Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 8

Đề kiểm tra 45 phút chương 2: Phân thức đại số - Đề số 1

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Thực hiện phép tính $\dfrac{{3x + 12}}{{4x - 16}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{8 - 2x}}{{x + 4}}$ ta được:

A

$\dfrac{3}{2}$
B

$\dfrac{3}{{2(x - 4)}}$
C

$\dfrac{{ - 3}}{2}$
D

$\dfrac{{ - 3}}{{2(x - 4)}}$

Câu 2 :

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{6{x^2}y}},\dfrac{1}{{{x^2}{y^3}}},\dfrac{1}{{12x{y^4}}}$ là:

A

$12{x^2}{y^3}$
B

$12{x^2}{y^4}$
C

$6{x^3}{y^2}$
D

$12{x^4}y$

Câu 3 :

Cho $A = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ . Khi đó

A

$A = 2$
B

$A = 3$
C

$A > 4$
D

$A = 1$

Câu 4 :

Phép tính $3{x^3}{y^5}.\left( { - \dfrac{{7z}}{{9x{y^6}}}} \right)$ có kết quả là:

A

$\dfrac{{ - 7{x^2}z}}{{3y}}$
B

$\dfrac{{7{x^2}z}}{3}$
C

$\dfrac{{ - 7xz}}{{3y}}$
D

$\dfrac{{ - 7{x^2}}}{{3y}}$

Câu 5 :

Cho ba phân thức $\dfrac{1}{{xy}},\dfrac{1}{{yz}},\dfrac{3}{{xz}}$.Chọn khẳng định đúng.

A

$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{3}{{xyz}}$.
B

$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$.
C

$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{1}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$.
D

$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{1}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$.

Câu 6 :

Với $B \ne 0,\,D \ne 0$ , hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ bằng nhau khi

A

$A.B = C.D$
B

$A.C = B.D$
C

$A.D = B.C$
D

$AC < B.D$

Câu 7 :

Chọn câu sai.

A

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{{2 - a}}{{3a}};\dfrac{1}{4}$ là $12a$.
B

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{6a}};\dfrac{{4a + 1}}{{18ab}};\dfrac{{10a}}{{9b}}$ là $18ab$.
C

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}};\dfrac{1}{{{x^2} - 1}}$ là $\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)$.
D

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}};\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^4}}};\dfrac{1}{{3x}}$ là $3x{\left( {x - 2y} \right)^4}$.

Câu 8 :

Chọn câu đúng.

A

$\dfrac{{{x^2} - 3xy}}{{21{y^2} - 7xy}} = \dfrac{x}{{7y}}$
B

$\dfrac{{2x + 4}}{{{x^2} - x - 6}} = \dfrac{4}{{x - 3}}$
C

$\dfrac{{2x - 6y}}{{{x^2} - 9{y^2}}} = \dfrac{2}{{x + 9y}}$
D

$\dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3} - 4x}} = \dfrac{1}{{x + 2}}$

Câu 9 :

Với $B \ne 0$, kết quả của phép cộng $\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B}$ là

A

$\dfrac{{A.C}}{B}$
B

$\dfrac{{A + C}}{B}$
C

$\dfrac{{A + C}}{{{B^2}}}$
D

$\dfrac{{A + C}}{{2B}}$

Câu 10 :

Thực hiện phép tính sau: $\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}}$

A

$ - x$
B

$2x$
C

$\dfrac{x}{2}$
D

$x$

Câu 11 :

Chọn câu sai.

A

$\dfrac{A}{B}.\dfrac{B}{A} = 1$.
B

$\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}$.
C

$\dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D}.\dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{E}{F}.\left( {\dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}} \right)$.
D

$\dfrac{A}{B}\left( {\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}$.

Câu 12 :

Cho phân thức $\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}$

Câu 12.1

Tìm điều kiện của $x$ để phân thức xác định.

A.

$x = 2$.
B.

$x \ne 2$.
C.

$x > 2$.
D.

$x < 2$.

Câu 12.2

Tính giá trị biểu thức khi $x = 2020$ .

A.

$2018$.
B.

$2022$.
C.

$2016$.
D.

$2024$.

Câu 13 :

Cho $Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}$.

Câu 13.1

Rút gọn $Q$ ta được:

A.

$Q = \dfrac{{x + 1}}{3}$
B.

$Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{ - 3}}$
C.

$Q = \dfrac{{{x^2} - 1}}{3}$
D.

$Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}$

Câu 13.2

Giá trị nhỏ nhất của $Q$ với $x \ge 2$ là:

A.

$\dfrac{4}{3}$
B.

$\dfrac{1}{2}$
C.

$\dfrac{5}{3}$
D.

$1$

Câu 14 :

Với điều kiện nào của $x$ thì hai phân thức $\dfrac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}}$ và $\dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}$ bằng nhau.

A

$x = 2$
B

$x \ne 1$
C

$x = - 2$
D

$x = - 1$

Câu 15 :

Biểu thức $M = \dfrac{{{x^2} + 5x + 5}}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}$ đạt giá trị lớn nhất là:

A

$\dfrac{5}{4}$
B

$1$
C

$\dfrac{4}{5}$
D

$2$

Câu 16 :

Cho các phân thức $\dfrac{{11x}}{{3x - 3}};\,\dfrac{5}{{4 - 4x}};\dfrac{{2x}}{{{x^2} - 1}}$ .

Bạn Nam nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là $6\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2}$ .

Bạn Minh nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là $4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)$

Chọn câu đúng.

A

Bạn Nam đúng, bạn Minh sai.
B

Bạn Nam sai, bạn Minh đúng.
C

Hai bạn đều sai.
D

Hai bạn đều đúng.

Câu 17 :

Thực hiện phép tính $\dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} - \dfrac{{2{a^2}}}{{1 - {a^2}}}$ ta được kết quả gọn nhất là

A

$\dfrac{{2a}}{{a - 1}}$ .
B

$\dfrac{{2{a^2} + 2a}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}$.
C

$\dfrac{{2a}}{{a + 1}}$.
D

$ - \dfrac{{2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}$.

Câu 18 :

Kết quả của bài toán $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x(x + 1)}} + ... + \dfrac{1}{{(x + 9)(x + 10)}}$ là:

A

$\dfrac{{x + 20}}{{x(x + 10)}}$
B

$\dfrac{{x + 9}}{{x + 10}}$
C

$\dfrac{1}{{x + 10}}$
D

$\dfrac{1}{{x(x + 1)...(x + 10)}}$

Câu 19 :

Biểu thức $P = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\,:\,\,\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{x - 2}}{{4 - {x^2}}}$ có kết quả rút gọn là:

A

$\dfrac{1}{{2 - x}}$
B

$\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}$
C

$\dfrac{{x + 2}}{{2 - x}}$
D

$\dfrac{1}{{x - 2}}$

Câu 20 :

Biết $\dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5{x^3} + 5}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^3} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \dfrac{{...}}{{...}}$. Đa thức thích hợp điền vào chỗ trống ở tử và mẫu lần lượt là:;

A

$6x;{x^2} + 4$
B

$x;5\left( {{x^2} + 4} \right)$
C

$6x;5\left( {{x^2} + 4} \right)$
D

$3x;{x^2} + 4$

Câu 21 :

Cho $x;y;z$ khác $ \pm 1$ và $xy + yz + xz = 1.$ Chọn câu đúng.

A

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$
B

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{3xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$
C

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$
D

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{xyz\left( {x + y + z} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

Câu 22 :

Cho $abc \ne 0;\,a + b = c.$ Tính giá trị của biểu thức $B = \dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}}$.

A

$ - 1$
B

$1$
C

$2$
D

$ - 2$

Câu 23 :

Cho $x + y + z \ne 0$ và $x = y + z.$ Chọn đáp án đúng.

A

$\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = xy$
B

$\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = yz$
C

$\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = xyz$
D

$\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = 1$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Thực hiện phép tính $\dfrac{{3x + 12}}{{4x - 16}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{8 - 2x}}{{x + 4}}$ ta được:

A

$\dfrac{3}{2}$
B

$\dfrac{3}{{2(x - 4)}}$
C

$\dfrac{{ - 3}}{2}$
D

$\dfrac{{ - 3}}{{2(x - 4)}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Thực hiện phép nhân phân thức: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau.

Bước 2: Rút gọn phân thức thu được.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\dfrac{{3x + 12}}{{4x - 16}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{8 - 2x}}{{x + 4}} = \dfrac{{3(x + 4)}}{{4(x - 4)}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2(4 - x)}}{{x + 4}} = \dfrac{{3(x + 4)}}{{4(x - 4)}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{ - 2(x - 4)}}{{x + 4}} = \dfrac{{ - 3}}{2}.$.

Câu 2 :

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{6{x^2}y}},\dfrac{1}{{{x^2}{y^3}}},\dfrac{1}{{12x{y^4}}}$ là:

A

$12{x^2}{y^3}$
B

$12{x^2}{y^4}$
C

$6{x^3}{y^2}$
D

$12{x^4}y$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm mẫu chung:

+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử.

+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

Các mẫu thức lần lượt là: $6x^2y;x^2y^3;12xy^4$

Ta có phần hệ số của mẫu thức chung là $BCNN(6;12)=12$

Phần biến số là: $x^2y^4$

Suy ra mẫu chung của các phân thức $\dfrac{1}{{6{x^2}y}},\dfrac{1}{{{x^2}{y^3}}},\dfrac{1}{{12x{y^4}}}$ là $12{x^2}{y^4}$.

Câu 3 :

Cho $A = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ . Khi đó

A

$A = 2$
B

$A = 3$
C

$A > 4$
D

$A = 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Phân tích tử số thành nhân tử.

- Xác định nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có $A = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 2$.

Câu 4 :

Phép tính $3{x^3}{y^5}.\left( { - \dfrac{{7z}}{{9x{y^6}}}} \right)$ có kết quả là:

A

$\dfrac{{ - 7{x^2}z}}{{3y}}$
B

$\dfrac{{7{x^2}z}}{3}$
C

$\dfrac{{ - 7xz}}{{3y}}$
D

$\dfrac{{ - 7{x^2}}}{{3y}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Thực hiện phép nhân phân thức: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau.

Bước 2: Rút gọn phân thức thu được.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $3{x^3}{y^5}.\left( { - \dfrac{{7z}}{{9x{y^6}}}} \right)$$ = \dfrac{{3{x^3}{y^5}.\left( { - 7z} \right)}}{{9x{y^6}}} = \dfrac{{ - 7{x^2}z}}{{3y}}$.

Câu 5 :

Cho ba phân thức $\dfrac{1}{{xy}},\dfrac{1}{{yz}},\dfrac{3}{{xz}}$.Chọn khẳng định đúng.

A

$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{3}{{xyz}}$.
B

$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$.
C

$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{1}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$.
D

$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{1}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

* Tìm mẫu chung

+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử

+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

* Tìm nhân tử phụ mỗi phân thức: Lấy mẫu chung chia cho từng mẫu (đã phân tích thành nhân tử).

* Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải chi tiết :

Mẫu chung các phân thức $\dfrac{1}{{xy}},\dfrac{1}{{yz}},\dfrac{3}{{xz}}$ là $xyz$ .

Nên ta có $\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$

Câu 6 :

Với $B \ne 0,\,D \ne 0$ , hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ bằng nhau khi

A

$A.B = C.D$
B

$A.C = B.D$
C

$A.D = B.C$
D

$AC < B.D$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Với hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$, ta nói $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ nếu $A.D = B.C$ .

Câu 7 :

Chọn câu sai.

A

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{{2 - a}}{{3a}};\dfrac{1}{4}$ là $12a$.
B

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{6a}};\dfrac{{4a + 1}}{{18ab}};\dfrac{{10a}}{{9b}}$ là $18ab$.
C

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}};\dfrac{1}{{{x^2} - 1}}$ là $\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)$.
D

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}};\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^4}}};\dfrac{1}{{3x}}$ là $3x{\left( {x - 2y} \right)^4}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm mẫu chung:

+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử.

+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

+ Hai phân thức $\dfrac{{2 - a}}{{3a}};\dfrac{1}{4}$ có mẫu là $3a;4$ nên mẫu thức chung là $12a$, do đó A đúng.

+ Các phân thức $\dfrac{1}{{6a}};\dfrac{{4a + 1}}{{18ab}};\dfrac{{10a}}{{9b}}$ có mẫu là $6a;18ab;9b$ nên mẫu thức chung là $18ab$, do đó B đúng.

+ Các phân thức $\dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}};\dfrac{1}{{{x^2} - 1}}$ có mẫu là ${x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2};{x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).$ Nên mẫu thức chung là $\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 1} \right)$, do đó C sai.

+ Các phân thức $\dfrac{1}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}};\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^4}}};\dfrac{1}{{3x}}$ có mẫu là ${\left( {x - 2y} \right)^2};{\left( {x - 2y} \right)^4};3x$ nên mẫu thức chung là $3x{\left( {x - 2y} \right)^4}$, do đó D đúng.

Câu 8 :

Chọn câu đúng.

A

$\dfrac{{{x^2} - 3xy}}{{21{y^2} - 7xy}} = \dfrac{x}{{7y}}$
B

$\dfrac{{2x + 4}}{{{x^2} - x - 6}} = \dfrac{4}{{x - 3}}$
C

$\dfrac{{2x - 6y}}{{{x^2} - 9{y^2}}} = \dfrac{2}{{x + 9y}}$
D

$\dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3} - 4x}} = \dfrac{1}{{x + 2}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử.

- Xác định nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

+ $\dfrac{{{x^2} - 3xy}}{{21{y^2} - 7xy}} = \dfrac{{x(x - 3y)}}{{7y(3y - x)}} = \dfrac{{x(x - 3y)}}{{ - 7y(x - 3y)}} = \dfrac{{ - x}}{{7y}}$ nên A sai

+ $\dfrac{{2x + 4}}{{{x^2} - x - 6}} = \dfrac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{{x^2} - 3x + 2x - 6}} = \dfrac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 3} \right)}}$ $ = \dfrac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{2}{{x - 3}}$ nên B sai.

+ $\dfrac{{2x - 6y}}{{{x^2} - 9{y^2}}} = \dfrac{{2\left( {x - 3y} \right)}}{{\left( {x - 3y} \right)\left( {x + 3y} \right)}} = \dfrac{2}{{x + 3y}}$ nên C sai.

+ $\dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3} - 4x}} = \dfrac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {{x^2} - 4} \right)}} = \dfrac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{1}{{x + 2}}$ nên D đúng.

Câu 9 :

Với $B \ne 0$, kết quả của phép cộng $\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B}$ là

A

$\dfrac{{A.C}}{B}$
B

$\dfrac{{A + C}}{B}$
C

$\dfrac{{A + C}}{{{B^2}}}$
D

$\dfrac{{A + C}}{{2B}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu.

Lời giải chi tiết :

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

$\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B} = \dfrac{{A + C}}{B}\,\,\left( {B \ne 0} \right)$

Câu 10 :

Thực hiện phép tính sau: $\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}}$

A

$ - x$
B

$2x$
C

$\dfrac{x}{2}$
D

$x$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc cộng các phân thức cùng mẫu thức: $\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B} = \dfrac{{A + C}}{B}\,\,\left( {B \ne 0} \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{{x^3} + x}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{x({x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}} = x.$

Câu 11 :

Chọn câu sai.

A

$\dfrac{A}{B}.\dfrac{B}{A} = 1$.
B

$\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}$.
C

$\dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D}.\dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{E}{F}.\left( {\dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}} \right)$.
D

$\dfrac{A}{B}\left( {\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}$.

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Hai phân thức gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của nó bằng $1$ .

Nên $\dfrac{A}{B}.\dfrac{B}{A} = 1$, do đó A đúng.

Tính chất phép nhân phân thức

+ Giao hoán: $\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}$ nên B đúng.

+ Kết hợp: $\left( {\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}} \right).\dfrac{E}{F} = \dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D}.\dfrac{E}{F}} \right)$ nên C đúng

+ Phân phối đối với phép cộng: $\dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} + \dfrac{A}{B}.\dfrac{E}{F}$ nên D sai.

Câu 12 :

Cho phân thức $\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}$

Câu 12.1

Tìm điều kiện của $x$ để phân thức xác định.

A.

$x = 2$.
B.

$x \ne 2$.
C.

$x > 2$.
D.

$x < 2$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phân thức $\dfrac{A}{B}$ xác định khi $B \ne 0$ .

Lời giải chi tiết :

Phân thức $\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}$ xác định khi $x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2$ .

Câu 12.2

Tính giá trị biểu thức khi $x = 2020$ .

A.

$2018$.
B.

$2022$.
C.

$2016$.
D.

$2024$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Rút gọn biểu thức

Bước 2: Thay $x = 2020$ vào biểu thức rồi tính.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}$$ = \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x - 2}} = x - 2$

Thay $x = 2020$ (thỏa mãn điều kiện $x \ne 2$ ) vào biểu thức $x - 2$ ta được $2020 - 2 = 2018$ .

Vậy với $x = 2020$ thì giá trị biểu thức là $2018$ .

Câu 13 :

Cho $Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}$.

Câu 13.1

Rút gọn $Q$ ta được:

A.

$Q = \dfrac{{x + 1}}{3}$
B.

$Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{ - 3}}$
C.

$Q = \dfrac{{{x^2} - 1}}{3}$
D.

$Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+) Tìm ĐKXĐ của biểu thức.

+) Sử dụng các bước biến đổi phân thức đã được học để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết :

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}3x + {\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0\\{x^3} - 1 \ne 0\\{x^3} + x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 0\end{array} \right..$

$Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}$

$= \left[ {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{3x + {x^2} - 2x + 1}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}$

$ = \left[ {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + x + 1}} + \dfrac{{2{x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right].\dfrac{{x({x^2} + 1)}}{{3x}}$

$ = \dfrac{{{{(x - 1)}^3} + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}$$ = \dfrac{{{x^3} - 3x{}^2 + 3x - 1 + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}$$ = \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3} = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}$

Vậy $Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}$ với $x \ne \pm 1;x \ne 0$.

Câu 13.2

Giá trị nhỏ nhất của $Q$ với $x \ge 2$ là:

A.

$\dfrac{4}{3}$
B.

$\dfrac{1}{2}$
C.

$\dfrac{5}{3}$
D.

$1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kết quả câu trước.

Đánh giá ${A^2} + m \ge m,\,\forall A$ , dấu “=” xảy ra khi $A = 0.$

Lời giải chi tiết :

Ta có: Q = $\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}$ với $x \ne 0;x \ne \pm 1$.

Ta có: ${x^2} \ge 4\,\,\forall x \ge 2 \Rightarrow {x^2} + 1 \ge 5\,\,\forall x \ge 2$$ \Rightarrow \dfrac{{{x^2} + 1}}{3} \ge \dfrac{5}{3} \,\,\forall x \ge 2$.

Dấu “=” xảy ra khi $x = 2\left( {tm} \right)$.

Vậy $Min\,\,Q = \dfrac{5}{3} \Leftrightarrow x = 2$.

Câu 14 :

Với điều kiện nào của $x$ thì hai phân thức $\dfrac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}}$ và $\dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}$ bằng nhau.

A

$x = 2$
B

$x \ne 1$
C

$x = - 2$
D

$x = - 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: $B \ne 0$

Bước 2: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ nếu $A.D = B.C$. Từ đó tìm được $x$.

Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x + 1 \ne 0\\{x^3} - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ne 0\left( {ld} \right)\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 1$ .

Ta có: $\dfrac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}$$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2\left( {x - 1} \right):\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right):\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} \Leftrightarrow - 2 = 2x + 2 \Leftrightarrow 2x = - 4 \Leftrightarrow x = - 2\left( {tm} \right)$

Nên hai phân thức trên bằng nhau khi $x = - 2$.

Câu 15 :

Biểu thức $M = \dfrac{{{x^2} + 5x + 5}}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}$ đạt giá trị lớn nhất là:

A

$\dfrac{5}{4}$
B

$1$
C

$\dfrac{4}{5}$
D

$2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Tìm điều kiện xác định.

+ Biến đổi $M$ để sử dụng kiến thức $m - {\left( {A - B} \right)^2} \le m\,\,$ với mọi $A,B$. Dấu “=” xảy ra khi $A = B$.

Lời giải chi tiết :

Với ${x^2} + 4x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2$. Ta có:

$M = \dfrac{{{x^2} + 5x + 5}}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}$$ = \dfrac{{{x^2} + 4x + 4 + x + 1}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \dfrac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}} + \dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$ $ = 1 + \dfrac{{x + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$

$ = 1 + \dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = - \left[ {\dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{4}} \right] + \dfrac{5}{4}$ $ = \dfrac{5}{4} - {\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$

Ta có: ${\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \ne - 2$. Suy ra $\dfrac{5}{4} - {\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le \dfrac{5}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x + 2 = 2 \Leftrightarrow x = 0\,\,\left( {TM} \right)$.

Nên GTLN của $Q$ là $\dfrac{5}{4} \Leftrightarrow x = 0$.

Câu 16 :

Cho các phân thức $\dfrac{{11x}}{{3x - 3}};\,\dfrac{5}{{4 - 4x}};\dfrac{{2x}}{{{x^2} - 1}}$ .

Bạn Nam nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là $6\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2}$ .

Bạn Minh nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là $4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)$

Chọn câu đúng.

A

Bạn Nam đúng, bạn Minh sai.
B

Bạn Nam sai, bạn Minh đúng.
C

Hai bạn đều sai.
D

Hai bạn đều đúng.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

* Tìm mẫu chung

+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử

+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{11x}}{{3x - 3}} = \dfrac{{11x}}{{3\left( {x - 1} \right)}};\,\dfrac{5}{{4 - 4x}} = \dfrac{{ - 5}}{{4\left( {x - 1} \right)}};\dfrac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

Ta có BCNN$\left( {3;4} \right) = 12$ nên mẫu chung của các phân thức trên là $12\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 12\left( {{x^2} - 1} \right)$ .

Do đó cả hai bạn đều sai.

Câu 17 :

Thực hiện phép tính $\dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} - \dfrac{{2{a^2}}}{{1 - {a^2}}}$ ta được kết quả gọn nhất là

A

$\dfrac{{2a}}{{a - 1}}$ .
B

$\dfrac{{2{a^2} + 2a}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}$.
C

$\dfrac{{2a}}{{a + 1}}$.
D

$ - \dfrac{{2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Quy đồng mẫu thức. ( dùng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$ )

Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữ nguyên.

Bước 3: Phân tích tử số thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể).

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} - \dfrac{{2{a^2}}}{{1 - {a^2}}}$$ = \dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} + \dfrac{{2{a^2}}}{{{a^2} - 1}} = \dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} + \dfrac{{2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}$

$ = \dfrac{{a\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} - \dfrac{{a\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} + \dfrac{{2{a^2}}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}$ $ = \dfrac{{{a^2} - a - {a^2} - a + 2{a^2}}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} = \dfrac{{2{a^2} - 2a}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}$

$ = \dfrac{{2a\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} = \dfrac{{2a}}{{a + 1}}$ .

Câu 18 :

Kết quả của bài toán $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x(x + 1)}} + ... + \dfrac{1}{{(x + 9)(x + 10)}}$ là:

A

$\dfrac{{x + 20}}{{x(x + 10)}}$
B

$\dfrac{{x + 9}}{{x + 10}}$
C

$\dfrac{1}{{x + 10}}$
D

$\dfrac{1}{{x(x + 1)...(x + 10)}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức $\dfrac{1}{{x(x + 1)}} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}$; cộng 2 phân thức khác mẫu:

Lời giải chi tiết :

Ta có : $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x(x + 1)}} + ... + \dfrac{1}{{(x + 9)(x + 10)}}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 2}}... + \dfrac{1}{{x + 9}} - \dfrac{1}{{x + 10}}\\ = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + 0 + ... + 0 - \dfrac{1}{{x + 10}}\\ = \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{{x + 10}}\\ = \dfrac{{2x + 20 - x}}{{x(x + 10)}} = \dfrac{{x + 20}}{{x(x + 10)}}.\end{array}$

Câu 19 :

Biểu thức $P = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\,:\,\,\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{x - 2}}{{4 - {x^2}}}$ có kết quả rút gọn là:

A

$\dfrac{1}{{2 - x}}$
B

$\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}$
C

$\dfrac{{x + 2}}{{2 - x}}$
D

$\dfrac{1}{{x - 2}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.

Bước 2: Thực hiện phép nhân và chia hai phân thức và rút gọn phân thức thu được.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $P = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\,:\,\,\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{x - 2}}{{4 - {x^2}}} = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{ - \left( {2 - x} \right)}}{{(x + 2)(2 - x)}} = \dfrac{{ - 1}}{{2 - x}} = \dfrac{1}{{x - 2}}$.

Câu 20 :

A

$6x;{x^2} + 4$
B

$x;5\left( {{x^2} + 4} \right)$
C

$6x;5\left( {{x^2} + 4} \right)$
D

$3x;{x^2} + 4$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.

Bước 2: Thực hiện phép nhân hai phân thức và rút gọn phân thức thu được.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5{x^3} + 5}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^3} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}$

$ = \dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5({x^3} + 1)}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3({x^3} + 1)}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \dfrac{{6x}}{{5({x^2} + 4)}}.$

Vậy các đa thức thích hợp điền vào chỗ trống ở tử và mẫu lần lượt là $6x;5\left( {{x^2} + 4} \right)$.

Câu 21 :

Cho $x;y;z$ khác $ \pm 1$ và $xy + yz + xz = 1.$ Chọn câu đúng.

A

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$
B

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{3xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$
C

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$
D

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{xyz\left( {x + y + z} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Quy đồng mẫu thức

+ Cộng trừ các phân thức cùng mẫu

+ Nhóm các hạng tử để sử dụng được điều kiện $xy + yz + xz = 1.$

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}}$

$ = \dfrac{{x\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) + y\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) + z\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

$ = \dfrac{{x\left( {1 - {z^2} - {y^2} + {z^2}{y^2}} \right) + y\left( {1 - {x^2} - {z^2} + {x^2}{z^2}} \right) + z\left( {1 - {x^2} - {y^2} + {x^2}{y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

$ = \dfrac{{x - x{z^2} - x{y^2} + x{y^2}{z^2} + y - y{x^2} - y{z^2} + y{z^2}{x^2} + z - z{x^2} - z{y^2} + z{x^2}{y^2}}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

$ = \dfrac{{\left( {x - y{x^2} - x{z^2}} \right) + \left( {y - x{y^2} - z{y^2}} \right) + \left( {z - x{z^2} - y{z^2}} \right) + \left( {x{y^2}{z^2} + y{z^2}{x^2} + z{x^2}{y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

$ = \dfrac{{x\left( {1 - xy - xz} \right) + y\left( {1 - xy - yz} \right) + z\left( {1 - xz - zy} \right) + xyz\left( {yz + xz + xy} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

$ = \dfrac{{x.yz + y.xz + z.xy + xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {x^2}} \right)}}$

$ = \dfrac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

Câu 22 :

A

$ - 1$
B

$1$
C

$2$
D

$ - 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Rút gọn $B$ bằng cách sử dụng giả thiết để biến đổi tử thức sao cho xuất hiện nhân tử ${a^2}{b^2}{c^2}$.

Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {x \pm y} \right)^2} = {x^2} \pm 2xy + {y^2}$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $a + b = c \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = {c^2} \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} = {c^2}$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {c^2} = - 2ab$

$a + b = c \Leftrightarrow a - c = - b \Leftrightarrow {\left( {a - c} \right)^2} = {\left( { - b} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow {a^2} - 2ac + {c^2} = {b^2} \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - {b^2} = 2ac$

$a + b = c \Leftrightarrow c - b = a \Leftrightarrow {\left( {c - b} \right)^2} = {a^2}$ $ \Leftrightarrow {c^2} - 2bc + {b^2} = {a^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc$

Từ đó $B = \dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}}$$ = \dfrac{{ - 2ab.2bc.2ac}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}} = \dfrac{{ - 8{a^2}{b^2}{c^2}}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}} = - 1$.

Câu 23 :

Cho $x + y + z \ne 0$ và $x = y + z.$ Chọn đáp án đúng.

A

$\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = xy$
B

$\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = yz$
C

$\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = xyz$
D

$\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = 1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + ac + bc} \right)$.

Sử dụng phép chia hai phân thức $\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C}\,\left( {C,D \ne 0} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}$

$ = \dfrac{{{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} + 2\left( {x{y^2}z + {z^2}yz + {y^2}zx} \right) - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}.\dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}$

$ = \dfrac{{2xyz\left( {x + y + z} \right)}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}} = \dfrac{{2xyz}}{{\left( {x + y + z} \right)}} = \dfrac{{2xyz}}{{2x}} = yz$ (vì $x = y + z$)

Bài liên quan