Đề số 10 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 8

Đề bài

Bài 4 (3,0 điểm)Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $M,\,N$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ$H$ đến $AB,\,AC$. Gọi $O$ là giao điểm của $AH$  và $MN$,$K$là trung điểm của $CH$

a)Chứng minh rằng tứ giác $AMHN$ là hình chữ nhật.

b)Tính số đo $\angle MNK$

c)Chứng minh rằng $BO \bot AK$

Bài 5 (1,0 điểm)Chứng minh: ${a^4} + {b^4} + {c^4} = 2{\left( {ab + bc + ac} \right)^2}$. Biết rằng $a + b + c = 0$

LG trắc nghiệm

Lời giải chi tiết:

I. Trắc nghiệm

LG bài 1

Lời giải chi tiết:

$a)\,\,2x - 4{x^2} = 2x\left( {1 - 2x} \right)$

$b)\,\,3x\left( {x - 2} \right) - 4x + 8$

$= 3x\left( {x - 2} \right) - 4\left( {x - 2} \right)$

$= \left( {x - 2} \right)\left( {3x - 4} \right).$

$c)\,\,{x^2} - 2xy + {y^2} - 9{{\rm{z}}^2}$

$= {\left( {x - y} \right)^2} - {\left( {3{\rm{z}}} \right)^2}$

$= \left( {x - y - 3{\rm{z}}} \right)\left( {x - y + 3{\rm{z}}} \right).$

LG bài 2

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\Rightarrow \left( {2{x^3} - 3{x^2} + x + m} \right) \vdots \left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow m - 30 = 0 \Leftrightarrow m = 30$

Vậy $m = 30.$

$b)\,P = x - {x^2} - 1 =  - \left( {{x^2} - x + 1} \right) \\\;\;\;=  - \left( {{x^2} - 2.\dfrac{1}{2}.x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} \right) \\\;\;\;=  - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{3}{4}$

Vì $- {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le 0\,\forall \,x \Rightarrow  - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{3}{4} < 0\,\forall \,x$

Vậy $P < 0$ với mọi $x.$

LG bài 3

Lời giải chi tiết:

$a)\,A = \dfrac{{45x\left( {2 - x} \right)}}{{15x{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{3\left( {2 - x} \right)}}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}} = \dfrac{3}{{2 - x}}.$

$\begin{array}{l}b)\,\,B = \dfrac{{{x^3} + 2{x^2}y - x{y^2} - 2{y^3}}}{{{x^2} + 3xy + 2{y^2}}} \\= \dfrac{{\left( {{x^3} + 2{x^2}y} \right) - \left( {x{y^2} + 2{y^3}} \right)}}{{{x^2} + xy + 2xy + 2{y^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2}\left( {x + 2y} \right) - {y^2}\left( {x + 2y} \right)}}{{x\left( {x + y} \right) + 2y\left( {x + y} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {x + 2y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right)}} = x - y.\end{array}$

LG bài 4

Phương pháp giải:

a)Vì $M,\,N$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB,\,AC$ (gt) nên $\Rightarrow \angle HNA = \angle HMA = {90^0}$

Lại có $\angle MAN = {90^0}\left( {gt} \right) \Rightarrow AMHN$ là hình chữ nhật (dhnb)

b)Xét ${\Delta _v}HNC$ có K là trung điểm của $HC\left( {gt} \right) \Rightarrow NK$ là đường trung tuyến.

Áp dụng tính chất trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy:

$\Rightarrow NK = HK = \dfrac{{HC}}{2} \Rightarrow \Delta HKN$ cân tại K (định nghĩa)

$\Rightarrow \angle KHN = \angle KNH$ (tính chất)

Vì $AMHN$ là hình chữ nhật (cmt) $\Rightarrow \angle MNH = \angle AHN$

Lại có: $\angle AHN + \angle NHC = {90^0}$

$\Rightarrow \angle MNH + \angle HNK = {90^0}$

$\Rightarrow \angle MNK = {90^0}$

c)Xét $\Delta AHC$ có $O,\;K$ lần lượt là trung điểm của $AH,\;\;HC \Rightarrow OK$ là đường trung bình của $\Delta AHC.$

$\Rightarrow OK//AC.$(tính chất đường trung bình)

Mà $AC \bot AB = \left\{ A \right\}\;\;\left( {gt} \right) \Rightarrow OK \bot AB.$

Xét $\Delta ABK$ có $AH,\;KO$ là các đường cao cắt nhau tại $O \Rightarrow O$ là trực tâm của $\Delta ABK.$

$\Rightarrow BO$ là đường cao của $\Delta ABK \Rightarrow BO \bot AK.$ (đpcm)

LG bài 5

Lời giải chi tiết:

Bài 5.

Ta có:$a + b + c = 0 \Leftrightarrow a =  - b - c.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} = {\left( {b + c} \right)^2} \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} - {c^2} = 2bc.\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - {b^2} - {c^2}} \right) = 4{b^2}{c^2}\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} - 2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} - 2{a^2}{c^2} = 4{b^2}{c^2}\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} = 2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} + 2{a^2}{c^2}\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} = 2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} \right).\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}\;\;\;{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} = {\left( {ab} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} + {\left( {ca} \right)^2} + 2{a^2}bc + 2a{b^2}c + 2ab{c^2}\\ \Leftrightarrow \;{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} = {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + 2abc\left( {a + b + c} \right)\\ \Leftrightarrow \;{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} = {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}.\\ \Rightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} = 2{\left( {ab + bc + ca} \right)^2}.\;\;\;\left( {dpcm} \right)\end{array}$

Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) môn Toán 8 tại Tuyensinh247.com

 Loigiaihay.com