Đề kiểm tra giữa kì II Toán 8 - Đề số 3 có lời giải chi tiết

Đề bài

Câu 1 (3,0 điểm):  Giải các phương trình :

a) ${\left( {x - 5} \right)^2} + 3\left( {x - 5} \right) = 0$

b) $\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{5x + 2}}{7} = x + 13$

c) $\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{7x - 6}}{{4 - {x^2}}}$                      

Câu 2 (3,0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Một xe máy đi từ $A$ đến $B$ với vận tốc và thời gian dự định trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe tăng vận tốc thêm $10\,km/h$, vì vậy xe máy đi đến $B$ sớm hơn $30$ phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy, biết quãng đường $AB$ dài ${\rm{120}}\,km$.

Câu 3 (3,5 điểm): Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Đường phân giác của $\angle ABC$ cắt $AC$ tại $D$ và cắt $AH$ tại $E$.

a) Chứng minh: $\Delta ABC$ đồng dạng $\Delta HBA$ và $A{B^2} = BC.BH$.

b) Biết $AB = 9cm,\,\,BC = 15cm$. Tính $DC$ và $AD$.

c) Gọi $I$ là trung điểm của $ED$. Chứng minh: $\angle BIH = \angle ACB$.

Câu 4 (0,5 điểm): Giải phương trình: ${\left( {2017 - x} \right)^3} + {\left( {2019 - x} \right)^3}$$+ {\left( {2x - 4036} \right)^3} = 0$.

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD)

Phương pháp:

a) Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích:

$A\left( x \right).B\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.$

b) Phương trình không chứa ẩn ở mẫu:

Đưa phương trình về dạng $ax + b = 0$ hay $ax =  - b$.

c) Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

+ Tìm điều kiện xác định của phương trình.

+ Quy đồng hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được.

+ Kết luận.

Cách giải:

Giải các phương trình:

a) ${\left( {x - 5} \right)^2} + 3\left( {x - 5} \right) = 0$

$\begin{array}{l}{\left( {x - 5} \right)^2} + 3\left( {x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right).\left( {x - 5} \right) + 3.\left( {x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left[ {\left( {x - 5} \right) + 3} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x - 5 + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 5 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 2\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {2;\,\,5} \right\}$.

b) $\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{5x + 2}}{7} = x + 13$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{5x + 2}}{7} = x + 13\\ \Rightarrow 7\left( {2x - 1} \right) - 3\left( {5x + 2} \right) = 21\left( {x + 13} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {14x - 7} \right) - \left( {15x + 6} \right) = 21x + 273\\ \Leftrightarrow 14x - 7 - 15x - 6 = 21x + 273\\ \Leftrightarrow 14x - 15x - 21x = 7 + 6 + 273\\ \Leftrightarrow  - 22x = 286\\ \Leftrightarrow x =  - 13\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { - 13} \right\}.$

c) $\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{7x - 6}}{{4 - {x^2}}}$                

Điều kiện: $x \ne  \pm 2$.

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{7x - 6}}{{4 - {x^2}}}\\ \Rightarrow \frac{{x - 1}}{{2 + x}} + \frac{x}{{2 - x}} = \frac{{7x - 6}}{{4 - {x^2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{2 + x}} + \frac{x}{{2 - x}} = \frac{{7x - 6}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right) + x\left( {2 + x} \right) = 7x - 6\\ \Leftrightarrow 2x - {x^2} - 2 + x + 2x + {x^2} = 7x - 6\\ \Leftrightarrow 5x - 2 = 7x - 6\\ \Leftrightarrow 5x - 7x =  - 6 + 2\\ \Leftrightarrow  - 2x =  - 4\\ \Leftrightarrow x = 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \emptyset$.

Câu 2 (VD)

Phương pháp:

Gọi vận tốc dự định của xe máy là $x\,\,\left( {km/h,\,\,x > 0} \right)$.

Thời gian dự định của xe máy để đi hết quãng đường là  $\frac{{120}}{x}\,\,\left( h \right)$.

Thời gian xe máy đi nửa quãng đường đầu là $\frac{{60}}{x}\,\,\left( h \right)$ .

Vận tốc xe máy đi nửa quãng đường sau là  $x + 10\,\,\left( {km/h} \right)$.

Thời gian xe máy đi nửa quãng đường sau là  $\frac{{60}}{{x + 10}}\,\,\left( h \right)$.

Dựa vào giả thiết bài cho để lập phương trình. Giải phương trình tìm ẩn   $x.$

Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

Gọi vận tốc dự định của xe máy là $x\,\,\left( {km/h,\,\,x > 0} \right)$.

Thời gian dự định của xe máy để đi hết quãng đường $AB$ là $\frac{{120}}{x}\,\,\left( h \right)$.

Thời gian xe máy đi nửa quãng đường đầu là $\frac{{60}}{x}\,\,\left( h \right)$.

Vận tốc xe máy đi nửa quãng đường sau là $x + 10\,\,\left( {km/h} \right)$.

Thời gian xe máy đi nửa quãng đường sau là $\frac{{60}}{{x + 10}}\,\,\left( h \right)$.

Vì xe máy đi đến $B$ sớm hơn $30$ phút so với dự định nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{{60}}{x} + \frac{{60}}{{x + 10}} + \frac{1}{2} = \frac{{120}}{x}\\ \Rightarrow 120\left( {x + 10} \right) + 120x + \left( {{x^2} + 10x} \right) = 240\left( {x + 10} \right)\\ \Leftrightarrow 120x + 1200 + 120x + {x^2} + 10x - 240x - 2400 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 1200 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 40x - 30x - 1200 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 40x} \right) - \left( {30x + 1200} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 40} \right) - 30\left( {x + 40} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 30} \right)\left( {x + 40} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 30 = 0\\x + 40 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 30\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 40\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy vận tốc dự định của xe máy là $30\left( {km/h} \right)$.

Câu 3 (VD)

Phương pháp:

a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc để suy ra các tỉ số bằng nhau $\left( {\frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{BA}}} \right)$ từ đó suy ra đẳng thức $A{B^2} = BC.BH$.

b) Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác, dùng phương pháp thế để tìm được $DC$ và $AD$.

c) Chứng minh $\angle BIH$ và $\angle ACB$ cùng bằng $\angle BAH$: Sử dụng hai góc phụ nhau, chứng minh tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

Cách giải:

 $\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Đường phân giác của góc $ABC$ cắt $AC$ tại $D$ và cắt $AH$ tại $E$.

a) Chứng minh: $\Delta ABC$ đồng dạng $\Delta HBA$ và $A{B^2} = BC.BH$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$ ta có:

$\begin{array}{l}\angle B\,\,\,chung\\\angle BAC = \angle BHA\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta HBA\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}$ chung

$\Rightarrow \frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{BA}}$ (Tỷ số cặp cạnh tương ứng)

$\Rightarrow AB.BA = HB.BC$

$\Rightarrow A{B^2} = BC.BH$ (đpcm)

b) Biết $AB = 9cm,\,\,BC = 15cm$. Tính $DC$ và $AD$.

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {15^2} - {9^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = 144\\ \Leftrightarrow AC = 12\left( {cm} \right)\end{array}$

Xét $\Delta ABC$ có $BD$ là đường phân giác của góc $ABC$.

Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác ta có:

$\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{DC}}$$\Rightarrow \frac{9}{{15}} = \frac{{AD}}{{DC}}$$\Rightarrow \frac{{AD}}{{DC}} = \frac{3}{5}$$\Rightarrow AD = \frac{3}{5}DC$.

Ta lại có:

$\begin{array}{l}AD + DC = AC\\ \Leftrightarrow AD + DC = 12\\ \Leftrightarrow \frac{3}{5}DC + DC = 12\\ \Leftrightarrow \frac{8}{5}DC = 12\\ \Leftrightarrow DC = 7,5\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow AD = AC - DC\\ \Leftrightarrow AD = 12 - 7,5 = 4,5\end{array}$

c) Gọi $I$ là trung điểm của $ED$. Chứng minh: $\angle BIH = \angle ACB$.

Vì $\Delta ABD$ vuông tại $A$ nên $\angle BDA + \angle ABD = {90^0}$.

Vì $\Delta BEH$ vuông tại $H$ nên $\angle EBH + \angle BEH = {90^0}$.

Mà $\angle ABD = \angle EBH$ (vì $BD$ là tia phân giác của $\angle ABC$).

Suy ra, $\angle BDA = \angle BEH$.

Ta lại có: $\angle AED = \angle BEH$ (hai góc đối đỉnh).

$\Rightarrow \angle AED = \angle BDA\,\,\left( { = \angle BEH} \right)$ hay $\angle AED = \angle ADE$.

$\Rightarrow \Delta AED$ cân tại $A$.

Mà $I$ là trung điểm của $ED$ nên $AI \bot BD$ tại $I$.

Xét $\Delta BEH$ và $\Delta AEI$ có:

$\angle BHE = \angle EIA\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)$.

$\angle BEH = \angle AEI$ (hai góc đối đỉnh).

$\Rightarrow \Delta BEH \sim \Delta AEI$ (góc-góc).

$\Rightarrow \frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{EH}}{{EI}}$$\Rightarrow \frac{{HE}}{{BE}} = \frac{{EI}}{{EA}}$.

Xét $\Delta HEI$ và $\Delta BEA$ có:

$\angle HEI = \angle BEA$ (hai góc đối đỉnh).

$\frac{{HE}}{{BE}} = \frac{{EI}}{{EA}}$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow \Delta HEI \sim \Delta BEA$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow \angle EIH = \angle EAB$ (hai góc tương ứng) hay $\angle BIH = \angle BAH$  $\left( 1 \right)$

Ta lại có:

$\left. \begin{array}{l}\angle BAH + \angle ABH = {90^0}\\\angle ABH + \angle ACH = {90^0}\end{array} \right\}$  $\Rightarrow \angle BAH = \angle ACH$                         $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ suy ra $\angle BIH = \angle ACH$ (đpcm).

Câu 4 (VDC)

Phương pháp:

Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về dạng tích $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.$

Cách giải:

Giải phương trình: ${\left( {2017 - x} \right)^3} + {\left( {2019 - x} \right)^3} + {\left( {2x - 4036} \right)^3} = 0$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = 2017 - x\\v = 2019 - x\end{array} \right.$$\Rightarrow u + v = 4036 - 2x$

Phương trình $\left( * \right)$ trở thành:

$\begin{array}{l}{u^3} + {v^3} - {\left( {u + v} \right)^3} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{u^3} + {v^3}} \right) - \left( {{u^3} + 3{u^2}v + 3u{v^2} + {v^3}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {u^3} + {v^3} - {u^3} - 3{u^2}v - 3u{v^2} - {v^3} = 0\\ \Leftrightarrow  - 3{u^2}v - 3u{v^2} = 0\\ \Leftrightarrow 3uv\left( {u + v} \right) = 0\\ \Leftrightarrow uv\left( {u + v} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 0\\v = 0\\u + v = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2017 - x = 0\\2019 - x = 0\\2017 - x + 2019 - x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2017 - x = 0\\2019 - x = 0\\4036 - 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2017\\x = 2019\\x = 2018\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $S = \left\{ {2017;\,\,2018;\,\,2019} \right\}$.

Loigiaihay.com