Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 8

Đề kiểm tra 45 phút chương 2: Phân thức đại số - Đề số 1

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Với $B \ne 0,\,D \ne 0$ , hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ bằng nhau khi

A

$A.B = C.D$
B

$A.C = B.D$
C

$A.D = B.C$
D

$AC < B.D$

Câu 2 :

Cho $A = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ . Khi đó

A

$A = 2$
B

$A = 3$
C

$A > 4$
D

$A = 1$

Câu 3 :

Cho ba phân thức $\dfrac{1}{{xy}},\dfrac{1}{{yz}},\dfrac{3}{{xz}}$.Chọn khẳng định đúng.

A

$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{3}{{xyz}}$.
B

$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$.
C

$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{1}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$.
D

$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{1}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$.

Câu 4 :

Cho các phân thức $\dfrac{{11x}}{{3x - 3}};\,\dfrac{5}{{4 - 4x}};\dfrac{{2x}}{{{x^2} - 1}}$ .

Bạn Nam nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là $6\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2}$ .

Bạn Minh nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là $4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)$

Chọn câu đúng.

A

Bạn Nam đúng, bạn Minh sai.
B

Bạn Nam sai, bạn Minh đúng.
C

Hai bạn đều sai.
D

Hai bạn đều đúng.

Câu 5 :

Với $B \ne 0$, kết quả của phép cộng $\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B}$ là

A

$\dfrac{{A.C}}{B}$
B

$\dfrac{{A + C}}{B}$
C

$\dfrac{{A + C}}{{{B^2}}}$
D

$\dfrac{{A + C}}{{2B}}$

Câu 6 :

Thực hiện phép tính $\dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} - \dfrac{{2{a^2}}}{{1 - {a^2}}}$ ta được kết quả gọn nhất là

A

$\dfrac{{2a}}{{a - 1}}$ .
B

$\dfrac{{2{a^2} + 2a}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}$.
C

$\dfrac{{2a}}{{a + 1}}$.
D

$ - \dfrac{{2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}$.

Câu 7 :

Chọn câu sai.

A

$\dfrac{A}{B}.\dfrac{B}{A} = 1$.
B

$\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}$.
C

$\dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D}.\dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{E}{F}.\left( {\dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}} \right)$.
D

$\dfrac{A}{B}\left( {\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}$.

Cho phân thức $\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}$

Câu 8

Tìm điều kiện của $x$ để phân thức xác định.

A.

$x = 2$.
B.

$x \ne 2$.
C.

$x > 2$.
D.

$x < 2$.

Câu 9

Tính giá trị biểu thức khi $x = 2020$ .

A.

$2018$.
B.

$2022$.
C.

$2016$.
D.

$2024$.

Câu 10 :

Thực hiện phép tính sau: $\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}}$

A

$ - x$
B

$2x$
C

$\dfrac{x}{2}$
D

$x$

Câu 11 :

Kết quả của bài toán $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x(x + 1)}} + ... + \dfrac{1}{{(x + 9)(x + 10)}}$ là:

A

$\dfrac{{x + 20}}{{x(x + 10)}}$
B

$\dfrac{{x + 9}}{{x + 10}}$
C

$\dfrac{1}{{x + 10}}$
D

$\dfrac{1}{{x(x + 1)...(x + 10)}}$

Câu 12 :

Cho $x;y;z$ khác $ \pm 1$ và $xy + yz + xz = 1.$ Chọn câu đúng.

A

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$
B

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{3xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$
C

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$
D

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{xyz\left( {x + y + z} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

Câu 13 :

Với điều kiện nào của $x$ thì hai phân thức $\dfrac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}}$ và $\dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}$ bằng nhau.

A

$x = 2$
B

$x \ne 1$
C

$x = - 2$
D

$x = - 1$

Cho $Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}$.

Câu 14

Rút gọn $Q$ ta được:

A.

$Q = \dfrac{{x + 1}}{3}$
B.

$Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{ - 3}}$
C.

$Q = \dfrac{{{x^2} - 1}}{3}$
D.

$Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}$

Câu 15

Giá trị nhỏ nhất của $Q$ với $x \ge 2$ là:

A.

$\dfrac{4}{3}$
B.

$\dfrac{1}{2}$
C.

$\dfrac{5}{3}$
D.

$1$

Câu 16 :

Thực hiện phép tính $\dfrac{{3x + 12}}{{4x - 16}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{8 - 2x}}{{x + 4}}$ ta được:

A

$\dfrac{3}{2}$
B

$\dfrac{3}{{2(x - 4)}}$
C

$\dfrac{{ - 3}}{2}$
D

$\dfrac{{ - 3}}{{2(x - 4)}}$

Câu 17 :

Phép tính $3{x^3}{y^5}.\left( { - \dfrac{{7z}}{{9x{y^6}}}} \right)$ có kết quả là:

A

$\dfrac{{ - 7{x^2}z}}{{3y}}$
B

$\dfrac{{7{x^2}z}}{3}$
C

$\dfrac{{ - 7xz}}{{3y}}$
D

$\dfrac{{ - 7{x^2}}}{{3y}}$

Câu 18 :

Biết $\dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5{x^3} + 5}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^3} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \dfrac{{...}}{{...}}$. Đa thức thích hợp điền vào chỗ trống ở tử và mẫu lần lượt là:;

A

$6x;{x^2} + 4$
B

$x;5\left( {{x^2} + 4} \right)$
C

$6x;5\left( {{x^2} + 4} \right)$
D

$3x;{x^2} + 4$

Câu 19 :

Biểu thức $P = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\,:\,\,\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{x - 2}}{{4 - {x^2}}}$ có kết quả rút gọn là:

A

$\dfrac{1}{{2 - x}}$
B

$\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}$
C

$\dfrac{{x + 2}}{{2 - x}}$
D

$\dfrac{1}{{x - 2}}$

Câu 20 :

Cho $x + y + z \ne 0$ và $x = y + z.$ Chọn đáp án đúng.

A

$\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = xy$
B

$\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = yz$
C

$\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = xyz$
D

$\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = 1$

Câu 21 :

Cho $abc \ne 0;\,a + b = c.$ Tính giá trị của biểu thức $B = \dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}}$.

A

$ - 1$
B

$1$
C

$2$
D

$ - 2$

Câu 22 :

Biểu thức $M = \dfrac{{{x^2} + 5x + 5}}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}$ đạt giá trị lớn nhất là:

A

$\dfrac{5}{4}$
B

$1$
C

$\dfrac{4}{5}$
D

$2$

Câu 23 :

Chọn câu đúng.

A

$\dfrac{{{x^2} - 3xy}}{{21{y^2} - 7xy}} = \dfrac{x}{{7y}}$
B

$\dfrac{{2x + 4}}{{{x^2} - x - 6}} = \dfrac{4}{{x - 3}}$
C

$\dfrac{{2x - 6y}}{{{x^2} - 9{y^2}}} = \dfrac{2}{{x + 9y}}$
D

$\dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3} - 4x}} = \dfrac{1}{{x + 2}}$

Câu 24 :

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{6{x^2}y}},\dfrac{1}{{{x^2}{y^3}}},\dfrac{1}{{12x{y^4}}}$ là:

A

$12{x^2}{y^3}$
B

$12{x^2}{y^4}$
C

$6{x^3}{y^2}$
D

$12{x^4}y$

Câu 25 :

Chọn câu sai.

A

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{{2 - a}}{{3a}};\dfrac{1}{4}$ là $12a$.
B

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{6a}};\dfrac{{4a + 1}}{{18ab}};\dfrac{{10a}}{{9b}}$ là $18ab$.
C

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}};\dfrac{1}{{{x^2} - 1}}$ là $\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)$.
D

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}};\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^4}}};\dfrac{1}{{3x}}$ là $3x{\left( {x - 2y} \right)^4}$.

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Với $B \ne 0,\,D \ne 0$ , hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ bằng nhau khi

A

$A.B = C.D$
B

$A.C = B.D$
C

$A.D = B.C$
D

$AC < B.D$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Với hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$, ta nói $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ nếu $A.D = B.C$ .

Câu 2 :

Cho $A = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ . Khi đó

A

$A = 2$
B

$A = 3$
C

$A > 4$
D

$A = 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Phân tích tử số thành nhân tử.

- Xác định nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có $A = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 2$.

Chú ý

Một số em có thể bỏ qua hệ số $2$ khi làm bài dẫn đến sai đáp án.

Câu 3 :

Cho ba phân thức $\dfrac{1}{{xy}},\dfrac{1}{{yz}},\dfrac{3}{{xz}}$.Chọn khẳng định đúng.

A

$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{3}{{xyz}}$.
B

$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$.
C

$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{1}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$.
D

$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{1}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

* Tìm mẫu chung

+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử

+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

* Tìm nhân tử phụ mỗi phân thức: Lấy mẫu chung chia cho từng mẫu (đã phân tích thành nhân tử).

* Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải chi tiết :

Mẫu chung các phân thức $\dfrac{1}{{xy}},\dfrac{1}{{yz}},\dfrac{3}{{xz}}$ là $xyz$ .

Nên ta có $\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$

Chú ý

Một số em có thể sai do không nhân thêm nhân tử phụ với cả tử và mẫu, do đó sai đáp án.

Câu 4 :

Cho các phân thức $\dfrac{{11x}}{{3x - 3}};\,\dfrac{5}{{4 - 4x}};\dfrac{{2x}}{{{x^2} - 1}}$ .

Bạn Nam nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là $6\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2}$ .

Bạn Minh nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là $4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)$

Chọn câu đúng.

A

Bạn Nam đúng, bạn Minh sai.
B

Bạn Nam sai, bạn Minh đúng.
C

Hai bạn đều sai.
D

Hai bạn đều đúng.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

* Tìm mẫu chung

+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử

+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{11x}}{{3x - 3}} = \dfrac{{11x}}{{3\left( {x - 1} \right)}};\,\dfrac{5}{{4 - 4x}} = \dfrac{{ - 5}}{{4\left( {x - 1} \right)}};\dfrac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

Ta có BCNN$\left( {3;4} \right) = 12$ nên mẫu chung của các phân thức trên là $12\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 12\left( {{x^2} - 1} \right)$ .

Do đó cả hai bạn đều sai.

Chú ý

Một số em sai do không xác định hoặc xác định sai BCNN của phần hệ số.

Câu 5 :

Với $B \ne 0$, kết quả của phép cộng $\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B}$ là

A

$\dfrac{{A.C}}{B}$
B

$\dfrac{{A + C}}{B}$
C

$\dfrac{{A + C}}{{{B^2}}}$
D

$\dfrac{{A + C}}{{2B}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu.

Lời giải chi tiết :

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

$\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B} = \dfrac{{A + C}}{B}\,\,\left( {B \ne 0} \right)$

Chú ý

Một số em có thể sai do cộng tử với tử và cộng mẫu với mẫu.

Câu 6 :

Thực hiện phép tính $\dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} - \dfrac{{2{a^2}}}{{1 - {a^2}}}$ ta được kết quả gọn nhất là

A

$\dfrac{{2a}}{{a - 1}}$ .
B

$\dfrac{{2{a^2} + 2a}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}$.
C

$\dfrac{{2a}}{{a + 1}}$.
D

$ - \dfrac{{2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Quy đồng mẫu thức. ( dùng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$ )

Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữ nguyên.

Bước 3: Phân tích tử số thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể).

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} - \dfrac{{2{a^2}}}{{1 - {a^2}}}$$ = \dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} + \dfrac{{2{a^2}}}{{{a^2} - 1}} = \dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} + \dfrac{{2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}$

$ = \dfrac{{a\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} - \dfrac{{a\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} + \dfrac{{2{a^2}}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}$ $ = \dfrac{{{a^2} - a - {a^2} - a + 2{a^2}}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} = \dfrac{{2{a^2} - 2a}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}$

$ = \dfrac{{2a\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} = \dfrac{{2a}}{{a + 1}}$ .

Chú ý

Một số em đổi dấu sai khi tìm mẫu chung dấn đến sai đáp án. Chẳng hạn lỗi $\dfrac{{2{a^2}}}{{1 - {a^2}}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{{a^2} - 1}}$ .

Câu 7 :

Chọn câu sai.

A

$\dfrac{A}{B}.\dfrac{B}{A} = 1$.
B

$\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}$.
C

$\dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D}.\dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{E}{F}.\left( {\dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}} \right)$.
D

$\dfrac{A}{B}\left( {\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}$.

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Hai phân thức gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của nó bằng $1$ .

Nên $\dfrac{A}{B}.\dfrac{B}{A} = 1$, do đó A đúng.

Tính chất phép nhân phân thức

+ Giao hoán: $\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}$ nên B đúng.

+ Kết hợp: $\left( {\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}} \right).\dfrac{E}{F} = \dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D}.\dfrac{E}{F}} \right)$ nên C đúng

+ Phân phối đối với phép cộng: $\dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} + \dfrac{A}{B}.\dfrac{E}{F}$ nên D sai.

Cho phân thức $\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}$

Câu 8

Tìm điều kiện của $x$ để phân thức xác định.

A.

$x = 2$.
B.

$x \ne 2$.
C.

$x > 2$.
D.

$x < 2$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phân thức $\dfrac{A}{B}$ xác định khi $B \ne 0$ .

Lời giải chi tiết :

Phân thức $\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}$ xác định khi $x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2$ .

Câu 9

Tính giá trị biểu thức khi $x = 2020$ .

A.

$2018$.
B.

$2022$.
C.

$2016$.
D.

$2024$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Rút gọn biểu thức

Bước 2: Thay $x = 2020$ vào biểu thức rồi tính.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}$$ = \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x - 2}} = x - 2$

Thay $x = 2020$ (thỏa mãn điều kiện $x \ne 2$ ) vào biểu thức $x - 2$ ta được $2020 - 2 = 2018$ .

Vậy với $x = 2020$ thì giá trị biểu thức là $2018$ .

Câu 10 :

Thực hiện phép tính sau: $\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}}$

A

$ - x$
B

$2x$
C

$\dfrac{x}{2}$
D

$x$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc cộng các phân thức cùng mẫu thức: $\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B} = \dfrac{{A + C}}{B}\,\,\left( {B \ne 0} \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{{x^3} + x}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{x({x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}} = x.$

Câu 11 :

Kết quả của bài toán $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x(x + 1)}} + ... + \dfrac{1}{{(x + 9)(x + 10)}}$ là:

A

$\dfrac{{x + 20}}{{x(x + 10)}}$
B

$\dfrac{{x + 9}}{{x + 10}}$
C

$\dfrac{1}{{x + 10}}$
D

$\dfrac{1}{{x(x + 1)...(x + 10)}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức $\dfrac{1}{{x(x + 1)}} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}$; cộng 2 phân thức khác mẫu:

Lời giải chi tiết :

Ta có : $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x(x + 1)}} + ... + \dfrac{1}{{(x + 9)(x + 10)}}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 2}}... + \dfrac{1}{{x + 9}} - \dfrac{1}{{x + 10}}\\ = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + 0 + ... + 0 - \dfrac{1}{{x + 10}}\\ = \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{{x + 10}}\\ = \dfrac{{2x + 20 - x}}{{x(x + 10)}} = \dfrac{{x + 20}}{{x(x + 10)}}.\end{array}$

Câu 12 :

Cho $x;y;z$ khác $ \pm 1$ và $xy + yz + xz = 1.$ Chọn câu đúng.

A

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$
B

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{3xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$
C

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$
D

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{xyz\left( {x + y + z} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Quy đồng mẫu thức

+ Cộng trừ các phân thức cùng mẫu

+ Nhóm các hạng tử để sử dụng được điều kiện $xy + yz + xz = 1.$

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}}$

$ = \dfrac{{x\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) + y\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) + z\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

$ = \dfrac{{x\left( {1 - {z^2} - {y^2} + {z^2}{y^2}} \right) + y\left( {1 - {x^2} - {z^2} + {x^2}{z^2}} \right) + z\left( {1 - {x^2} - {y^2} + {x^2}{y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

$ = \dfrac{{x - x{z^2} - x{y^2} + x{y^2}{z^2} + y - y{x^2} - y{z^2} + y{z^2}{x^2} + z - z{x^2} - z{y^2} + z{x^2}{y^2}}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

$ = \dfrac{{\left( {x - y{x^2} - x{z^2}} \right) + \left( {y - x{y^2} - z{y^2}} \right) + \left( {z - x{z^2} - y{z^2}} \right) + \left( {x{y^2}{z^2} + y{z^2}{x^2} + z{x^2}{y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

$ = \dfrac{{x\left( {1 - xy - xz} \right) + y\left( {1 - xy - yz} \right) + z\left( {1 - xz - zy} \right) + xyz\left( {yz + xz + xy} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

$ = \dfrac{{x.yz + y.xz + z.xy + xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {x^2}} \right)}}$

$ = \dfrac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

Câu 13 :

Với điều kiện nào của $x$ thì hai phân thức $\dfrac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}}$ và $\dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}$ bằng nhau.

A

$x = 2$
B

$x \ne 1$
C

$x = - 2$
D

$x = - 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: $B \ne 0$

Bước 2: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ nếu $A.D = B.C$. Từ đó tìm được $x$.

Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x + 1 \ne 0\\{x^3} - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ne 0\left( {ld} \right)\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 1$ .

Ta có: $\dfrac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}$$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2\left( {x - 1} \right):\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right):\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} \Leftrightarrow - 2 = 2x + 2 \Leftrightarrow 2x = - 4 \Leftrightarrow x = - 2\left( {tm} \right)$

Nên hai phân thức trên bằng nhau khi $x = - 2$.

Cho $Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}$.

Câu 14

Rút gọn $Q$ ta được:

A.

$Q = \dfrac{{x + 1}}{3}$
B.

$Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{ - 3}}$
C.

$Q = \dfrac{{{x^2} - 1}}{3}$
D.

$Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+) Tìm ĐKXĐ của biểu thức.

+) Sử dụng các bước biến đổi phân thức đã được học để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết :

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}3x + {\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0\\{x^3} - 1 \ne 0\\{x^3} + x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 0\end{array} \right..$

$Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}$

$= \left[ {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{3x + {x^2} - 2x + 1}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}$

$ = \left[ {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + x + 1}} + \dfrac{{2{x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right].\dfrac{{x({x^2} + 1)}}{{3x}}$

$ = \dfrac{{{{(x - 1)}^3} + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}$$ = \dfrac{{{x^3} - 3x{}^2 + 3x - 1 + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}$$ = \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3} = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}$

Vậy $Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}$ với $x \ne \pm 1;x \ne 0$.

Câu 15

Giá trị nhỏ nhất của $Q$ với $x \ge 2$ là:

A.

$\dfrac{4}{3}$
B.

$\dfrac{1}{2}$
C.

$\dfrac{5}{3}$
D.

$1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kết quả câu trước.

Đánh giá ${A^2} + m \ge m,\,\forall A$ , dấu “=” xảy ra khi $A = 0.$

Lời giải chi tiết :

Ta có: Q = $\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}$ với $x \ne 0;x \ne \pm 1$.

Ta có: ${x^2} \ge 4\,\,\forall x \ge 2 \Rightarrow {x^2} + 1 \ge 5\,\,\forall x \ge 2$$ \Rightarrow \dfrac{{{x^2} + 1}}{3} \ge \dfrac{5}{3} \,\,\forall x \ge 2$.

Dấu “=” xảy ra khi $x = 2\left( {tm} \right)$.

Vậy $Min\,\,Q = \dfrac{5}{3} \Leftrightarrow x = 2$.

Câu 16 :

Thực hiện phép tính $\dfrac{{3x + 12}}{{4x - 16}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{8 - 2x}}{{x + 4}}$ ta được:

A

$\dfrac{3}{2}$
B

$\dfrac{3}{{2(x - 4)}}$
C

$\dfrac{{ - 3}}{2}$
D

$\dfrac{{ - 3}}{{2(x - 4)}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Thực hiện phép nhân phân thức: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau.

Bước 2: Rút gọn phân thức thu được.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\dfrac{{3x + 12}}{{4x - 16}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{8 - 2x}}{{x + 4}} = \dfrac{{3(x + 4)}}{{4(x - 4)}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2(4 - x)}}{{x + 4}} = \dfrac{{3(x + 4)}}{{4(x - 4)}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{ - 2(x - 4)}}{{x + 4}} = \dfrac{{ - 3}}{2}.$.

Chú ý

Một số em đổi dấu sai ở bước cuối dẫn đến chọn sai đáp án.

Câu 17 :

Phép tính $3{x^3}{y^5}.\left( { - \dfrac{{7z}}{{9x{y^6}}}} \right)$ có kết quả là:

A

$\dfrac{{ - 7{x^2}z}}{{3y}}$
B

$\dfrac{{7{x^2}z}}{3}$
C

$\dfrac{{ - 7xz}}{{3y}}$
D

$\dfrac{{ - 7{x^2}}}{{3y}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Thực hiện phép nhân phân thức: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau.

Bước 2: Rút gọn phân thức thu được.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $3{x^3}{y^5}.\left( { - \dfrac{{7z}}{{9x{y^6}}}} \right)$$ = \dfrac{{3{x^3}{y^5}.\left( { - 7z} \right)}}{{9x{y^6}}} = \dfrac{{ - 7{x^2}z}}{{3y}}$.

Câu 18 :

A

$6x;{x^2} + 4$
B

$x;5\left( {{x^2} + 4} \right)$
C

$6x;5\left( {{x^2} + 4} \right)$
D

$3x;{x^2} + 4$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.

Bước 2: Thực hiện phép nhân hai phân thức và rút gọn phân thức thu được.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5{x^3} + 5}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^3} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}$

$ = \dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5({x^3} + 1)}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3({x^3} + 1)}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \dfrac{{6x}}{{5({x^2} + 4)}}.$

Vậy các đa thức thích hợp điền vào chỗ trống ở tử và mẫu lần lượt là $6x;5\left( {{x^2} + 4} \right)$.

Câu 19 :

Biểu thức $P = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\,:\,\,\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{x - 2}}{{4 - {x^2}}}$ có kết quả rút gọn là:

A

$\dfrac{1}{{2 - x}}$
B

$\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}$
C

$\dfrac{{x + 2}}{{2 - x}}$
D

$\dfrac{1}{{x - 2}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.

Bước 2: Thực hiện phép nhân và chia hai phân thức và rút gọn phân thức thu được.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $P = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\,:\,\,\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{x - 2}}{{4 - {x^2}}} = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{ - \left( {2 - x} \right)}}{{(x + 2)(2 - x)}} = \dfrac{{ - 1}}{{2 - x}} = \dfrac{1}{{x - 2}}$.

Câu 20 :

Cho $x + y + z \ne 0$ và $x = y + z.$ Chọn đáp án đúng.

A

$\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = xy$
B

$\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = yz$
C

$\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = xyz$
D

$\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = 1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + ac + bc} \right)$.

Sử dụng phép chia hai phân thức $\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C}\,\left( {C,D \ne 0} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}$

$ = \dfrac{{{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} + 2\left( {x{y^2}z + {z^2}yz + {y^2}zx} \right) - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}.\dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}$

$ = \dfrac{{2xyz\left( {x + y + z} \right)}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}} = \dfrac{{2xyz}}{{\left( {x + y + z} \right)}} = \dfrac{{2xyz}}{{2x}} = yz$ (vì $x = y + z$)

Câu 21 :

A

$ - 1$
B

$1$
C

$2$
D

$ - 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Rút gọn $B$ bằng cách sử dụng giả thiết để biến đổi tử thức sao cho xuất hiện nhân tử ${a^2}{b^2}{c^2}$.

Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {x \pm y} \right)^2} = {x^2} \pm 2xy + {y^2}$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $a + b = c \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = {c^2} \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} = {c^2}$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {c^2} = - 2ab$

$a + b = c \Leftrightarrow a - c = - b \Leftrightarrow {\left( {a - c} \right)^2} = {\left( { - b} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow {a^2} - 2ac + {c^2} = {b^2} \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - {b^2} = 2ac$

$a + b = c \Leftrightarrow c - b = a \Leftrightarrow {\left( {c - b} \right)^2} = {a^2}$ $ \Leftrightarrow {c^2} - 2bc + {b^2} = {a^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc$

Từ đó $B = \dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}}$$ = \dfrac{{ - 2ab.2bc.2ac}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}} = \dfrac{{ - 8{a^2}{b^2}{c^2}}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}} = - 1$.

Câu 22 :

Biểu thức $M = \dfrac{{{x^2} + 5x + 5}}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}$ đạt giá trị lớn nhất là:

A

$\dfrac{5}{4}$
B

$1$
C

$\dfrac{4}{5}$
D

$2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Tìm điều kiện xác định.

+ Biến đổi $M$ để sử dụng kiến thức $m - {\left( {A - B} \right)^2} \le m\,\,$ với mọi $A,B$. Dấu “=” xảy ra khi $A = B$.

Lời giải chi tiết :

Với ${x^2} + 4x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2$. Ta có:

$M = \dfrac{{{x^2} + 5x + 5}}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}$$ = \dfrac{{{x^2} + 4x + 4 + x + 1}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \dfrac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}} + \dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$ $ = 1 + \dfrac{{x + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$

$ = 1 + \dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = - \left[ {\dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{4}} \right] + \dfrac{5}{4}$ $ = \dfrac{5}{4} - {\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$

Ta có: ${\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \ne - 2$. Suy ra $\dfrac{5}{4} - {\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le \dfrac{5}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x + 2 = 2 \Leftrightarrow x = 0\,\,\left( {TM} \right)$.

Nên GTLN của $Q$ là $\dfrac{5}{4} \Leftrightarrow x = 0$.

Câu 23 :

Chọn câu đúng.

A

$\dfrac{{{x^2} - 3xy}}{{21{y^2} - 7xy}} = \dfrac{x}{{7y}}$
B

$\dfrac{{2x + 4}}{{{x^2} - x - 6}} = \dfrac{4}{{x - 3}}$
C

$\dfrac{{2x - 6y}}{{{x^2} - 9{y^2}}} = \dfrac{2}{{x + 9y}}$
D

$\dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3} - 4x}} = \dfrac{1}{{x + 2}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử.

- Xác định nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

+ $\dfrac{{{x^2} - 3xy}}{{21{y^2} - 7xy}} = \dfrac{{x(x - 3y)}}{{7y(3y - x)}} = \dfrac{{x(x - 3y)}}{{ - 7y(x - 3y)}} = \dfrac{{ - x}}{{7y}}$ nên A sai

+ $\dfrac{{2x + 4}}{{{x^2} - x - 6}} = \dfrac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{{x^2} - 3x + 2x - 6}} = \dfrac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 3} \right)}}$ $ = \dfrac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{2}{{x - 3}}$ nên B sai.

+ $\dfrac{{2x - 6y}}{{{x^2} - 9{y^2}}} = \dfrac{{2\left( {x - 3y} \right)}}{{\left( {x - 3y} \right)\left( {x + 3y} \right)}} = \dfrac{2}{{x + 3y}}$ nên C sai.

+ $\dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3} - 4x}} = \dfrac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {{x^2} - 4} \right)}} = \dfrac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{1}{{x + 2}}$ nên D đúng.

Câu 24 :

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{6{x^2}y}},\dfrac{1}{{{x^2}{y^3}}},\dfrac{1}{{12x{y^4}}}$ là:

A

$12{x^2}{y^3}$
B

$12{x^2}{y^4}$
C

$6{x^3}{y^2}$
D

$12{x^4}y$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm mẫu chung:

+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử.

+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

Các mẫu thức lần lượt là: $6x^2y;x^2y^3;12xy^4$

Ta có phần hệ số của mẫu thức chung là $BCNN(6;12)=12$

Phần biến số là: $x^2y^4$

Suy ra mẫu chung của các phân thức $\dfrac{1}{{6{x^2}y}},\dfrac{1}{{{x^2}{y^3}}},\dfrac{1}{{12x{y^4}}}$ là $12{x^2}{y^4}$.

Câu 25 :

Chọn câu sai.

A

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{{2 - a}}{{3a}};\dfrac{1}{4}$ là $12a$.
B

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{6a}};\dfrac{{4a + 1}}{{18ab}};\dfrac{{10a}}{{9b}}$ là $18ab$.
C

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}};\dfrac{1}{{{x^2} - 1}}$ là $\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)$.
D

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}};\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^4}}};\dfrac{1}{{3x}}$ là $3x{\left( {x - 2y} \right)^4}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm mẫu chung:

+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử.

+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

+ Hai phân thức $\dfrac{{2 - a}}{{3a}};\dfrac{1}{4}$ có mẫu là $3a;4$ nên mẫu thức chung là $12a$, do đó A đúng.

+ Các phân thức $\dfrac{1}{{6a}};\dfrac{{4a + 1}}{{18ab}};\dfrac{{10a}}{{9b}}$ có mẫu là $6a;18ab;9b$ nên mẫu thức chung là $18ab$, do đó B đúng.

+ Các phân thức $\dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}};\dfrac{1}{{{x^2} - 1}}$ có mẫu là ${x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2};{x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).$ Nên mẫu thức chung là $\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 1} \right)$, do đó C sai.

+ Các phân thức $\dfrac{1}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}};\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^4}}};\dfrac{1}{{3x}}$ có mẫu là ${\left( {x - 2y} \right)^2};{\left( {x - 2y} \right)^4};3x$ nên mẫu thức chung là $3x{\left( {x - 2y} \right)^4}$, do đó D đúng.

Chú ý

Một số em có thể sai khi xác định mẫu chung của các phân thức bằng cách nhân tất cả mẫu với nhau dẫn đến sai đáp án. Hoặc bỏ đi phần hệ số, chỉ xét phần biến số.

Bài liên quan