Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 9

Đề kiểm tra giữa học kì 1 Toán 9 - Đề số 2

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 9 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$. Khi đó $\cos \widehat {MNP}$ bằng

A

$\dfrac{{MN}}{{NP}}$
B

$\dfrac{{MP}}{{NP}}$
C

$\dfrac{{MN}}{{MP}}$
D

$\dfrac{{MP}}{{MN}}$

Câu 2 :

Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài $7,5m.$ Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng ${42^0}.$ Tính chiều cao của cột đèn. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

A

$6,753\,m$
B

$6,75\,m$
C

$6,751\,m$
D

$6,755\,m$

Câu 3 :

Chọn câu đúng nhất. Nếu $\alpha $ là một góc nhọn bất kỳ, ta có

A

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$
B

$\tan \alpha .\cot \alpha = 1$
C

$\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$
D

Cả A, B, C đều đúng

Câu 4 :

Cho $B = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} - \dfrac{2}{{\sqrt 3 - 1}}$ và $C = \left( {2\sqrt 3 - 5\sqrt {27} + 4\sqrt {12} } \right):\sqrt 3 $. Chọn đáp án đúng.

A

$B > C$
B

$B < C$
C

$B = C$
D

$B = - C$

Câu 5 :

Cho các biểu thức $A,B$ mà $A.B \ge 0;B > 0$, khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}$
B

$\sqrt {\dfrac{A}{B}}=- \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}$
C

$\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{B}$
D

$\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{AB}}{{\sqrt B }}$

Câu 6 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 21\,cm$; $\widehat C = 40^\circ $ , phân giác $BD$ ($D$ thuộc $AC$ ). Độ dài phân giác $BD$ là (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

A

$21,3\,cm$
B

$24\,cm$
C

$22,3\,cm$
D

$23,2\,cm$

Câu 7 :

Cho $\alpha $ là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.

A

$\sin \alpha + \cos \alpha = 1$
B

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$
C

${\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha = 1$
D

$\sin \alpha - cos\alpha = 1$

Câu 8 :

Cho hình vẽ, tìm $x.$

A

$x = 0,75$
B

$x = 4,5$
C

$x = 4\sqrt 3 $
D

$x = 4$

Câu 9 :

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$\sqrt {2018 + 2019} = \sqrt {2018} + \sqrt {2019} $
B

$\sqrt {2018. 2019} = \dfrac{{\sqrt {2018} }}{{\sqrt {2019} }}$
C

$\sqrt {2018} .\sqrt {2019} = \sqrt {2018.2019} $
D

$2018. 2019 = \dfrac{{\sqrt {2019} }}{{\sqrt {2018} }}$

Câu 10 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} $ là

A

$1$
B

$0$
C

$2$
D

$3$

Câu 11 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng?

A

$A{H^2} = AB.AC$
B

$A{H^2} = BH.CH$
C

$A{H^2} = AB.BH$
D

$A{H^2} = CH.BC$

Câu 12 :

Tính $x$ trong hình vẽ sau:

A

$x = 14$
B

$x = 13$
C

$x = 12$
D

$x = \sqrt {145} $

Câu 13 :

Tìm các số $x$ không âm thỏa mãn $\sqrt x \ge 3$

A

$x \ge 9$
B

$x < 9$
C

$x > 9$
D

$x \le 9$

Câu 14 :

So sánh hai số $5$ và $\sqrt {50} - 2$.

A

$5 > \sqrt {50} - 2$
B

$5 = \sqrt {50} - 2$
C

$5 < \sqrt {50} - 2$
D

Chưa đủ điều kiện để so sánh.

Câu 15 :

So sánh hai số $9\sqrt 7 $ và $8\sqrt 8 $

A

$8\sqrt 8 < 9\sqrt 7 $
B

$8\sqrt 8 = 9\sqrt 7 $
C

$8\sqrt 8 \ge 9\sqrt 7 $
D

$9\sqrt 7 < 8\sqrt 8 $

Câu 16 :

Tìm điều kiện của $x$ để căn thức $\sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}} $ có nghĩa.

A

$x \ge 1$
B

$x < 1$
C

$x > 1$
D

$x = 1$

Câu 17 :

Rút gọn biểu thức

$\sqrt {{a^2} + 8a + 16} + \sqrt {{a^2} - 8a + 16} $ với $ - 4 \le a \le 4$ ta được

A

$2a$
B

$8$
C

$ - 8$
D

$ - 2a$

Câu 18 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {252} - \sqrt {700} + \sqrt {1008} - \sqrt {448} $ là:

A

$\sqrt 7 $
B

$0$
C

$4\sqrt 7 $
D

$5\sqrt 7 $

Câu 19 :

Rút gọn biểu thức $5\sqrt a - 4b\sqrt {25{a^3}} + 5a\sqrt {16a{b^2}} - \sqrt {9a} $ với $a \ge 0;b \ge 0$ ta được kết quả là

A

$2\sqrt {2a} $
B

$4\sqrt a $
C

$8\sqrt a $
D

$2\sqrt a $

Câu 20 :

Sau khi rút gọn biểu thức $\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }} + \dfrac{2}{{7 - 3\sqrt 5 }}$ là phân số tối giản $\dfrac{a}{b},\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó $a + b$ có giá trị là:

A

$28$
B

$7$
C

$8$
D

$14$

Câu 21 :

Cho $P = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$. Có bao nhiêu giá trị $x \in \mathbb{Z}$ để $P \in \mathbb{Z}$.

A

$3$
B

$2$
C

$0$
D

$4$

Câu 22 :

Cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$. Tìm các giá trị của $x$ biết $A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{2}$ .

A

$x = 0;x = 5$
B

$x = 0$
C

$x = 0;x = 25$
D

$x = 5;x = 1$

Câu 23 :

Giải phương trình $\sqrt {2{x^2} - 4x + 5} = x - 2$ ta được nghiệm là

A

$x = 1$
B

$x = 3$
C

$x = 2$
D

Phương trình vô nghiệm

Câu 24 :

Rút gọn biểu thức:$B = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}$ với $x \ge 0;\,\,x \ne 4$.

A

$B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
B

$B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$
C

$B = \dfrac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$
D

$B = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$

Câu 25 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH.$ Cho biết $AB:AC = 3:4$ và $AH = 6cm.$ Tính độ dài các đoạn thẳng $CH.$

A

$CH = 8$
B

$CH = 6$
C

$CH = 10$
D

$CH = 12$

Câu 26 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5\,cm,\,\,\cot C = \dfrac{7}{8}$ . Tính độ dài các đoạn thẳng $AC$ và $BC$ . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ $2$ )

A

$AC \approx 4,39 (cm);BC \approx 6,66 (cm)$
B

$AC \approx 4,38(cm);BC \approx 6,64(cm)$
C

$AC \approx 4,38(cm);BC \approx 6,67(cm)$
D

$AC \approx 4,37(cm);BC \approx 6,67(cm)$

Câu 27 :

Cho $\alpha $ là góc nhọn bất kỳ. Biểu thức $Q = \dfrac{{1 + {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }}$ bằng

A

$Q = 1 + {\tan ^2}\alpha $
B

$Q = 1 + 2{\tan ^2}\alpha $
C

$Q = 1 - 2{\tan ^2}\alpha $
D

$Q = 2{\tan ^2}\alpha $

Câu 28 :

Nhà bạn Vũ có một chiếc thang dài $3,5\,m$. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” là ${62^0}$ (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng). (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A

$1,65\,m$
B

$1,64\,\,m$
C

$1,68\,m$
D

$1,69\,m$

Câu 29 :

Tính số đo góc nhọn $x,$ biết: ${\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \dfrac{1}{2}$

A

$45^\circ $
B

$30^\circ $
C

$60^\circ $
D

$90^\circ $

Câu 30 :

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A.$ Biết $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7}$. Đường cao $AH = 15cm.$ Tính ${\rm{ }}HC.$

A

$\dfrac{{15\sqrt {74} }}{7}$
B

$3\sqrt {74} \,cm$
C

$22\,cm$
D

$21\,cm$

Câu 31 :

Cho $A = \dfrac{{2x}}{{x + 3\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x + 1}}{{x + 4\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{x + 5\sqrt x + 6}}$ với $x \ge 0$. Chọn đáp án đúng.

A

$A = 2\sqrt x $
B

Giá trị của $A$ không phụ thuộc vào biến $x.$
C

$A = 3\left( {\sqrt x + 2} \right)$
D

$A = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$

Câu 32 :

Giả sử $a;\,\,b;\,\,c$ là các số thực dương. Chọn câu đúng.

A

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
B

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
C

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $
D

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$. Khi đó $\cos \widehat {MNP}$ bằng

A

$\dfrac{{MN}}{{NP}}$
B

$\dfrac{{MP}}{{NP}}$
C

$\dfrac{{MN}}{{MP}}$
D

$\dfrac{{MP}}{{MN}}$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có $\cos \widehat {MNP} = \dfrac{{MN}}{{NP}}$

Câu 2 :

A

$6,753\,m$
B

$6,75\,m$
C

$6,751\,m$
D

$6,755\,m$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có chiều cao cột đèn là $AC$; $AB = 7,5\,m$ và $\widehat {ACB} = 42^\circ $

Xét tam giác $ACB$ vuông tại $A$ có

$AC = AB.\tan B = 7,5.\tan 42^\circ \simeq 6,753\,\,m$

Vậy cột đèn cao $6,753\,m$

Câu 3 :

Chọn câu đúng nhất. Nếu $\alpha $ là một góc nhọn bất kỳ, ta có

A

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$
B

$\tan \alpha .\cot \alpha = 1$
C

$\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$
D

Cả A, B, C đều đúng

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Nếu $\alpha $ là một góc nhọn bất kỳ thì ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1;\tan \alpha .\cot \alpha = 1$

$\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ nên cả A, B, C đều đúng

Câu 4 :

A

$B > C$
B

$B < C$
C

$B = C$
D

$B = - C$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Tính $B;C$ bằng cách sử dụng các công thức

Với $A > 0$ và $A \ne {B^2}$ thì $\dfrac{C}{{\sqrt A \pm B}} = \dfrac{{C(\sqrt A \mp B)}}{{A - {B^2}}}$

Khai phương một tích: $\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B {\rm{ }}(A \ge 0,B \ge 0)$

+ So sánh $B;C.$

Lời giải chi tiết :

Ta có $B = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} - \dfrac{2}{{\sqrt 3 - 1}}$

$ = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}} - \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}$

$
= \dfrac{{2\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{3 - 2}} - \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{3 - 1}}$
$= \sqrt 2 + \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{1} - \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}$

$ = \sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 2 - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)$

$ = \sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 2 - \sqrt 3 - 1$

$ = 2\sqrt 2 - 1$

Lại có

$\begin{array}{l}C = (2\sqrt 3 - 5\sqrt {27} + 4\sqrt {12} ):\sqrt 3 \\ = \left( {2\sqrt 3 - 5\sqrt {9.3} + 4\sqrt {4.3} } \right):\sqrt 3 \\= (2\sqrt 3 - 5.3\sqrt 3 + 4.2\sqrt 3 ):\sqrt 3 \\ = - 5\sqrt 3 :\sqrt 3 \\ = - 5\end{array}$

Nhận thấy $B = 2\sqrt 2 - 1 > 0;\,C = - 5 < 0 \Rightarrow B > C$

Câu 5 :

Cho các biểu thức $A,B$ mà $A.B \ge 0;B > 0$, khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}$
B

$\sqrt {\dfrac{A}{B}}=- \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}$
C

$\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{B}$
D

$\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{AB}}{{\sqrt B }}$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Với các biểu thức $A,B$ mà $A.B \ge 0;B \ne 0$, ta có $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}} = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\,khi\,B > 0\\ - \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\,khi\,B < 0\end{array} \right.$

Câu 6 :

A

$21,3\,cm$
B

$24\,cm$
C

$22,3\,cm$
D

$23,2\,cm$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Tính góc $ABC$ từ đó suy ra góc $ABD$

+ Sử dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông $ABD$ để tính $BD.$

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat {ABC} + \widehat C = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ABC} = 50^\circ $

Mà $BD$ là phân giác góc $ABC$ nên $\widehat {ABD} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC} = 25^\circ $

Xét tam giác $ABD$ vuông tại $A$ ta có $BD = \dfrac{{AB}}{{\cos \widehat {ABD}}} = \dfrac{{21}}{{\cos 25^\circ }} \approx 23,2\,cm$

Câu 7 :

Cho $\alpha $ là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.

A

$\sin \alpha + \cos \alpha = 1$
B

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$
C

${\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha = 1$
D

$\sin \alpha - cos\alpha = 1$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Cho $\alpha $ là góc nhọn bất kỳ, khi đó ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$

Câu 8 :

Cho hình vẽ, tìm $x.$

A

$x = 0,75$
B

$x = 4,5$
C

$x = 4\sqrt 3 $
D

$x = 4$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: “ bình phương cạnh góc vuông bằng tích hình chiếu của nó lên cạnh huyền với cạnh huyền”

Lời giải chi tiết :

Đặt tên như hình vẽ trên.

Tam giác $MNP$ vuông tại $M$ có $MH \bot NP$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $M{N^2} = N{H^2}.NP \Rightarrow {6^2} = x.8 \Rightarrow x = 36:8 = 4,5.$

Vậy $x = 4,5.$

Câu 9 :

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$\sqrt {2018 + 2019} = \sqrt {2018} + \sqrt {2019} $
B

$\sqrt {2018. 2019} = \dfrac{{\sqrt {2018} }}{{\sqrt {2019} }}$
C

$\sqrt {2018} .\sqrt {2019} = \sqrt {2018.2019} $
D

$2018. 2019 = \dfrac{{\sqrt {2019} }}{{\sqrt {2018} }}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\sqrt {2018} .\sqrt {2019} = \sqrt {2018.2019} $

Câu 10 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} $ là

A

$1$
B

$0$
C

$2$
D

$3$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích $\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)$ đưa biểu thức về các căn thức cùng loại (cùng biểu thức dưới dấu căn).

-Cộng trừ các căn thức

Lời giải chi tiết :

$\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} $$ = \sqrt {16.2} + \sqrt {25.2} - 3\sqrt {4.2} - \sqrt {9.2} $

$= 4\sqrt 2 + 5\sqrt 2 - 6\sqrt 2 - 3\sqrt 2 = 0$

Câu 11 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng?

A

$A{H^2} = AB.AC$
B

$A{H^2} = BH.CH$
C

$A{H^2} = AB.BH$
D

$A{H^2} = CH.BC$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có hệ thức $H{A^2} = HB.HC$

Câu 12 :

Tính $x$ trong hình vẽ sau:

A

$x = 14$
B

$x = 13$
C

$x = 12$
D

$x = \sqrt {145} $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tính $x$ theo hệ thức lượng $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$

Lời giải chi tiết :

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$$ \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{15.20}}{{\sqrt {{{15}^2} + {{20}^2}} }} = 12$

Vậy $x = 12$.

Câu 13 :

Tìm các số $x$ không âm thỏa mãn $\sqrt x \ge 3$

A

$x \ge 9$
B

$x < 9$
C

$x > 9$
D

$x \le 9$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng cách so sánh hai căn bậc hai $\sqrt A > \sqrt B \Leftrightarrow A > B$ với $A,B$ không âm.

Lời giải chi tiết :

Vì $3 = \sqrt 9 $ nên $\sqrt x \ge 3$ được viết là $\sqrt x \ge \sqrt 9 $. Vì $x$ không âm nên $\sqrt x \ge \sqrt 9 $$ \Rightarrow x \ge 9$.

Câu 14 :

So sánh hai số $5$ và $\sqrt {50} - 2$.

A

$5 > \sqrt {50} - 2$
B

$5 = \sqrt {50} - 2$
C

$5 < \sqrt {50} - 2$
D

Chưa đủ điều kiện để so sánh.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

So sánh hai căn bậc hai: Với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b $.

Lời giải chi tiết :

Tách $5 = 7 - 2 = \sqrt {49} - 2$.

Vì $49 < 50 \Leftrightarrow \sqrt {49} < \sqrt {50} $$ \Leftrightarrow 7 < \sqrt {50} \Leftrightarrow 7 - 2 < \sqrt {50} - 2 $$\Leftrightarrow 5 < \sqrt {50} - 2$.

Câu 15 :

So sánh hai số $9\sqrt 7 $ và $8\sqrt 8 $

A

$8\sqrt 8 < 9\sqrt 7 $
B

$8\sqrt 8 = 9\sqrt 7 $
C

$8\sqrt 8 \ge 9\sqrt 7 $
D

$9\sqrt 7 < 8\sqrt 8 $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai số $\sqrt A < \sqrt B \Leftrightarrow 0 \le A < B$.

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$

+) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $9\sqrt 7 = \sqrt {{9^2}.7} = \sqrt {81.7} = \sqrt {567} $; $8\sqrt 8 = \sqrt {{8^2}.8} = \sqrt {64.8} = \sqrt {512} $

Vì $512 < 567 \Leftrightarrow \sqrt {512} < \sqrt {567} \Leftrightarrow 8\sqrt 8 < 9\sqrt 7 $

Câu 16 :

Tìm điều kiện của $x$ để căn thức $\sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}} $ có nghĩa.

A

$x \ge 1$
B

$x < 1$
C

$x > 1$
D

$x = 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

$\sqrt A $ xác định (hay có nghĩa) khi $A$ lấy giá trị không âm tức là $A \ge 0.$

Ngoài ra: $\dfrac{1}{A} \ge 0 \Leftrightarrow A > 0$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}} $ có nghĩa $ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 1}} \ge 0 \Rightarrow x - 1 > 0$ (vì $1>0$)

$ \Leftrightarrow x > 1$

Câu 17 :

Rút gọn biểu thức

$\sqrt {{a^2} + 8a + 16} + \sqrt {{a^2} - 8a + 16} $ với $ - 4 \le a \le 4$ ta được

A

$2a$
B

$8$
C

$ - 8$
D

$ - 2a$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Đưa biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$ và ${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$.

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

- Phá dấu giá trị tuyệt đối $\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,A < 0\end{array} \right.$ (dựa vào điều kiện đề bài).

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {{a^2} + 8a + 16} = \sqrt {{{\left( {a + 4} \right)}^2}} = \left| {a + 4} \right|$.

Mà $ - 4 \le a \le 4 \Rightarrow a + 4 \ge 0$

$\Rightarrow \left| {a + 4} \right| = a + 4$

Hay $\sqrt {{a^2} + 8a + 16} = a + 4$ với $ - 4 \le a \le 4$

Ta có $\sqrt {{a^2} - 8a + 16} = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2}} $

$= \left| {a - 4} \right|$.

Mà $ - 4 \le a \le 4 \Rightarrow a - 4 \le 0 $

$\Rightarrow \left| {a - 4} \right| = 4 - a$

Hay $\sqrt {{a^2} - 8a + 16} = 4 - a$ với $ - 4 \le a \le 4$

Khi đó $\sqrt {{a^2} + 8a + 16} + \sqrt {{a^2} - 8a + 16} $

$= a + 4 + 4 - a = 8$.

Câu 18 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {252} - \sqrt {700} + \sqrt {1008} - \sqrt {448} $ là:

A

$\sqrt 7 $
B

$0$
C

$4\sqrt 7 $
D

$5\sqrt 7 $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\sqrt {252} - \sqrt {700} + \sqrt {1008} - \sqrt {448} $$ = \sqrt {36.7} - \sqrt {100.7} + \sqrt {144.7} - \sqrt {64.7} $$ = \sqrt {36} .\sqrt 7 - \sqrt {100} .\sqrt 7 + \sqrt {144} .\sqrt 7 - \sqrt {64} .\sqrt 7 = 6\sqrt 7 - 10\sqrt 7 + 12\sqrt 7 - 8\sqrt 7 = \sqrt 7 \left( {6 - 10 + 12 - 8} \right) = 0$

Câu 19 :

Rút gọn biểu thức $5\sqrt a - 4b\sqrt {25{a^3}} + 5a\sqrt {16a{b^2}} - \sqrt {9a} $ với $a \ge 0;b \ge 0$ ta được kết quả là

A

$2\sqrt {2a} $
B

$4\sqrt a $
C

$8\sqrt a $
D

$2\sqrt a $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức đưa thừa số vào trong dấu căn và công thức khai phương một tích để xuất hiện nhân tử chung từ đó thực hiện phép tính.

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$

+) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$

Công thức khai phương một tích

$\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \,\,\left( {A \ge 0;B \ge 0} \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có $5\sqrt a - 4b\sqrt {25{a^3}} + 5a\sqrt {16a{b^2}} - \sqrt {9a} $$ = 5\sqrt a - 4\sqrt {25{a^3}{b^2}} + 5\sqrt {16a{b^2}.{a^2}} - \sqrt 9 .\sqrt a $

$ = 5\sqrt a - 4\sqrt {25} .\sqrt {{a^3}{b^2}} + 5\sqrt {16} .\sqrt {{a^3}{b^2}} - 3\sqrt a $$ = \left( {5\sqrt a - 3\sqrt a } \right) - \left( {4.5\sqrt {{a^3}{b^2}} - 5.4\sqrt {{a^3}{b^2}} } \right)$$ = 2\sqrt a $

Câu 20 :

A

$28$
B

$7$
C

$8$
D

$14$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Trục căn thức ở mẫu theo công thức

Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }} + \dfrac{2}{{7 - 3\sqrt 5 }} = \dfrac{{2\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)}}{{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)}} + \dfrac{{2\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)}}{{\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)}}$

$ = \dfrac{{14 - 6\sqrt 5 }}{{{7^2} - {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2}}} + \dfrac{{14 + 6\sqrt 5 }}{{{7^2} - {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \dfrac{{14 - 6\sqrt 5 + 14 + 6\sqrt 5 }}{{49 - 9.5}} = \dfrac{{28}}{4} = \dfrac{7}{1}$

Suy ra $a = 7;b = 1 \Rightarrow a + b = 7 + 1 = 8$.

Câu 21 :

Cho $P = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$. Có bao nhiêu giá trị $x \in \mathbb{Z}$ để $P \in \mathbb{Z}$.

A

$3$
B

$2$
C

$0$
D

$4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng: với $P = \dfrac{a}{b}$ với $a,b \in \mathbb{Z}$ thì $P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow a\, \vdots \,b$

Lời giải chi tiết :

TH1: $\sqrt x $ là số vô tỉ thì $\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}}$ là số vô tỉ hay $P$ là số vô tỉ (loại).

TH2: $\sqrt x $ là số nguyên.

Ta có: $P = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} = \dfrac{{\sqrt x - 2 + 5}}{{\sqrt x - 2}} $$= \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{5}{{\sqrt x - 2}} = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt x - 2}}$

Vì $1 \in \mathbb{Z}$ nên để $P = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt x - 2}}$ nhận giá trị nguyên thì $\dfrac{5}{{\sqrt x - 2}} \in \mathbb{Z}$ hay $5 \,\vdots \,\left( {\sqrt x - 2} \right)$$ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 2} \right) \in Ư\left( 5 \right) = \left\{ {1; - 1;5; - 5} \right\}$

+) $\sqrt x - 2 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = 9\left( {tm} \right)$

+) $\sqrt x - 2 = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)$

+) $\sqrt x - 2 = 5 \Leftrightarrow \sqrt x = 7 \Leftrightarrow x = 49\left( {tm} \right)$

+) $\sqrt x - 2 = - 5 \Leftrightarrow \sqrt x = - 3$ (vô nghiệm vì $\sqrt x \ge 0$ với mọi $ x \ge 0$)

Vậy có ba giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện là $x = 1;x = 9;x = 49$.

Câu 22 :

Cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$. Tìm các giá trị của $x$ biết $A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{2}$ .

A

$x = 0;x = 5$
B

$x = 0$
C

$x = 0;x = 25$
D

$x = 5;x = 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cho $A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{2}$

Giải phương trình chứa căn bằng cách quy đồng mẫu số, đưa phương trình về dạng chứa căn cơ bản đã biết.

Lời giải chi tiết :

Với $x \ge 0;x \ne 4$ ta có: $A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{2}$

$ \Rightarrow 2\left( {\sqrt x + 1} \right) = \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) \Leftrightarrow 2\sqrt x + 2 = x - 3\sqrt x + 2$

$ \Leftrightarrow x - 5\sqrt x = 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 0\\\sqrt x = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {tm} \right)\\x = 25\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Vậy giá trị cần tìm là $x = 0;x = 25$.

Câu 23 :

Giải phương trình $\sqrt {2{x^2} - 4x + 5} = x - 2$ ta được nghiệm là

A

$x = 1$
B

$x = 3$
C

$x = 2$
D

Phương trình vô nghiệm

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Tìm điều kiện

+ Giải phương trình dạng $\sqrt A = B\,\left( {B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = {B^2}$

Lời giải chi tiết :

Điều kiện:

$x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2.$

Ta có: $\sqrt {2{x^2} - 4x + 5} = x - 2$$ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {\left( {x - 2} \right)^2}$

$ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow {x^2} = - 1\,$ (vô nghiệm vì ${x^2} \ge 0\,\,\forall x$ )

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 24 :

Rút gọn biểu thức:$B = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}$ với $x \ge 0;\,\,x \ne 4$.

A

$B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
B

$B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$
C

$B = \dfrac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$
D

$B = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}B = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{x}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt x + 2 + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\end{array}$

Vậy $B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$ với $x \ge 0;\,\,x \ne 4$.

Câu 25 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH.$ Cho biết $AB:AC = 3:4$ và $AH = 6cm.$ Tính độ dài các đoạn thẳng $CH.$

A

$CH = 8$
B

$CH = 6$
C

$CH = 10$
D

$CH = 12$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính $AB,AC$ dựa vào tỉ lệ cho trước và hệ thức $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$

Bước 2: Tính $CH$ theo định lý Pytago

Lời giải chi tiết :

Ta có $AB:AC = 3:4$ , đặt $AB = 3a;AC = 4a\,\left( {a > 0} \right)$

Theo hệ thức lượng $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$$ \Rightarrow \dfrac{1}{{36}} = \dfrac{1}{{9{a^2}}} + \dfrac{1}{{16{a^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{36}} = \dfrac{{25}}{{144{a^2}}} \Rightarrow a = \dfrac{5}{2}$ (TM )

$ \Rightarrow AB = 7,5;AC = 10$

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông $AHC$ ta có $CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {100 - 36} = 8$

Vậy $CH = 8$.

Câu 26 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5\,cm,\,\,\cot C = \dfrac{7}{8}$ . Tính độ dài các đoạn thẳng $AC$ và $BC$ . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ $2$ )

A

$AC \approx 4,39 (cm);BC \approx 6,66 (cm)$
B

$AC \approx 4,38(cm);BC \approx 6,64(cm)$
C

$AC \approx 4,38(cm);BC \approx 6,67(cm)$
D

$AC \approx 4,37(cm);BC \approx 6,67(cm)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tỉ số lương giác của góc nhọn, định lý Pytago để tính cạnh.

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\cot C = \dfrac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow AC = AB.\cot C = 5.\dfrac{7}{8} = \dfrac{{35}}{8} \approx 4,38\,\,cm$

Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {\left( {\dfrac{{35}}{8}} \right)^2} \Rightarrow BC \approx 6,64$

Vậy $AC \approx 4,38(cm);BC \approx 6,64(cm)$.

Câu 27 :

Cho $\alpha $ là góc nhọn bất kỳ. Biểu thức $Q = \dfrac{{1 + {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }}$ bằng

A

$Q = 1 + {\tan ^2}\alpha $
B

$Q = 1 + 2{\tan ^2}\alpha $
C

$Q = 1 - 2{\tan ^2}\alpha $
D

$Q = 2{\tan ^2}\alpha $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Biến đổi để sử dụng các đẳng thức lượng giác thích hợp.

Lời giải chi tiết :

Với $\tan \alpha = \dfrac{{sin\alpha }}{{\cos \alpha }};{\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha $.

$Q = \dfrac{{1 + {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }}$$ = \dfrac{{1 - {{\sin }^2}\alpha + 2{{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }} = \dfrac{{1 - {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }} + \dfrac{{2{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}$

$ = 1 + 2.{\left( {\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right)^2} = 1 + 2{\tan ^2}\alpha $

Vậy $Q = 1 + 2{\tan ^2}\alpha $.

Câu 28 :

A

$1,65\,m$
B

$1,64\,\,m$
C

$1,68\,m$
D

$1,69\,m$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Ta có $BC = 3,5\,\,m;\widehat C = 62^\circ $. Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AC = BC.\cos \widehat C = 3,5.\cos 62^\circ \simeq 1,64\,\,m$.

Câu 29 :

Tính số đo góc nhọn $x,$ biết: ${\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \dfrac{1}{2}$

A

$45^\circ $
B

$30^\circ $
C

$60^\circ $
D

$90^\circ $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng hệ thức ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ để biến đổi giả thiết

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ $ \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x$

Từ đó ${\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \dfrac{1}{2}$

$ \Leftrightarrow {\cos ^2}x - \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x = \dfrac{3}{2}$ $ \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$ (do $x$ là góc nhọn nên $\cos x > 0$ )

Suy ra $x = 30^\circ .$

Câu 30 :

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A.$ Biết $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7}$. Đường cao $AH = 15cm.$ Tính ${\rm{ }}HC.$

A

$\dfrac{{15\sqrt {74} }}{7}$
B

$3\sqrt {74} \,cm$
C

$22\,cm$
D

$21\,cm$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đặt $AB = 5a;AC = 7a$ $\left( {a > 0} \right)$

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông một cách thích hợp để tìm $HC.$

Lời giải chi tiết :

Vì $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow AB = 5a;AC = 7a$ với $a > 0.$

Theo hệ thức lượng trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có

$\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{15}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {5a} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {7a} \right)}^2}}}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{225}} = \dfrac{1}{{25{a^2}}} + \dfrac{1}{{49{a^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{225}} = \dfrac{{74}}{{1225{a^2}}} \Rightarrow {a^2} = \dfrac{{666}}{{49}} \Rightarrow a = \dfrac{{3\sqrt {74} }}{7}$

Suy ra $AB = \dfrac{{15\sqrt {74} }}{7};AC = 3\sqrt {74} $

Lại có $AH.BC = AB.AC \Rightarrow BC = \dfrac{{AB.AC}}{{AH}} = \dfrac{{222}}{7}$

Mà $A{C^2} = CH.BC \Rightarrow HC = \dfrac{{A{C^2}}}{{BC}} = 21\,cm.$

Câu 31 :

Cho $A = \dfrac{{2x}}{{x + 3\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x + 1}}{{x + 4\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{x + 5\sqrt x + 6}}$ với $x \ge 0$. Chọn đáp án đúng.

A

$A = 2\sqrt x $
B

Giá trị của $A$ không phụ thuộc vào biến $x.$
C

$A = 3\left( {\sqrt x + 2} \right)$
D

$A = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết :

$A = \dfrac{{2x}}{{x + 3\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x + 1}}{{x + 4\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{x + 5\sqrt x + 6}}$$= \dfrac{{2x}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{5\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$ = \dfrac{{2x\left( {\sqrt x + 3} \right) + \left( {5\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) + \left( {\sqrt x + 10} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$ = \dfrac{{2x\sqrt x + 6x + 5x + 11\sqrt x + 2 + x + 11\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$ = \dfrac{{2x\sqrt x + 12x + 22\sqrt x + 12}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$ = \dfrac{{2x\sqrt x + 2x + 10x + 10\sqrt x + 12\sqrt x + 12}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{{2x\left( {\sqrt x + 1} \right) + 10\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 12\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {2x + 10\sqrt x + 12} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\
= \dfrac{{2\left( {x + 5\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\
= \dfrac{{2\left( {x + 2\sqrt x + 3\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\
= \dfrac{{2\left[ {\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) + 3\left( {\sqrt x + 2} \right)} \right]}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\= \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = 2\end{array}$

Vậy giá trị của $A$ không phụ thuộc vào biến $x.$

Câu 32 :

Giả sử $a;\,\,b;\,\,c$ là các số thực dương. Chọn câu đúng.

A

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
B

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
C

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $
D

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bài toán kết hợp cả hai bất đẳng thức quen thuộc là Cosi và Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức.

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

+ Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương: $a + b \ge 2\sqrt {ab} $.

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số $(a;\,\,b);\,\,(c;\,\,d)$ ta có ${\left( {ac + bd} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Theo bất đẳng thức Cô si:

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} \ge 2\sqrt {\sqrt {1 + {a^2}} \sqrt {1 + {b^2}} } = 2\sqrt[4]{(1 + {a^2}) (1 + {b^2})}.$

Theo bất đẳng thức Bunhia cốpxki:

$\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) = \left( {1 + {a^2}} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge {(a + b)^2}$

$ \Rightarrow \sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} \ge 2\sqrt {a + b} $

Tương tự: $\sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\sqrt {b + c} $$ \Rightarrow \sqrt {1 + {c^2}} + \sqrt {1 + {a^2}} \ge 2\sqrt {c + a} $

Cộng cả ba bất đẳng thức trên rồi chia cho 2 ta có:

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $

Dấu “=” xảy ra khi $a = b = c = 1.$

Bài liên quan