Đề kiểm tra 45 phút chương 5: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Đề số 1

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 9 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Đề bài

Câu 1 :

Cho $\alpha $ và $\beta $ là hai góc nhọn bất kỳ thỏa mãn $\alpha + \beta = 90^\circ $. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$\tan \alpha = \sin \beta $
B

$\tan \alpha = \cot \beta $
C

$\tan \alpha = \cos \alpha $
D

$\tan \alpha = \tan \beta $

Câu 2 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ chiều cao $AH$. Chọn câu sai.

A

$A{H^2} = BH.CH$
B

$A{B^2} = BH.BC$
C

$\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$
D

$AH.AB = BC.AC$

Câu 3 :

“Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng …” . Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là

A

Tích hai cạnh góc vuông
B

Tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền
C

Tích cạnh huyền và 1 cạnh góc vuông
D

Tổng nghịch đảo các bình phương của hai cạnh góc vuông

Câu 4 :

Giải tam giác vuông $ABC,$ biết $\widehat A = 90^\circ \;$ và $BC = 50cm;\widehat B = {48^o}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

A

$AC = 37,2\,cm;\,AB = 33,4\,cm;\,\widehat C = 32^\circ $
B

$AC = 37,2\,cm;\,AB = 33,5\,cm;\,\widehat C = 45^\circ $
C

$AB = 37,2\,cm;\,AC = 33,5\,cm;\,\widehat C = 42^\circ $
D

$AC = 37,2\,cm;\,AB = 33,5\,cm;\,\widehat C = 42^\circ $

Câu 5 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 21\,cm$; $\widehat C = 40^\circ $ , phân giác $BD$ ($D$ thuộc $AC$ ). Độ dài phân giác $BD$ là (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

A

$21,3\,cm$
B

$24\,cm$
C

$22,3\,cm$
D

$23,2\,cm$

Câu 6 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 8\,cm,\,\,AC = 6cm.$ Tính tỉ số lượng giác $\tan C$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ $2$ ).

A

$\tan C \approx 0,87$
B

$\tan C \approx 0,86$
C

$\tan C \approx 0,88$
D

$\tan C \approx 0,89$

Câu 7 :

Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là ${28^0}$ và có độ cao là $2,1m.$Tính độ dài của mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

A

$3,95\,m$
B

$3,8\,m$
C

$4,5\,m$
D

$4,47\,m$

Câu 8 :

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

A

$x = 6,5;y = 9,5$
B

$x = 6,25;y = 9,75$
C

$x = 9,25;y = 6,75$
D

$x = 6;y = 10$

Câu 9 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $AC = 1\,cm,\,\,BC = 2\,cm.$ Tính các tỉ số lượng giác $\sin B;\cos B$

A

$\sin B = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }};\cos B = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$
B

$\sin B = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5};\cos B = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}$
C

$\sin B = \dfrac{1}{2};\cos B = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$
D

$\sin B = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5};\cos B = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}$

Câu 10 :

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

A

$x = 3,6;y = 6,4$
B

$y = 3,6;x = 6,4$
C

$x = 4;y = 6$
D

$x = 2,8;y = 7,2$

Câu 11 :

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

A

$x = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};y = \sqrt {74} $
B

$y = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};x= \sqrt {74} $
C

$x = 4;y = 6$
D

$x = 2,8;y = 7,2$

Câu 12 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 9\,cm,\,\,\tan C = \dfrac{5}{4}$ . Tính độ dài các đoạn thẳng $AC$ và $BC$ . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ $2$ )

A

$AC = 11,53;BC = 7,2.$
B

$AC = 7;BC \approx 11,53.$
C

$AC = 5,2;BC \approx 11.$
D

$AC = 7,2;BC \approx 11,53.$

Câu 13 :

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat B = {60^0},\widehat C = {50^0},AC = 3,5cm.$ Diện tích tam giác $ABC$ gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A

$4$
B

$5$
C

$7$
D

$8$

Câu 14 :

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 16,AC = 14$ và $\widehat B = {60^0}$. Tính $BC$

A

$BC = 10$
B

$BC = 11$
C

$BC = 9$
D

$BC = 12$

Câu 15 :

Nhà bạn Vũ có một chiếc thang dài $3,5\,m$. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” là ${62^0}$ (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng). (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A

$1,65\,m$
B

$1,64\,\,m$
C

$1,68\,m$
D

$1,69\,m$

Câu 16 :

Một cây tre cau $8m$ bị gió bão làm gãy ngang thân, ngọn cây chạm đất cách gốc $3,5m$ . Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A

$3,32\,m$
B

$3,23\,m$
C

$4\,m$
D

$3\,m$

Câu 17 :

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A.$ Biết $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7}$. Đường cao $AH = 15cm.$ Tính ${\rm{ }}HC.$

A

$\dfrac{{15\sqrt {74} }}{7}$
B

$3\sqrt {74} \,cm$
C

$22\,cm$
D

$21\,cm$

Câu 18 :

Tìm $x;y$ trong hình vẽ sau:

A

$x = 30;y = 28$
B

$x = 2\sqrt {481} ;y = \dfrac{{225}}{8}.$
C

$x = 18;y = 40.$
D

$x = 40;y = 18.$

Câu 19 :

Cho đoạn thẳng $AB = 2a$ và trung điểm $O$ của nó. Trên nửa mặt phẳng bờ $AB$ vẽ các tia $Ax,By\;$ vuông góc với $AB.$ Qua $O$ vẽ một tia cắt tia $Ax$ tại $M$ sao cho $\widehat {AOM} = \alpha < {90^0}$ . Qua $O$ vẽ tia thứ hai cắt tia $By$ tại $N$ sao cho $\widehat {MON} = 90^\circ $ . Khi đó, diện tích tam giác $MON$ là

A

$\dfrac{{{a^2}}}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}$
B

$\dfrac{{{a^2}}}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}$
C

$\dfrac{a}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}$
D

$\dfrac{{2{a^2}}}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}$

Câu 20 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Tính $A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C$.

A

$0$
B

$1$
C

$ - 1$
D

$2$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho $\alpha $ và $\beta $ là hai góc nhọn bất kỳ thỏa mãn $\alpha + \beta = 90^\circ $. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$\tan \alpha = \sin \beta $
B

$\tan \alpha = \cot \beta $
C

$\tan \alpha = \cos \alpha $
D

$\tan \alpha = \tan \beta $

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Với hai góc $\alpha ,\beta $ mà $\alpha + \beta = {90^0}$.

Ta có: $\sin \alpha = \cos \beta ;\cos \alpha = \sin \beta ;$

$\tan \alpha = \cot \beta ;\cot \alpha = \tan \beta $.

Câu 2 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ chiều cao $AH$. Chọn câu sai.

A

$A{H^2} = BH.CH$
B

$A{B^2} = BH.BC$
C

$\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$
D

$AH.AB = BC.AC$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Ta thấy $AH.BC = AB.AC$ nên D sai.

Câu 3 :

“Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng …” . Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là

A

Tích hai cạnh góc vuông
B

Tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền
C

Tích cạnh huyền và 1 cạnh góc vuông
D

Tổng nghịch đảo các bình phương của hai cạnh góc vuông

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có hệ thức $H{A^2} = HB.HC$

Hay “Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng Tích hai hình chiếu của hai cạnh gọc vuông trên cạnh huyền”

Câu 4 :

Giải tam giác vuông $ABC,$ biết $\widehat A = 90^\circ \;$ và $BC = 50cm;\widehat B = {48^o}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

A

$AC = 37,2\,cm;\,AB = 33,4\,cm;\,\widehat C = 32^\circ $
B

$AC = 37,2\,cm;\,AB = 33,5\,cm;\,\widehat C = 45^\circ $
C

$AB = 37,2\,cm;\,AC = 33,5\,cm;\,\widehat C = 42^\circ $
D

$AC = 37,2\,cm;\,AB = 33,5\,cm;\,\widehat C = 42^\circ $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vuông đó

Sử dụng các tỉ số lượng giác, định lý về góc trong tam giác, hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

Xét $\Delta ABC$ có: $\widehat A = {90^o}$
$\widehat B + \widehat C = 90^\circ \Rightarrow \widehat C = 90^\circ - \widehat B = {90^o} - {48^o} = {42^o}$ ($\widehat C$ và $\widehat B$ là hai góc phụ nhau)
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

$AC = BC.\sin B = 50.\sin 48^\circ \approx 37,2cm$

$AB = BC.\cos B = 50.\cos 48^\circ \approx 33,5cm$

Vậy $AC = 37,2\,cm;\,AB = 33,5\,cm;\,\widehat C = 42^\circ $ .

Câu 5 :

A

$21,3\,cm$
B

$24\,cm$
C

$22,3\,cm$
D

$23,2\,cm$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Tính góc $ABC$ từ đó suy ra góc $ABD$

+ Sử dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông $ABD$ để tính $BD.$

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat {ABC} + \widehat C = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ABC} = 50^\circ $

Mà $BD$ là phân giác góc $ABC$ nên $\widehat {ABD} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC} = 25^\circ $

Xét tam giác $ABD$ vuông tại $A$ ta có $BD = \dfrac{{AB}}{{\cos \widehat {ABD}}} = \dfrac{{21}}{{\cos 25^\circ }} \approx 23,2\,cm$

Câu 6 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 8\,cm,\,\,AC = 6cm.$ Tính tỉ số lượng giác $\tan C$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ $2$ ).

A

$\tan C \approx 0,87$
B

$\tan C \approx 0,86$
C

$\tan C \approx 0,88$
D

$\tan C \approx 0,89$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính cạnh còn lại theo định lý Pytago

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lời giải chi tiết :

Theo định lý Py-ta-go ta có: $B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} \Rightarrow AB = \sqrt {{8^2} - {6^2}} \approx 5,29$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} \approx \dfrac{{5,29}}{6} \approx 0,88.$

Câu 7 :

Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là ${28^0}$ và có độ cao là $2,1m.$Tính độ dài của mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

A

$3,95\,m$
B

$3,8\,m$
C

$4,5\,m$
D

$4,47\,m$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Ta có độ dài của mặt cầu trượt là $AB$; $AC = 2,1\,m$ và $\widehat {ABC} = 28^\circ $

Xét tam giác $ACB$ vuông tại $A$ có

$BC = AB:\sin B = 2,1:\sin 28^\circ \simeq 4,47\,m$

Vậy độ dài của mặt cầu trượt là $4,47\,m.$

Câu 8 :

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

A

$x = 6,5;y = 9,5$
B

$x = 6,25;y = 9,75$
C

$x = 9,25;y = 6,75$
D

$x = 6;y = 10$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tính $x$ theo hệ thức lượng $A{B^2} = BH.BC$ từ đó suy ra $y$.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$A{B^2} = BH.BC \Leftrightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{100}}{{16}} = 6,25$ $ \Rightarrow CH = BC - BH = 16 - 6,25 = 9,75$

Vậy $x = 6,25;y = 9,75$

Câu 9 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $AC = 1\,cm,\,\,BC = 2\,cm.$ Tính các tỉ số lượng giác $\sin B;\cos B$

A

$\sin B = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }};\cos B = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$
B

$\sin B = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5};\cos B = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}$
C

$\sin B = \dfrac{1}{2};\cos B = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$
D

$\sin B = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5};\cos B = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính cạnh còn lại theo định lý Pytago

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lời giải chi tiết :

Theo định lý Py-ta-go ta có: $A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 $

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\sin B = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}$ và $\cos B = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}$

Câu 10 :

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

A

$x = 3,6;y = 6,4$
B

$y = 3,6;x = 6,4$
C

$x = 4;y = 6$
D

$x = 2,8;y = 7,2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính $BC$ theo định lý Pytago

Bước 2: Tính $x,y$ theo hệ thức lượng $A{B^2} = BH.BC;A{C^2} = CH.BC$

Lời giải chi tiết :

Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 100 \Leftrightarrow BC = 10$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} $

$= \dfrac{{{6^2}}}{10} = 3,6$ hay $x = 3,6$

$ \Rightarrow CH = BC - BH $$= 10 - 3,6 = 6,4.$

hay $y = 6,4$.

Vậy $x = 3,6;y = 6,4.$

Câu 11 :

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

A

$x = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};y = \sqrt {74} $
B

$y = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};x= \sqrt {74} $
C

$x = 4;y = 6$
D

$x = 2,8;y = 7,2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính $BC$ theo định lý Pytago

Bước 2: Tính $x,y$ theo hệ thức lượng $AH.BC = AB.AC$

Lời giải chi tiết :

Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 74 \Leftrightarrow BC = \sqrt {74} $

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$AH.BC = AB.AC \Leftrightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{5.7}}{{\sqrt {74} }} = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}}$

Vậy $x = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};y = \sqrt {74} $

Câu 12 :

A

$AC = 11,53;BC = 7,2.$
B

$AC = 7;BC \approx 11,53.$
C

$AC = 5,2;BC \approx 11.$
D

$AC = 7,2;BC \approx 11,53.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, định lý Pytago để tính cạnh.

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AC = AB:\tan C = 9:\dfrac{5}{4} = 7,2cm$

Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {9^2} + 7,{2^2} = 132,84 \Rightarrow BC = \dfrac{{9\sqrt {41} }}{5} \approx 11,53$

Vậy $AC = 7,2;BC \approx 11,53.$

Câu 13 :

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat B = {60^0},\widehat C = {50^0},AC = 3,5cm.$ Diện tích tam giác $ABC$ gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A

$4$
B

$5$
C

$7$
D

$8$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+) Kẻ đường cao $AD$

+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông thích hợp và định lý Py-ta-go để tính cạnh.

+) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác.

Lời giải chi tiết :

Kẻ đường cao $AD$.

Xét tam giác vuông $ACD$, có $AD = AC.\sin C = 3,5.\sin 50^\circ \approx 2,68\,cm$; $CD = AC.\cos C = 3,5.\cos 50^\circ \approx 2,25\,\,cm$

Xét tam giác vuông $ABD$, có $BD = AD.\cot B \approx 2,68.\cot 60^\circ \approx 1,55\,\,cm$

Suy ra $BC = BD + CD = 3,8$

Do đó ${S_{ABC}} = \dfrac{{AD.BC}}{2} \approx 5,09$$c{m^2}$.

Câu 14 :

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 16,AC = 14$ và $\widehat B = {60^0}$. Tính $BC$

A

$BC = 10$
B

$BC = 11$
C

$BC = 9$
D

$BC = 12$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Kẻ đường cao $AH$

+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông thích hợp và định lý Py-ta-go để tính cạnh.

Lời giải chi tiết :

Kẻ đường cao $AH$.

Xét tam giác vuông $ABH$, ta có: $BH = AB.\cos B = AB.\cos {60^0} = 16.\dfrac{1}{2} = 8$$AH = AB.\sin B = AB.\sin {60^0} = 16.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 8\sqrt 3 $.

Áp dụng định lý Pythago vào tam giác vuông $AHC$ ta có:

$H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {14^2} - {\left( {8\sqrt 3 } \right)^2} = 196 - 192 = 4$. Suy ra $HC = 2$. Vậy $BC = CH + HB = 2 + 8 = 10$.

Câu 15 :

A

$1,65\,m$
B

$1,64\,\,m$
C

$1,68\,m$
D

$1,69\,m$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Ta có $BC = 3,5\,\,m;\widehat C = 62^\circ $. Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AC = BC.\cos \widehat C = 3,5.\cos 62^\circ \simeq 1,64\,\,m$.

Câu 16 :

A

$3,32\,m$
B

$3,23\,m$
C

$4\,m$
D

$3\,m$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Giả sử $AB$ là độ cao của cây tre, $C$ là điểm gãy.

Đặt $AC = x \Rightarrow CB = CD = 8-x$

Vì $\Delta ACD$ vuông tại $A$

$⇒A{C^2} + A{D^2} = C{D^2}$$ \Rightarrow {x^2} + 3,{5^2} = {\left( {8 - x} \right)^2}$$ \Rightarrow 16x = \dfrac{{207}}{4} $$\Rightarrow x = \dfrac{{207}}{{64}} \approx 3,23m$

Vậy điểm gãy cách gốc cây $3,23\,m$

Câu 17 :

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A.$ Biết $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7}$. Đường cao $AH = 15cm.$ Tính ${\rm{ }}HC.$

A

$\dfrac{{15\sqrt {74} }}{7}$
B

$3\sqrt {74} \,cm$
C

$22\,cm$
D

$21\,cm$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đặt $AB = 5a;AC = 7a$ $\left( {a > 0} \right)$

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông một cách thích hợp để tìm $HC.$

Lời giải chi tiết :

Vì $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow AB = 5a;AC = 7a$ với $a > 0.$

Theo hệ thức lượng trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có

$\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{15}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {5a} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {7a} \right)}^2}}}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{225}} = \dfrac{1}{{25{a^2}}} + \dfrac{1}{{49{a^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{225}} = \dfrac{{74}}{{1225{a^2}}} \Rightarrow {a^2} = \dfrac{{666}}{{49}} \Rightarrow a = \dfrac{{3\sqrt {74} }}{7}$

Suy ra $AB = \dfrac{{15\sqrt {74} }}{7};AC = 3\sqrt {74} $

Lại có $AH.BC = AB.AC \Rightarrow BC = \dfrac{{AB.AC}}{{AH}} = \dfrac{{222}}{7}$

Mà $A{C^2} = CH.BC \Rightarrow HC = \dfrac{{A{C^2}}}{{BC}} = 21\,cm.$

Câu 18 :

Tìm $x;y$ trong hình vẽ sau:

A

$x = 30;y = 28$
B

$x = 2\sqrt {481} ;y = \dfrac{{225}}{8}.$
C

$x = 18;y = 40.$
D

$x = 40;y = 18.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $A{B^2} = BH.BC;A{C^2} = CH.BC$

Lời giải chi tiết :

Ta có $BC = BH + HC = y + 32$

Áp dụng hệ thức lượng $A{B^2} = BH.BC$ trong tam giác vuông $ABC$ ta có

$\begin{array}{l}{30^2} = y\left( {y + 32} \right)\\ \Leftrightarrow {y^2} + 32y - 900 = 0\\ \Leftrightarrow {y^2} + 50y - 18y - 90 = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y + 50} \right) - 18\left( {y + 50} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 18} \right)\left( {y + 50} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 18 = 0\\y + 50 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 18\left( N \right)\\y = - 50\,\left( L \right)\end{array} \right.\end{array}$

Suy ra $y = 18 \Rightarrow BC = 18 + 32 = 50$

Áp dụng hệ thức lượng $A{C^2} = CH.BC$ ta có

${x^2} = 32.50 \Leftrightarrow {x^2} = 1600 \Rightarrow x = 40.$

Vậy $x = 40;y = 18.$

Câu 19 :

A

$\dfrac{{{a^2}}}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}$
B

$\dfrac{{{a^2}}}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}$
C

$\dfrac{a}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}$
D

$\dfrac{{2{a^2}}}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Theo đề bài ta có: $AB = 2a \Rightarrow OA = OB = a$

Ta có: $\widehat {ONB} = \widehat {AOM} = \alpha $ (cùng phụ với $\widehat {BON}$ )

Xét $\Delta AOM$ có $\widehat A = 90^\circ $
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

$OA = OM.\cos \alpha \Rightarrow OM = \dfrac{a}{{\cos \alpha }}$
Xét $\Delta BON$ có $\widehat B = 90^\circ $
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

$OB = ON.\sin \alpha \Rightarrow ON = \dfrac{a}{{\sin \alpha }}$
Vậy diện tích tam giác $MON$ là: $\dfrac{1}{2}OM.ON = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{\cos \alpha }}.\dfrac{a}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{{a^2}}}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}$

Câu 20 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Tính $A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C$.

A

$0$
B

$1$
C

$ - 1$
D

$2$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow {\sin ^2}B = \dfrac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}}$

$\sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow {\sin ^2}C = \dfrac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}\;\;$

$\tan B = \dfrac{{AC}}{{AB}} $; $ \tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}$

Vậy $A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C\;$

$ = \dfrac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \dfrac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} - \dfrac{{AC}}{{AB}}.\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} - 1$

$ = \dfrac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} - 1 = 0$ (vì theo định lý Pytago thì $A{C^2} + A{B^2} = B{C^2}$ )

Bài liên quan