

$5\,cm\;\;\;\;$
D

$8\,cm$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Áp dụng định lý Pytago để tính độ dài cạnh huyền.

Bước 2: Sử dụng tính chất trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền để tính độ dài đường trung tuyến.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}$ hay $B{C^2} = {6^2} + {8^2}$$ \Rightarrow $$B{C^2} = 100$ . Suy ra $BC = 10\,\left( {cm} \right)$

Do $AH$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên

$AH = BC:2 = 10:2 = 5\left( {cm} \right)$

Câu 33 :

A

$PQ$ vuông góc với$MN$ .
B

Tứ giác $PMQN$ là hình thoi.
C

Cả A, B đều đúng.
D

Cả A, B đều sai.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Để chứng minh $MN \bot PQ$ trước hết ta chứng minh $MNPQ$ là hình thoi dựa vào dấu hiệu tứ giác có bốn canh bằng nhau là hình thoi.

+ Ta nhận xét thấy $MN,PQ$ là hai đường chéo của hình thoi nên $MN \bot PQ$.

Lời giải chi tiết :

Từ giả thiết ta có $MP,NP,NQ,QM$ lần lượt là các đường trung bình của các tam giác $BDE,ECD,DCB,BEC$ . (định nghĩa đường trung bình).

Đặt $BD = CE = 2a$ .

Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:

$MP = \dfrac{1}{2}BD = a;NQ = \dfrac{1}{2}DB = a;$$NP = \dfrac{1}{2}CE = a;MQ = \dfrac{1}{2}CE = a.$

Suy ra $MN = NP = PQ = QM$ .

Tứ giác $MNPQ$ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi $MNPQ$ ta được: $MN \bot PQ$.

Câu 34 :

Cho hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O.$ Biết $OA = 12cm$, diện tích hình thoi $ABCD$ là $168c{m^2}$. Cạnh của hình thoi là:

A

$\sqrt {190} (cm)$
B

$\sqrt {180} (cm)$
C

$\sqrt {193} (cm)$
D

$\sqrt {195} (cm)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tính $BO$, áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông $AOB$ để tính cạnh $AB$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$AC = 2AO = 2.12 = 24cm$

$\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}BD.AC \Rightarrow BD = \dfrac{{2{S_{ABCD}}}}{{AC}} = \dfrac{{2.168}}{{24}} = 14(cm)\\ \Rightarrow BO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}.14 = 7(cm)\end{array}$

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông AOB vuông tại O ta có:

$AB = \sqrt {A{O^2} + B{O^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {7^2}} = \sqrt {193} (cm)$

Câu 35 :

Cho hình vuông $ABCD,{\rm{ }}E$ là một điểm trên cạnh $CD.$ Tia phân giác của góc $BAE$ cắt $BC$ tại $M.$ Chọn câu đúng.

A

$AM = ME$
B

$AM < ME$
C

$AM \le 2ME$
D

$AM > 2ME$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Vẽ $EF \bot AM(F \in AB)$

Chứng minh $EF = AM.$

Chứng minh tam giác $AEF$ cân đỉnh$A.$

Chỉ ra $ME = MF.$

Xét ba điểm $M,{\rm{ }}E,{\rm{ }}F$ ta có: $EF \le ME + MF$ để suy ra hệ thức đúng.

Lời giải chi tiết :

Vẽ $EF \bot AM(F \in AB),EG \bot AB(G \in AB)$.

Tứ giác $AGED$ là hình chữ nhật( vì $\widehat G = \widehat A = \widehat D = {90^0}$ ), suy ra $GE = AD.$

Lại thấy $\widehat {FEG} = \widehat {MAB}$ (vì cùng phụ với $\widehat {AFE}$ )

Xét $\Delta GEF$ và $\Delta BAM$có: $\widehat {EGF} = \widehat {ABM} = {90^0}$; $GE = AB{\rm{ }}\left( { = CD} \right);$$\widehat {FEG} = \widehat {MAB}$

Do đó $\Delta GEF = \Delta BAM$(g.c.g) suy ra $EF = AM.$

Tam giác $AEF$ có $AM$ là đường phân giác và là đường cao nên tam giác $AEF$ cân đỉnh $A.$

Ta có $AM$ là đường trung trực của $EF,$ nên $ME = MF.$

Xét ba điểm $M,{\rm{ }}E,{\rm{ }}F$ ta có: $EF \le ME + MF \Leftrightarrow EF \le 2ME$. Do đó $AM \le 2ME$.

Câu 36 :

Cho $a,b,c$ là các số thỏa mãn điều kiện $a = b + c.$ Khi đó

A

$\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{a + b}}{{a + c}}$
B

$\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{a + c}}{{a + b}}$
C

$\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{b + c}}{{a + b}}$
D

$\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{b + c}}{{a + c}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức ${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$ và dữ kiện đề bài để biến đổi

Lời giải chi tiết :

Ta có ${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$ mà $a = b + c$ nên

${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$

$ = \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - \left( {b + c} \right)b + {b^2}} \right]$

$ = \left( {a + b} \right)\left( {{b^2} + 2bc + {c^2} - {b^2} - bc + {b^2}} \right)$

$ = \left( {a + b} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)$

Tương tự ta có

${a^3} + {c^3} = \left( {a + c} \right)\left( {{a^2} - ac + {c^2}} \right)$

$ = \left( {a + c} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - \left( {b + c} \right)c + {c^2}} \right]$

$ = \left( {a + c} \right)\left( {{b^2} + 2bc + {c^2} - {c^2} - bc + {c^2}} \right)$

$ = \left( {a + c} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)$

Từ đó ta có $\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)}}{{\left( {a + c} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)}} = \dfrac{{a + b}}{{a + c}}$

Câu 37 :

Tam giác $ABC$ có hai trung tuyến $AM$ và $BN$ vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo hai cạnh $AM$ và $BN.$

A

${S_{ABC}} = AM.BN$
B

${S_{ABC}} = \dfrac{3}{2}AM.BN$
C

${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AM.BN$
D

${S_{ABC}} = \dfrac{2}{3}AM.BN$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

$ABMN$ là tứ giác có hai đường chéo $AM$ và $BN$ vuông góc nên có diện tích bằng nửa tích hai đường chéo

Tính diện tích tam giác $ABC$ thông qua diện tích của tứ giác $ABMN$

Lời giải chi tiết :

Ta có $ABMN$ là tứ giác có hai đường chéo $AM$ và $BN$ vuông góc nên có diện tích là: ${S_{ABMN}} = \dfrac{1}{2}AB.MN$

Hai tam giác $AMC$ và $ABC$ có chung đường cao hạ từ $A$ nên $\dfrac{{{S_{AMC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{MC}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}$$ \Rightarrow {S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\,(1)$

Hai tam giác $AMN$ và $AMC$ có chung đường cao hạ từ $M$ nên $\dfrac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{AMC}}}} = \dfrac{{AN}}{{AC}} = \dfrac{1}{2}$$ \Rightarrow {S_{AMN}} = \dfrac{1}{2}{S_{AMC}}\,(2)$

Từ (1) và (2) suy ra ${S_{AMN}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}}\,$

Hai tam giác $AMB$ và $ABC$ có chung đường cao hạ từ $A$ nên $\dfrac{{{S_{AMB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{MB}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}$$ \Rightarrow {S_{AMB}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\,$

Ta có: ${S_{ABMN}} = {S_{AMN}} + {S_{ABM}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}} + \dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{3}{4}{S_{ABC}}$

$ \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{4}{3}{S_{ABMN}} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}.AM.BN = \dfrac{2}{3}AM.BN$

Bài liên quan