Đề kiểm tra giữa học kì 2 Toán 9 - Đề số 1Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 9 tất cả các môn Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD Đề bài
Câu 1 :
Phương trình nào dưới đây nhận cặp số $\left( { - 2;4} \right)$ làm nghiệm
Câu 2 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\x + y\sqrt 3 = \sqrt 2 \end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?
Câu 3 :
Kết luận nào sau đây là sai khi nói về đồ thị của hàm số $y = a{x^2}\,\,$ với $a \ne 0$.
Câu 4 :
Có bao nhiêu phương trình trong các phương trình dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn \(\sqrt 2 {x^2} + 1 = 0\); \({x^2} + 2019x = 0\); \(x + \sqrt x - 1 = 0\); \(2x + 2{y^2} + 3 = 9\); \(\dfrac{1}{{{x^2}}} + x + 1 = 0\)
Câu 5 :
Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Tính số đo cung $AC$ lớn.
Câu 6 :
Cặp số \(\left( {3; - 5} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?
Câu 7 :
“Cho hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm. Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi… Tia nối từ tâm tới điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi…” Hai cụm từ thích hợp vào chỗ trống lần lượt là
Câu 8 :
Biết hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x + by = a\\bx + ay = 5\end{array} \right.$ có nghiệm $x = 1$; $y = 3.$Tính $10\left( {a + b} \right)$
Câu 9 :
Cho hai đường tròn $\left( {O;8\,cm} \right)$ và $\left( {O';6cm} \right)$ cắt nhau tại $A,B$ sao cho $OA$ là tiếp tuyến của $\left( {O'} \right)$. Độ dài dây $AB$ là
Câu 10 :
Cho một số có hai chữ số . Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là $5$. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số bằng $\dfrac{3}{8}$ số ban đầu. Tìm tích các chữ số của số ban đầu.
Câu 11 :
Chọn khẳng định đúng. Góc ở tâm là góc
Câu 12 :
Cho phương trình $ax + by = c$ với $a \ne 0;b \ne 0$. Chọn câu đúng nhất.
Câu 13 :
Không dùng công thức nghiệm, tìm số nghiệm của phương trình $ - 4{x^2} + 9 = 0$.
Câu 14 :
Xác định giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 1\\mx + y = 2m\end{array} \right.\) vô nghiệm.
Câu 15 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x - 3y = - 24\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là
Câu 16 :
Tính $\Delta '$ và tìm số nghiệm của phương trình \(7{x^2} - 12x + 4 = 0\) .
Câu 17 :
Một ô tô đi quãng đường $AB$ với vận tốc $50\,\,km/h$ , rồi đi tiếp quãng đường $BC$ với vận tốc $45km/h.$ Biết quãng đường tổng cộng dài $165\,\,km$ và thời gian ô tô đi trên quãng đường $AB$ ít hơn thời gian đi trên quãng đường $BC$ là $30$ phút. Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường $AB$.
Câu 18 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\3x + 2y = 18\end{array} \right.$có nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Tích $x.y$ là
Câu 19 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left( { - 2m + 1} \right){x^2}.$ Tìm giá trị của $m$ để đồ thị đi qua điểm $A\left( { - 2;4} \right).$
Câu 20 :
Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ và một cung $AC$ có số đo nhỏ hơn $90^\circ $. Vẽ dây $CD$ vuông góc với $AB$ và dây $DE$ song song với $AB$. Chọn kết luận sai?
Câu 21 :
Cho đường thẳng $d$ có phương trình $(2m - 4)x + (m - 1)y = m - 5$ Tìm các giá trị của tham số m để $d$ đi qua gốc tọa độ.
Câu 22 :
Xác định giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - \left( {m - 2} \right)y = 2\\\left( {m - 1} \right)x - 2y = m - 5\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất
Câu 23 :
Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{y}{2} = \dfrac{{2x - 3}}{2}\\\dfrac{x}{2} + 3y = \dfrac{{25 - 9y}}{8}\end{array} \right.\)
Câu 24 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = m + 3\\2x - 3y = m\end{array} \right.$ ($m$ là tham số) . Tìm $m$ để hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x,y} \right)$ thỏa mãn $x + y = - 3$.
Câu 25 :
Hai trường có tất cả 300 học sinh tham gia một cuộc thi. Biết trường A có $75\% $ học sinh đạt, trường 2 có $60\% $ đạt nên cả 2 trường có 207 học sinh đạt. Số học sinh dự thi của trường A và trường B lần lượt là:
Câu 26 :
Cho hàm số \(y = - \dfrac{2}{5}{x^2}\,\,\)có đồ thị là \((P)\). Điểm trên \(\left( P \right)\) (khác gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\)) có tung độ gấp ba lần hoành độ thì có hoành độ là:
Câu 27 :
Tìm điều kiện của tham số m để phương trình \(2{x^2} + 5x + m - 1 = 0\) vô nghiệm
Câu 28 :
Cho phương trình \((m - 2){x^2} - 2(m + 1)x + m = 0\). Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có một nghiệm
Câu 29 :
Cho đường tròn $(O).$ Từ một điểm $M$ ở ngoài $(O)$, vẽ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ sao cho góc $AMB$ bằng ${120^0}$. Biết chu vi tam giác $MAB$ là $6\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right)cm$, tính độ dài dây $AB.$
Câu 30 :
Cho hai đường tròn $\left( {O;20cm} \right)$ và $\left( {O';15cm} \right)$ cắt nhau tại $A$ và$B$. Tính đoạn nối tâm $OO'$, biết rằng$AB = 24cm$ và $O$ và $O'$ nằm cùng phía đối với $AB$ .
Câu 31 :
Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\)tiếp xúc ngoài tại \(A\). Kẻ các đường kính \(AOB;AO'C\). Gọi \(DE\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {D \in \left( O \right);E \in \left( {O'} \right)} \right)\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\). Tính diện tích tứ giác \(ADME\) biết \(\widehat {DOA} = 60^\circ \) và \(OA = 8\,cm\)
Câu 32 :
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB,\) vẽ góc ở tâm \(\widehat {AOC} = 60^\circ \) . Vẽ dây \(CD\) vuông góc với \(AB\) và dây \(DE\) song song với \(AB.\) Tính số đo cung nhỏ \(BE\)
Câu 33 :
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và $\widehat A = 66^\circ $ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Trong các cung nhỏ $AB;BC;AC$, cung nào là cung lớn nhất?
Câu 34 :
Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và hai dây $AB;CD$ sao cho $\widehat {AOB} = 120^\circ ;\widehat {COD} = 60^\circ $. So sánh các dây $CD;AB$.
Câu 35 :
Cho tam giác $ABC$ có \(AB = 5cm;AC = 3cm\) đường cao $AH$ và nội tiếp trong đường tròn tâm $(O),$ đường kính $AD.$Khi đó tích $AH.AD$ bằng
Câu 36 :
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R),$đường cao $AH,$ biết $AB = 9{\rm{ }}cm,$ $AC = 12{\rm{ }}cm,$ $AH = 4{\rm{ }}cm.$ Tính bán kính của đường tròn $(O)$.
Câu 37 :
Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp \(\left( O \right)\) có \(AC = 3cm\) . Kẻ tiếp tuyến \(xAy\) với \(\left( O \right)\) . Từ \(C\) kẻ \(CM{\rm{//}}xy\left( {M \in AB} \right)\) . Chọn câu đúng.
Câu 38 :
Cho hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {O'} \right)$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Một đường thẳng tiếp xúc với $\left( O \right)$ tại $C$, và tiếp xúc với đường tròn $\left( {O'} \right)$ tại $D$ sao cho tia \(AB\) cắt đoạn \(CD\). Vẽ đường tròn $\left( I \right)$ đi qua ba điểm $A,C,D$ cắt đường thẳng $AB$ tại một điểm thứ hai là $E$. Chọn câu đúng:
Câu 39 :
Tìm \(m\) để hai phương trình \({x^2} + mx + 2 = 0\) và \({x^2} + 2x + m = 0\) có ít nhất một nghiệm chung.
Câu 40 :
Cho đường thẳng xy và đường tròn (O; R) không giao nhau. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O) tại A và B. Kẻ \(OH \bot xy\) . Chọn câu đúng.
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Phương trình nào dưới đây nhận cặp số $\left( { - 2;4} \right)$ làm nghiệm
Đáp án : B Phương pháp giải :
Nếu cặp số thực $({x_0},\,{y_0})$ thỏa mãn ${\rm{ax}} + by = c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$. Lời giải chi tiết :
Thay $x = - 2;y = 4$ vào từng phương trình ta được +) $x - 2y = - 2 - 2.4 = - 10 \ne 0$ nên loại A. +) $x - y = - 2 - 4 = - 6 \ne 0$ nên loại C. +) $x + 2y + 1 = - 2 + 2.4 + 1 = 7 \ne 0$ nên loại D. +) $2x + y = - 2.2 + 4 = 0$ nên chọn B.
Câu 2 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\x + y\sqrt 3 = \sqrt 2 \end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Rút \(x\) từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhất để tìm \(x\), từ đó tìm được \(y.\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\x + y\sqrt 3 = \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {\sqrt 2 - y\sqrt 3 } \right)\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\x = \sqrt 2 - y\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - y\left( {\sqrt 6 + \sqrt 3 } \right) = 1\\x = \sqrt 2 - y\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y\left( {\sqrt 6 + \sqrt 3 } \right) = 1\\x = \sqrt 2 - y\sqrt 3 \end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}\\x = \sqrt 2 - y\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}\\x = 1\end{array} \right.$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}} \right)\)
Câu 3 :
Kết luận nào sau đây là sai khi nói về đồ thị của hàm số $y = a{x^2}\,\,$ với $a \ne 0$.
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) là một parabol đi qua gốc tọa độ $O,$ nhận $Oy$ là trục đối xứng ($O$ là đỉnh của parabol). - Nếu \(a > 0\) thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, $O$ là điểm thấp nhất của đồ thị. - Nếu \(a < 0\) thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, $O$ là điểm cao nhất của đồ thị.
Câu 4 :
Có bao nhiêu phương trình trong các phương trình dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn \(\sqrt 2 {x^2} + 1 = 0\); \({x^2} + 2019x = 0\); \(x + \sqrt x - 1 = 0\); \(2x + 2{y^2} + 3 = 9\); \(\dfrac{1}{{{x^2}}} + x + 1 = 0\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn. Phương trình bậc hai một ẩn ( hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\) trong đó \(a,b,c\) là các số thực cho trước, \(x\) là ẩn số. Lời giải chi tiết :
- Phương trình \(x + \sqrt x - 1 = 0\) có chứa căn thức nên không là phương trình bậc hai một ẩn. - Phương trình \(2x + 2{y^2} + 3 = 9\) có chứa hai biến \(x;y\) nên không là phương trình bậc hai một ẩn. - Phương trình \(\dfrac{1}{{{x^2}}} + x + 1 = 0\) có chứa ẩn ở mẫu thức nên không là phương trình bậc hai một ẩn. - Phương trình \(\sqrt 2 {x^2} + 1 = 0\) và \({x^2} + 2019x = 0\) là những phương trình bậc hai một ẩn. Vậy có hai phương trình bậc hai một ẩn trong số các phương trình đã cho.
Câu 5 :
Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Tính số đo cung $AC$ lớn.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng định lý tổng các góc trong tam giác và số đo cung. Lời giải chi tiết :
 Vì tam giác $ABC$ đều có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp nên $O$ cũng là giao ba đường phân giác nên $AO;CO$ lần lượt là các đường phân giác $\widehat {BAC}$; $\widehat {ACB}$. Ta có $\widehat {CAO} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ $;$\widehat {ACO} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ $ Xét tam giác $AOC$ có $\widehat {AOC} = 180^\circ - \widehat {CAO} - \widehat {ACO} = 120^\circ $ nên số đo cung nhỏ $AC$ là $120^\circ $. Do đó số đo cung lớn $AC$ là $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ $.
Câu 6 :
Cặp số \(\left( {3; - 5} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) khi và chỉ khi nó thỏa mãn cả hai phương trình của hệ. Lời giải chi tiết :
+) Thay $x = 3;y = - 5$ vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 1\\x + y = 2\end{array} \right.\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}3 - 3\left( { - 5} \right) = 1\\3 + \left( { - 5} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}18 = 1\\ - 2 = 2\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại A. +) Thay $x = 3;y = - 5$ vào hệ $\left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\x - 3y = 5\end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{l} - 5 = - 1\\3 - 3.\left( { - 5} \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 = - 1\\18 = 5\end{array} \right.$ (vô lý) nên loại C. +) Thay $x = 3;y = - 5$ vào hệ $\left\{ \begin{array}{l}4x - y = 0\\x - 3y = 0\end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}4.3 - \left( { - 5} \right) = 0\\3 - 3.\left( { - 5} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}17 = 0\\18 = 0\end{array} \right.$ (vô lý) nên loại D. +) Thay $x = 3;y = - 5$ vào hệ $\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 4\\2x - y = 11\end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}3.3 + \left( { - 5} \right) = 4\\2.3 - \left( { - 5} \right) = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 = 4\\11 = 11\end{array} \right.$ (luôn đúng) nên chọn B.
Câu 7 :
“Cho hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm. Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi… Tia nối từ tâm tới điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi…” Hai cụm từ thích hợp vào chỗ trống lần lượt là
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến. - Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.
Câu 8 :
Biết hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x + by = a\\bx + ay = 5\end{array} \right.$ có nghiệm $x = 1$; $y = 3.$Tính $10\left( {a + b} \right)$
Đáp án : B Phương pháp giải :
-Thay $x;y$ vào hệ phương trình ta được hệ phương trình mới ẩn $a,b$. -Giải hệ phương trình mới bằng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế ta tìm được $a,b$ Lời giải chi tiết :
Thay $x = 1$; $y = 3$ vào hệ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2.1 + b.3 = a\\b.1 + a.3 = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}a - 3b = 2\\3a + b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}3a - 9b = 6\\3a + b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}10b = - 1\\3a + b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{ - 1}}{{10}}\\a = \dfrac{{17}}{{10}}\end{array} \right.$. Vậy $a = \dfrac{{ - 1}}{{10}}$; $y = \dfrac{{17}}{{10}}$ thì hệ phương trình có nghiệm $x = 1$; $y = 3.$ $ \Rightarrow 10\left( {a + b} \right) = 16$
Câu 9 :
Cho hai đường tròn $\left( {O;8\,cm} \right)$ và $\left( {O';6cm} \right)$ cắt nhau tại $A,B$ sao cho $OA$ là tiếp tuyến của $\left( {O'} \right)$. Độ dài dây $AB$ là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông. Lời giải chi tiết :
 Vì $OA$ là tiếp tuyến của $\left( {O'} \right)$ nên $\Delta OAO'$ vuông tại $A$. Vì $\left( O \right)$ và $\left( {O'} \right)$ cắt nhau tại $A,B$ nên đường nối tâm $OO'$ là trung trực của đoạn $AB$. Gọi giao điểm của $AB$ và $OO'$ là $I$ thì $AB \bot OO'$ tại $I$ là trung điểm của $AB$ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $OAO'$ ta có $\dfrac{1}{{A{I^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O'{A^2}}} = \dfrac{1}{{{8^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} \Rightarrow AI = 4,8\,cm \Rightarrow AB = 9,6\,cm$
Câu 10 :
Cho một số có hai chữ số . Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là $5$. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số bằng $\dfrac{3}{8}$ số ban đầu. Tìm tích các chữ số của số ban đầu.
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} ,\,\,a \in {\mathbb{N}^*},\,\,b \in {\mathbb{N}^*}\), $a,b \le 9$.
Đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới là \(\overline {ba} \) Ta có hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}a - b = 5\\\overline {ba} = \dfrac{3}{8}\overline {ab} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 5\\b.10 + a = \dfrac{3}{8}\left( {a.10 + b} \right)\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 5\\80b + 8\left( {b + 5} \right) = 30\left( {b + 5} \right) + 3b\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 5\\55b = 110\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 7\end{array} \right.$(thỏa mãn) Vậy số cần tìm là $72$ nên tích các chữ số là $2.7 = 14$.
Câu 11 :
Chọn khẳng định đúng. Góc ở tâm là góc
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.
Câu 12 :
Cho phương trình $ax + by = c$ với $a \ne 0;b \ne 0$. Chọn câu đúng nhất.
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Phương trình bậc nhất hai ẩn ${\rm{ax}} + by = c$ luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng $d:{\rm{ }}ax + by = c.$ Ta có với $a \ne 0,b \ne 0$ thì $ax + by = c$$ \Leftrightarrow by = - ax + c \Leftrightarrow y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$ Nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\left( {x;\dfrac{{ - a}}{b}x + \dfrac{c}{b}} \right)|x \in \mathbb{R}} \right\}\) Vậy cả A, B, C đều đúng.
Câu 13 :
Không dùng công thức nghiệm, tìm số nghiệm của phương trình $ - 4{x^2} + 9 = 0$.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Giải phương trình bằng cách đưa về bình phương của một số. Lời giải chi tiết :
Ta có $ - 4{x^2} + 9 = 0$$ \Leftrightarrow 4{x^2} = 9 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{2}\\x = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$ Phương trình có hai nghiệm $x = \dfrac{3}{2};x = - \dfrac{3}{2}$.
Câu 14 :
Xác định giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 1\\mx + y = 2m\end{array} \right.\) vô nghiệm.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) (các hệ số khác $0$) - Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\) - Hệ phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\) - Hệ phương trình có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\) Lời giải chi tiết :
Để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 1\\mx + y = 2m\end{array} \right.\) vô nghiệm thì $\dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{1} \ne \dfrac{{2m}}{1} $ \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\m \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow m = 1\)
Câu 15 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x - 3y = - 24\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x - 3y = - 24\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x + 7y - \left( {8x - 3y} \right) = 16 - \left( { - 24} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\10y = 40\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\8x + 7.4 = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\x = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2};4} \right)$
Câu 16 :
Tính $\Delta '$ và tìm số nghiệm của phương trình \(7{x^2} - 12x + 4 = 0\) .
Đáp án : B Phương pháp giải :
Xét phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) với $b = 2b'$và \(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac\) Trường hợp 1. Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình vô nghiệm Trường hợp 2. Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b'}}{a}\) Trường hợp 3. Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}\) Lời giải chi tiết :
Phương trình \(7{x^2} - 12x + 4 = 0\) có $a = 7;b' = - 6;c = 4$ suy ra $\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.7 = 8 > 0$ Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Câu 17 :
Một ô tô đi quãng đường $AB$ với vận tốc $50\,\,km/h$ , rồi đi tiếp quãng đường $BC$ với vận tốc $45km/h.$ Biết quãng đường tổng cộng dài $165\,\,km$ và thời gian ô tô đi trên quãng đường $AB$ ít hơn thời gian đi trên quãng đường $BC$ là $30$ phút. Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường $AB$.
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường $AB$ và $BC$ lần lượt là $x,y$ ($x>0;y>0,5$ ; đơn vị : giờ). Ta có hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}50.x + 45.y = 165\\y - x = 0,5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1,5\\y = 2\end{array} \right.\) (Thỏa mãn) Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường $AB$ là $1,5$ giờ. Thời gian ô tô đi hết quãng đường $BC$ là $2$ giờ.
Câu 18 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\3x + 2y = 18\end{array} \right.$có nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Tích $x.y$ là
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\3x + 2y = 18\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 5\\3.\left( {y + 5} \right) + 2y = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 5\\3y + 15 + 2y = 18\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 5\\5y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{5}\\x = 5 + \dfrac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{1}x = \dfrac{28}{5}\\y = \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{28}{5};\dfrac{3}{5}} \right) \Rightarrow x.y = \dfrac{84}{25}$
Câu 19 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left( { - 2m + 1} \right){x^2}.$ Tìm giá trị của $m$ để đồ thị đi qua điểm $A\left( { - 2;4} \right).$
Đáp án : A Phương pháp giải :
Đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \({y_0} = a{x_o}^2\). Lời giải chi tiết :
Thay tọa độ điểm $A\left( { - 2;4} \right)$ vào hàm số $y = f\left( x \right) = \left( { - 2m + 1} \right){x^2}$ ta được $\left( { - 2m + 1} \right).{\left( { - 2} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow - 2m + 1 = 1 \Leftrightarrow m = 0$ Vậy $m = 0$ là giá trị cần tìm.
Câu 20 :
Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ và một cung $AC$ có số đo nhỏ hơn $90^\circ $. Vẽ dây $CD$ vuông góc với $AB$ và dây $DE$ song song với $AB$. Chọn kết luận sai?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng liên hệ giữa dây và đường kính để so sánh các góc ở tâm từ đó so sánh các cung và dây cung Lời giải chi tiết :
 Vì $AO \bot CD;AO{\rm{//}}DE \Rightarrow CD \bot DE$$ \Rightarrow \widehat {CDE} = 90^\circ $ mà $C,D,E \in \left( O \right)$ nên $CE$ là đường kính hay $C;O;E$ thẳng hàng Xét $\left( O \right)$ có $OA$ là đường cao trong tam giác cân $ODC$ nên $OA$ cũng là đường phân giác $ \Rightarrow \widehat {COA} = \widehat {AOD}$ Suy ra cung $AD$ bằng cung $AC$ nên dây $AD = AC$ Lại thấy $\widehat {AOC} = \widehat {BOE}$ (đối đỉnh) nên cung $AC$ bằng cung $BE$ suy ra dây $AC = BE$. Phương án A, B, C đúng.
Câu 21 :
Cho đường thẳng $d$ có phương trình $(2m - 4)x + (m - 1)y = m - 5$ Tìm các giá trị của tham số m để $d$ đi qua gốc tọa độ.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng nhận xét Đường thẳng $d:{\rm{ }}ax + by = c$ đi qua điểm $M({x_0},\,{y_0})$khi và chỉ khi $a{x_0} + b{y_0} = c$. Lời giải chi tiết :
Gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) Để $d$ đi qua gốc tọa độ thì tọa độ điểm \(O\) thỏa mãn phương trình $(2m - 4)x + (m - 1)y = m - 5$ hay $(2m - 4).0 + (m - 1).0 = m - 5 \Leftrightarrow m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5$ Vậy $m = 5$.
Câu 22 :
Xác định giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - \left( {m - 2} \right)y = 2\\\left( {m - 1} \right)x - 2y = m - 5\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất
Đáp án : C Phương pháp giải :
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\a'x + b'y = c'\,\,\,(2)\end{array} \right.$ có \(d\) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) và \(d'\) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\), khi đó \(d \cap d' = A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow \) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Lời giải chi tiết :
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - \left( {m - 2} \right)y = 2\\\left( {m - 1} \right)x - 2y = m - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 2} \right)y = x - 2\\2y = \left( {m - 1} \right)x - m + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 2} \right)y = x - 2\\y = \dfrac{{m - 1}}{2}x - \dfrac{m}{2} + \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\) TH1: Với \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}0.y = x - 2\\y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\) Nhận thấy hệ này có nghiệm duy nhất vì hai đường thẳng \(x = 2\) và \(y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\) cắt nhau. TH2: Với \(m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 2} \right)y = x - 2\\y = \dfrac{{m - 1}}{2}x - \dfrac{m}{2} + \dfrac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{{m - 2}}x - \dfrac{2}{{m - 2}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{2}x - \dfrac{m}{2} + \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\) Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng \(d:y = \dfrac{1}{{m - 2}}x - \dfrac{2}{{m - 2}}\) và \(d':y = \dfrac{{m - 1}}{2}x - \dfrac{m}{2} + \dfrac{5}{2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{m - 2}} \ne \dfrac{{m - 1}}{2} \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \ne 2 \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 \ne 2 \Leftrightarrow {m^2} - 3m \ne 0\) \( \Leftrightarrow m\left( {m - 3} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 3\end{array} \right.\) Suy ra $m \ne \left\{ {0;2;3} \right\}$ Kết hợp cả TH1 và TH2 ta có $ m\ne \left\{ {0;3} \right\}.$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi \(m \ne \left\{ {0;3} \right\}\)
Câu 23 :
Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{y}{2} = \dfrac{{2x - 3}}{2}\\\dfrac{x}{2} + 3y = \dfrac{{25 - 9y}}{8}\end{array} \right.\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau đó sử dụng phương pháp cộng đại số. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{y}{2} = \dfrac{{2x - 3}}{2}\\\dfrac{x}{2} + 3y = \dfrac{{25 - 9y}}{8}\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y = 2x - 3\\4x + 24y = 25 - 9y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 3\\4x + 33y = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 31\\y = - 3\end{array} \right.$ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {31; - 3} \right)$. $ \Rightarrow x > 0;y < 0$
Câu 24 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = m + 3\\2x - 3y = m\end{array} \right.$ ($m$ là tham số) . Tìm $m$ để hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x,y} \right)$ thỏa mãn $x + y = - 3$.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Giải hệ phương trình tìm được nghiệm $\left( {x,y} \right)$ theo tham số $m$ Bước 2: Thay $x,y$ vừa tìm được vào hệ thức yêu cầu để tìm $m$ Lời giải chi tiết :
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = m + 3\\2x - 3y = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 4y = 2m + 6\\2x - 3y = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = m + 3\\7y = m + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5m + 9}}{7}\\y = \dfrac{{m + 6}}{7}\end{array} \right.$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{5m + 9}}{7};\dfrac{{m + 6}}{7}} \right)$. Lại có $x + y = - 3$ hay $\dfrac{{5m + 9}}{7} + \dfrac{{m + 6}}{7} = - 3 \Leftrightarrow 5m + 9 + m + 6 = - 21 \Leftrightarrow 6m = - 36 \Leftrightarrow m = - 6$ Vậy với $m = - 6$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x,y} \right)$ thỏa mãn $x + y = - 3$.
Câu 25 :
Hai trường có tất cả 300 học sinh tham gia một cuộc thi. Biết trường A có $75\% $ học sinh đạt, trường 2 có $60\% $ đạt nên cả 2 trường có 207 học sinh đạt. Số học sinh dự thi của trường A và trường B lần lượt là:
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Gọi số học sinh của trường thứ nhất dự thi là x (học sinh) $(x \in N^*,x < 300)$; số học sinh của trường thứ 2 dự thi là y (học sinh) $(y \in N^*;\,\,y < 300)$. Hai trường có tất cả 300 học sinh tham gia cuộc thi nên ta có phương trình: $x + y = 300\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$ Trường A có 75% học sinh đạt, trường 2 có 60% đạt nên cả 2 trường có 207 học sinh đạt, ta có: $\dfrac{{75}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 207\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 300\\\dfrac{{75}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 207\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{60}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 180\\\dfrac{{75}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 207\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{15}}{{100}}x = 27\\x + y = 300\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 180\\y = 120\end{array} (tm)\right.$ Vậy số học sinh của trường thứ nhất dự thi là 180 học sinh; số học sinh của trường thứ 2 dự thi là 120 học sinh.
Câu 26 :
Cho hàm số \(y = - \dfrac{2}{5}{x^2}\,\,\)có đồ thị là \((P)\). Điểm trên \(\left( P \right)\) (khác gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\)) có tung độ gấp ba lần hoành độ thì có hoành độ là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Gọi điểm \(M\)\(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện đề bài. Biểu diễn \(x\) theo \(y\) hoặc \(y\) theo \(x\) . Bước 2: Thay tọa độ điểm \(M\) vào hàm số ta tìm được \(x\) từ đó suy ra \(M\). Lời giải chi tiết :
Gọi điểm \(M\)\(\left( {x;y} \right)\) là điểm cần tìm. Vì \(M\) có tung độ gấp ba lần hoành độ nên \(M\left( {x;3x} \right)\). Thay tọa độ điểm \(M\) vào hàm số ta được \(3x = - \dfrac{2}{5}{x^2} \Leftrightarrow \dfrac{2}{5}{x^2} + 3x = 0 \\\Leftrightarrow x\left( {\dfrac{2}{5}x + 3} \right) = 0\left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 0\\x = - \dfrac{{15}}{2} \Rightarrow y = \dfrac{{ - 45}}{2}\end{array} \right.\) Hay điểm khác gốc tọa độ thỏa mãn điều kiện là \(M\left( {\dfrac{{ - 15}}{2};\dfrac{{ - 45}}{2}} \right)\).
Câu 27 :
Tìm điều kiện của tham số m để phương trình \(2{x^2} + 5x + m - 1 = 0\) vô nghiệm
Đáp án : D Phương pháp giải :
Xét phương trình bậc hai: \({\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\) Bước 1: Xác định các hệ số \(a,b,c\) và tính biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\) Bước 2: PT vô nghiệm \( \Leftrightarrow a \ne 0;\,\Delta < 0\) Từ đó giải các điều kiện và tìm ra \(m\). Lời giải chi tiết :
Phương trình \(2{x^2} + 5x + m - 1 = 0\)\(\left( {a = 2;b = 5;c = m - 1} \right)\) \( \Rightarrow \Delta = {5^2} - 4.2\left( {m - 1} \right) = 25 - 8m + 8 = 33 - 8m\,\) Để phương trình đã cho vô nghiệm thì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \ne 0\left( {ld} \right)\\33 - 8m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \dfrac{{33}}{8}\) Với \(m > \dfrac{{33}}{8}\) thì phương trình vô nghiệm.
Câu 28 :
Cho phương trình \((m - 2){x^2} - 2(m + 1)x + m = 0\). Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có một nghiệm
Đáp án : B Phương pháp giải :
Xét phương trình bậc hai dạng $a{x^2} + bx + c = 0$ với $b = 2b'$ TH1: $a = 0$ TH2: $a \ne 0$. Khi đó, phương trình có nghiệm kép\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
Phương trình \((m - 2){x^2} - 2(m + 1)x + m = 0\) có $a = m - 2;b' = - \left( {m + 1} \right);c = m$ Suy ra $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 2} \right)m = 4m + 1$ TH1: $m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2 \Rightarrow - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}$. Với $m = 2$ phương trình có một nghiệm $x = \dfrac{1}{3}$ TH2: $m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2$ Để phương trình có nghiệm kép thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\4m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m = - \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Rightarrow m = - \dfrac{1}{4}$ Vậy $m = - \dfrac{1}{4}$ và $m = 2$ là giá trị cần tìm.
Câu 29 :
Cho đường tròn $(O).$ Từ một điểm $M$ ở ngoài $(O)$, vẽ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ sao cho góc $AMB$ bằng ${120^0}$. Biết chu vi tam giác $MAB$ là $6\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right)cm$, tính độ dài dây $AB.$
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và công thức chu vi tam giác Lời giải chi tiết :
 Xét $\left( O \right)$ có $MA = MB$; $\widehat {AMO} = \widehat {BMO}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Nên $\widehat {AMO} = 60^\circ $. Xét tam giác vuông $AOM$ có $AM = AO.cot\widehat {AMO} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{3}$ nên $MA = MB = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{3}$ Lại có $\widehat {AOB} + \widehat {AMB} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {AOB} = 60^\circ $ suy ra $\Delta AOB$ là tam giác đều $ \Rightarrow AB = OB = OA = R$ Chu vi tam giác $MAB$ là $MA + MB + AB = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{3} + \dfrac{{R\sqrt 3 }}{3} + R = 6\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right)$ $ \Leftrightarrow R\left( {\dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right) = 6\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right) \Rightarrow R = 18\,cm$ nên $AB = 18\,cm$.
Câu 30 :
Cho hai đường tròn $\left( {O;20cm} \right)$ và $\left( {O';15cm} \right)$ cắt nhau tại $A$ và$B$. Tính đoạn nối tâm $OO'$, biết rằng$AB = 24cm$ và $O$ và $O'$ nằm cùng phía đối với $AB$ .
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau và định lý Pytago Lời giải chi tiết :
 Ta có: $AI = \dfrac{1}{2}AB = 12\,\ cm$ Theo định lý Pytago ta có $O{I^2} = O{A^2}-A{I^2} = 256$ $ \Rightarrow $ $OI = 16 \,\ cm$ và $O'I = \sqrt {O'{A^2} - I{A^2}} = 9 \,\ cm$ Do đó: $OO' = OI-O'I = 16-9 = 7\left( {cm} \right)$ .
Câu 31 :
Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\)tiếp xúc ngoài tại \(A\). Kẻ các đường kính \(AOB;AO'C\). Gọi \(DE\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {D \in \left( O \right);E \in \left( {O'} \right)} \right)\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\). Tính diện tích tứ giác \(ADME\) biết \(\widehat {DOA} = 60^\circ \) và \(OA = 8\,cm\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông. Diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài và chiều rộng. Lời giải chi tiết :
 Xét \(\left( O \right)\) có \(OD = OA \Rightarrow \Delta OAD\) cân tại \(O \Rightarrow \widehat {ODA} = \widehat {OAD}\) Xét \(\left( {O'} \right)\) có \(O'E = O'A \Rightarrow \Delta O'EB\) cân tại \(O' \Rightarrow \widehat {O'EA} = \widehat {O'AE}\) Mà \(\widehat O + \widehat {O'} = 360^\circ - \widehat {O'ED} - \widehat {ODE} = 180^\circ \) \( \Leftrightarrow 180^\circ - \widehat {ODA} - \widehat {OAD} + 180^\circ - \widehat {O'EA} - \widehat {O'AE} = 180^\circ \Leftrightarrow 2\left( {\widehat {OAD} + \widehat {O'AE}} \right) = 180^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {OAD} + \widehat {O'AE} = 90^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {DAE} = 90^\circ \Rightarrow \Delta ADE\) vuông tại \(A\). Mà \(\widehat {BDA} = 90^\circ \) ( vì tam giác \(BAD\) có cạnh \(AB\) là đường kính của \(\left( O \right)\)và \(D \in \left( O \right)\) ) nên \(BD \bot AD \Rightarrow \widehat {MDA} = 90^\circ \) Tương tự ta có \(\widehat {MEA} = 90^\circ \) .\(\)\(\) Nên tứ giác \(DMEA\) là hình chữ nhật. Xét tam giác \(OAD\) cân tại \(O\) có \(\widehat {DOA} = 60^\circ \) nên \(\Delta DOA\) đều, suy ra \(OA = AD = 8\,cm\) và \(\widehat {ODA} = 60^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {ADE} = 30^\circ \). Xét tam giác \(ADE\) ta có \(EA = AD.\tan \widehat {EDA} = 8.\tan 30^\circ = \dfrac{8}{3}\sqrt 3 \) \({S_{DMEA}} = AD.AE = 8.\dfrac{8}{3}\sqrt 3 = \dfrac{64}{3}\sqrt 3 \,\,c{m^2}\).
Câu 32 :
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB,\) vẽ góc ở tâm \(\widehat {AOC} = 60^\circ \) . Vẽ dây \(CD\) vuông góc với \(AB\) và dây \(DE\) song song với \(AB.\) Tính số đo cung nhỏ \(BE\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Chứng minh $E;O;C$ thẳng hàng Bước 2: Tính số đo cung thông qua góc ở tâm Lời giải chi tiết :
 Xét $\left( O \right)$ có $CD \bot OA;ED{\rm{//}}OA \Rightarrow CD \bot ED$ hay $\widehat {EDC} = 90^\circ $ mà $E;D;C \in \left( O \right)$ nên $EC$ là đường kính của $\left( O \right)$ hay $E;O;C$ thẳng hàng. Do đó $\widehat {BOE} = \widehat {COA} = 60^\circ $ (đối đỉnh) nên số đo cung nhỏ $BE$ là $60^\circ $.
Câu 33 :
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và $\widehat A = 66^\circ $ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Trong các cung nhỏ $AB;BC;AC$, cung nào là cung lớn nhất?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng mối liên hệ giữa cung và dây Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: +) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn. +) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. +) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại Lời giải chi tiết :
 Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat A = 66^\circ \Rightarrow \widehat B = \widehat C = \dfrac{{180^\circ - \widehat A}}{2} = \dfrac{{180^\circ - 66^\circ }}{2} = 57^\circ $ Vì $\widehat A > \widehat B = \widehat C$ nên theo mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ta có $BC > AB = AC$ Theo mối liên hệ giữa cung và dây ta có $\overparen{BC}$ $ > $ $\overparen{AB}$ $ = $ $\overparen{AC}$.
Câu 34 :
Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và hai dây $AB;CD$ sao cho $\widehat {AOB} = 120^\circ ;\widehat {COD} = 60^\circ $. So sánh các dây $CD;AB$.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng mối liên hệ giữa cung và dây Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: +) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn. +) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. +) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại Sử dụng định lý: Trong một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất Lời giải chi tiết :
 Vì $\widehat {COD} < \widehat {AOB}$ nên cung $CD$ nhỏ hơn cung $AB$, từ đó dây $CD < AB$ (*) Xét tam giác $OCD$ cân tại $O$ có $\widehat {COD} = 60^\circ $ nên $\Delta COD$ là tam giác đều $ \Rightarrow CD = R$ $AB$ là dây không đi qua tâm nên $AB < 2R \Rightarrow AB < 2CD$ (**) Từ (*) và (**) ta có $CD < AB < 2CD$
Câu 35 :
Cho tam giác $ABC$ có \(AB = 5cm;AC = 3cm\) đường cao $AH$ và nội tiếp trong đường tròn tâm $(O),$ đường kính $AD.$Khi đó tích $AH.AD$ bằng
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất góc nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau để chứng minh hai tam giác đồng dạng. Lời giải chi tiết :
 Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ACB} = \widehat {ADB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\) ); \(\widehat {ABD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Nên \(\Delta ACH \backsim \Delta ADB\left( {g - g} \right)\) $ \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AD}} = \dfrac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH.AD = AC.AB$. Suy ra \(AH.AD = 3.5 = 15c{m^2}\) .
Câu 36 :
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R),$đường cao $AH,$ biết $AB = 9{\rm{ }}cm,$ $AC = 12{\rm{ }}cm,$ $AH = 4{\rm{ }}cm.$ Tính bán kính của đường tròn $(O)$.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng kết quả câu trước. Lời giải chi tiết :
 Kẻ đường kính \(AD\), theo kết quả câu trước, ta có \(AH.AD = AB.AC\) \( \Rightarrow AD = \dfrac{{AB.AC}}{{AH}} = \dfrac{{9.12}}{4} = 27 \Rightarrow R = 13,5cm\) .
Câu 37 :
Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp \(\left( O \right)\) có \(AC = 3cm\) . Kẻ tiếp tuyến \(xAy\) với \(\left( O \right)\) . Từ \(C\) kẻ \(CM{\rm{//}}xy\left( {M \in AB} \right)\) . Chọn câu đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng hệ quả về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung: “ Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau” để chứng minh các góc bằng nhau Từ đó suy ra tam giác đồng dạng theo trường hợp góc-góc và suy ra hệ thức tương ứng. Lời giải chi tiết :
 Ta có \(\widehat {yAC} = \widehat {ABC}\) (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\) ) mà \(\widehat {yAC} = \widehat {ACM}\) (so le trong) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACM} \Rightarrow \Delta AMC\backsim\Delta ACB\left( {g - g} \right)\) \(\dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow AM.AB = A{C^2} = {3^2} = 9\left( {c{m^2}} \right)\) .
Câu 38 :
Cho hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {O'} \right)$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Một đường thẳng tiếp xúc với $\left( O \right)$ tại $C$, và tiếp xúc với đường tròn $\left( {O'} \right)$ tại $D$ sao cho tia \(AB\) cắt đoạn \(CD\). Vẽ đường tròn $\left( I \right)$ đi qua ba điểm $A,C,D$ cắt đường thẳng $AB$ tại một điểm thứ hai là $E$. Chọn câu đúng:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng các tính chất: góc nội tiếp cùng chắn một cung; góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung. Sử dụng dấu hiệu nhận biết một hình là hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông. Lời giải chi tiết :
 +) Xét $\left( O \right)$ ta có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BCD}\) (cùng chắn cung $CB$) Xét $\left( I \right)$ có: \(\widehat {CAB} = \widehat {EDC}\) (cùng chắn cung \(CE\)) \( \Rightarrow \widehat {BCD} = \widehat {EDC} \Rightarrow ED//BC\left( 1 \right)\) +) Xét $\left( {O'} \right)$ có: \(\widehat {BAD} = \widehat {BDC}\) (cùng chắn cung $BD$) Xét $\left( I \right)$ có: \(\widehat {EAD} = \widehat {ECD}\) (cùng chắn cung $ED$) \( \Rightarrow \widehat {ECD} = \widehat {BDC} \Rightarrow CE//BD\left( 2 \right)\) Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $BDEC$ là hình bình hành
Câu 39 :
Tìm \(m\) để hai phương trình \({x^2} + mx + 2 = 0\) và \({x^2} + 2x + m = 0\) có ít nhất một nghiệm chung.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Hai phương trình có nghiệm chung thì nghiệm chung đó phải thoả mãn cả hai phương trình Lời giải chi tiết :
Gọi \({x_0}\) là nghiệm chung của hai phương trình thì \({x_0}\) phải thỏa mãn hai phương trình trên. Thay \(x = {x_0}\) vào hai phương trình trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 + m{x_0} + 2 = 0\\{x_0}^2 + 2{x_0} + m = 0\end{array} \right. \) \(\Rightarrow (m - 2){x_0} + 2 - m = 0\) \(\Leftrightarrow (m - 2)(x_0-1)= 0\) +) Nếu \(m = 2\) thì \(0 = 0\) (luôn đúng) hay hai phương trình trùng nhau. Lúc này phương trình \({x^2} + 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = - 1\) vô nghiệm nên cả hai phương trình đều vô nghiệm. Vậy \(m = 2\) không thỏa mãn. +) Nếu \(m \ne 2\) thì \({x_0} = 1\). Thay \({x_0} = 1\) vào phương trình \({x_0}^2 + m{x_0} + 2 = 0\) ta được \(1 + m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\). Vậy \(m = - 3\) thì hai phương trình có nghiệm chung.
Câu 40 :
Cho đường thẳng xy và đường tròn (O; R) không giao nhau. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O) tại A và B. Kẻ \(OH \bot xy\) . Chọn câu đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Sử dụng tam giác đồng dạng + Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chỉ ra các điểm và đoạn thẳng cố định. Lời giải chi tiết :
 Vì \(OH \bot xy,\) nên \(H\) là một điểm cố định và \(OH\) không đổi Gọi giao điểm của \(AB\) và \(OM\) là \(E;\) giao điểm của \(AB\) với \(OH\) là \(F.\) Vì \(\left( {O;R} \right)\) và đường tròn đường kính \(OM\) cắt nhau tại \(A;B\) nên \(AB \bot OM\) Lại có điểm A nằm trên đường tròn đường kính OM nên \(\widehat {OAM} = 90^\circ \) Xét \(\Delta OEF\) và \(\Delta OHM\) có \(\widehat O\) chung và \(\widehat {OEF} = \widehat {OHM} = 90^\circ \) nên \(\Delta OEF \backsim \Delta OHM\left( {g - g} \right)\) Suy ra \(\dfrac{{OE}}{{OH}} = \dfrac{{OF}}{{OM}} \Rightarrow OE.OM = OF.OH\) Xét \(\Delta MAO\) vuông tại \(A\) có \(AE\) là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(\begin{array}{*{20}{l}}{OM.OE = O{A^2}\; = {R^2}}\\{\; \Rightarrow OF.OH = {R^2}\; \Rightarrow OF = \dfrac{{{R^2}}}{{OH}}}\end{array}\) Do \(OH\) không đổi nên \(OF\) cũng không đổi Vậy \(F\) là một điểm cố định hay \(AB\) luôn đi qua một điểm cố định là giao của \(AB\) và \(OH.\) |
