Đề kiểm tra 45 phút chương 2: Hàm số bậc nhất - Đề số 1Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 9 tất cả các môn Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD Đề bài
Câu 1 :
Chọn khẳng định đúng về đồ thị hàm số \(y = ax + b(a \ne 0).\)
Câu 2 :
Cho hai đường thẳng $d:y = x + 3$ và $d':y = - 2x$. Khi đó
Câu 3 :
Cho đường thẳng $d$:$y = ax + b\,\,\left( {a > 0} \right)$. Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia \(Ox\) và \(d.\) Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
Câu 4 :
Cho đường thẳng $d:$ $y = \left( {m + 2} \right)x - 5$ đi qua điểm $A\left( { - 1;2} \right)$. Hệ số góc của đường thẳng $d$ là
Câu 5 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $D$. Với ${x_1},{x_2} \in D;{x_1} < {x_2}$, khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 6 :
Đồ thị hàm số $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$ đi qua điểm nào dưới đây?
Câu 7 :
Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x - 2$. Tính $2.f\left( 3 \right)$
Câu 8 :
Cho hai hàm số $f\left( x \right) = - 2{x^3}$ và $h\left( x \right) = 10 - 3x$. So sánh $f\left( { - 2} \right)$ và $h\left( { - 1} \right)$
Câu 9 :
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3x\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và các điểm \(M\left( {1;1} \right);P\left( { - 1; - 3} \right);Q\left( {3;9} \right);A\left( { - 2;6} \right);O\left( {0;0} \right)\). Có bao nhiêu điểm trong số các điểm trên thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\).
Câu 10 :
Hàm số \(y = \dfrac{1}{2}x + 3\) là hàm số?
Câu 11 :
Cho đường thẳng $d:y = 3x - \dfrac{1}{2}$. Giao điểm của $d$ với trục tung là
Câu 12 :
Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số \(y = - 2x + m + 2\) và \(y = 5x + 5 - 2m\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
Câu 13 :
Gọi \({d_1}\) là đồ thị hàm số \(y = mx + 1\) và \({d_2}\) là đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{2}x - 2.\) Xác định giá trị của $m$ để $M\left( {2; - 1} \right)$ là giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$.
Câu 14 :
Cho hàm số $y = \left( {m + 1} \right)x - 1$ có đồ thị là đường thẳng ${d_1}$ và hàm số $y = x + 1$ có đồ thị là đường thẳng ${d_2}$. Xác định $m$ để hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại một điểm có tung độ $y = 4$.
Câu 15 :
Cho hai đồ thị của hàm số bậc nhất là hai đường thẳng $d:y = \left( {m + 2} \right)x - m$ và $d':y = - 2x - 2m + 1$. Với giá trị nào của $m$ thì $d$ cắt $d'$?
Câu 16 :
Cho đường thẳng \(d:y = (k - 2)x - 1\). Tìm \(k\) để \(d\) cắt 2 trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng \(1\).
Câu 17 :
Viết phương trình đường thẳng \(d\) biết \(d\) vuông góc với đường thẳng \(d':y = \dfrac{1}{5}x + 2\) và đi qua điểm \(M\left( { - 4;2} \right)\).
Câu 18 :
Viết phương trình đường thẳng \(d\) biết \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {3;3} \right);B\left( { - 1;4} \right)\)
Câu 19 :
Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ tạo với đường thẳng $y = 1$ một góc bằng $120^\circ $ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $ - 2$.
Câu 20 :
Tìm hệ số góc của đường thẳng $d:y = (3 - m)x + 2$ biết nó vuông góc với đường thẳng $d':x - 2y - 6 = 0$.
Câu 21 :
Đường thẳng $y = 2(m + 1)x - 5m - 8$ đi qua điểm $A(3; - 5)$ có hệ số góc bằng bao nhiêu?
Câu 22 :
Tìm hệ số góc của đường thẳng $d$ biết $d$ đi qua điểm $A\left( {1;1} \right)$ và điểm $B\left( { - 1;2} \right).$
Câu 23 :
Cho $2$ đường thẳng $d:y = x + 3;d':y = \dfrac{{ - 2}}{3}x + \dfrac{4}{3}$. Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $d'$ . $A$ và $C$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $d'$ với trục hoành; $B$ và $D$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $d'$ với trục tung. Khi đó diện tích tam giác $CMB$ là:
Câu 24 :
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $2$ đường thẳng $d:y = mx - 2;d':y = 2x + 1$ cắt nhau tại điểm có hoành độ là số nguyên.
Câu 25 :
Điểm cố định mà đường thẳng \(d:y = \dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}x + \sqrt k + \sqrt 3(k \ge 0)\) luôn đi qua là:
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Chọn khẳng định đúng về đồ thị hàm số \(y = ax + b(a \ne 0).\)
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Đồ thị hàm số $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ là một đường thẳng Trường hợp 1: Nếu \(b = 0\) ta có hàm số \(y = ax\). Đồ thị của \(y = ax\) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\) và điểm \(A(1;a).\) Trường hợp 2: Nếu \(b \ne 0\) thì đồ thị \(y = ax + b\) là đường thẳng đi qua các điểm \(A(0;b),\,\,B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right).\)
Câu 2 :
Cho hai đường thẳng $d:y = x + 3$ và $d':y = - 2x$. Khi đó
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$. +) $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$ +) \(d\)cắt$d'$\( \Leftrightarrow a \ne a'\). +) \(d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\). +) \(d \bot d' \Leftrightarrow a.a' = - 1\). Lời giải chi tiết :
Ta thấy $d:y = x + 3$ có $a = 1$ và $d':y = - 2x$ có $a' = - 2$$ \Rightarrow a \ne a'\left( {1 \ne - 2} \right)$ nên $d$ cắt $d'$.
Câu 3 :
Cho đường thẳng $d$:$y = ax + b\,\,\left( {a > 0} \right)$. Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia \(Ox\) và \(d.\) Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\). Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia \(Ox\) và \(d.\) Ta có: $a = \tan \alpha $
Câu 4 :
Cho đường thẳng $d:$ $y = \left( {m + 2} \right)x - 5$ đi qua điểm $A\left( { - 1;2} \right)$. Hệ số góc của đường thẳng $d$ là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ để tìm $m$ và đưa phương trình về dạng $y = ax + b$. Bước 2: Sử dụng lý thuyết về hệ số góc của đường thẳng. Đường thẳng $d$ có phương trình \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\) có $a$ là hệ số góc. Lời giải chi tiết :
Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\left( {m + 2} \right).\left( { - 1} \right) - 5 = 2 \Leftrightarrow -m-2=7\Leftrightarrow m = -9$ Suy ra $d:y = -7x - 5$ Hệ số góc của đường thẳng $d$ là $k = -7$.
Câu 5 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $D$. Với ${x_1},{x_2} \in D;{x_1} < {x_2}$, khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên tập $D$. Khi đó :
Câu 6 :
Đồ thị hàm số $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$ đi qua điểm nào dưới đây?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Đồ thị hàm số \(y = ax + b(a \ne 0)\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi \({y_0} = a{x_0} + b\) Lời giải chi tiết :
Thay tọa độ từng điểm vào hàm số ta được +) Với $A\left( {\dfrac{{ - 5}}{3};0} \right)$. Thay $x = - \dfrac{5}{3};y = 0$ vào $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$ ta được $3\left( { - \dfrac{5}{3} - 1} \right) + \dfrac{4}{3} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 20}}{3} = 0$ (Vô lý) +) Với $B\left( {1;\dfrac{3}{4}} \right)$. Thay $x = 1;y = \dfrac{3}{4}$ vào $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$ ta được $3\left( {1 - 1} \right) + \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{4}$ (Vô lý) +) Với $D\left( {4;\dfrac{4}{3}} \right)$. Thay $x = 4;y = \dfrac{4}{3}$ vào $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$ ta được $3\left( {4 - 1} \right) + \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{31}}{3} = \dfrac{4}{3}$ (Vô lý) +)Với $C\left( { \dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$. Thay $x = \dfrac{2}{3};y = \dfrac{1}{3}$ vào $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$ ta được $3\left( { \dfrac{2}{3} - 1} \right) + \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}$ (luôn đúng) $ \Rightarrow C$ thuộc đồ thị hàm số $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$
Câu 7 :
Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x - 2$. Tính $2.f\left( 3 \right)$
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng cách tính giá trị hàm số tại một điểm Để tính giá trị ${y_0}$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ ta thay $x = {x_0}$ vào $f\left( x \right)$, ta được ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$. Lời giải chi tiết :
Thay $x = 3$ vào hàm số ta được $f\left( 3 \right) = {3^3} - 3.3 - 2 = 16$$ \Rightarrow 2.f\left( 3 \right) = 2.16 = 32$.
Câu 8 :
Cho hai hàm số $f\left( x \right) = - 2{x^3}$ và $h\left( x \right) = 10 - 3x$. So sánh $f\left( { - 2} \right)$ và $h\left( { - 1} \right)$
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng cách tính giá trị hàm số tại một điểm Để tính giá trị ${y_0}$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ ta thay $x = {x_0}$ vào $f\left( x \right)$, ta được ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$. So sánh các giá trị tìm được Lời giải chi tiết :
Thay $x = - 2$ vào hàm số $f\left( x \right) = - 2{x^3}$ ta được $f\left( { - 2} \right) = - 2.{\left( { - 2} \right)^3} = 16$. Thay $x = - 1$ vào hàm số $h\left( x \right) = 10 - 3x$ ta được $h\left( { - 1} \right) = 10 - 3\left( { - 1} \right) = 13$ Nên $f\left( { - 2} \right) > h\left( { - 1} \right)$.
Câu 9 :
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3x\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và các điểm \(M\left( {1;1} \right);P\left( { - 1; - 3} \right);Q\left( {3;9} \right);A\left( { - 2;6} \right);O\left( {0;0} \right)\). Có bao nhiêu điểm trong số các điểm trên thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) khi \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\) Lời giải chi tiết :
Lần lượt thay tọa độ các điểm \(M,O,P,Q;A\) vào hàm số \(f\left( x \right) = 3x\) ta được +) Với \(M\left( {1;1} \right)\), thay \(x = 1;y = 1\) ta được \(1 = 3.1 \Leftrightarrow 1 = 3\) (Vô lý) nên \(M \notin \left( C \right)\). +) Với \(O\left( {0;0} \right)\), thay \(x = 0;y = 0\) ta được \(0 = 3.0 \Leftrightarrow 0 = 0\) (luôn đúng) nên \(O \in \left( C \right)\) +) Với \(P\left( { - 1; - 3} \right)\), thay \(x = -1;y = - 3\) ta được \( - 3 = 3.\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow - 3 = - 3\) (luôn đúng) nên \(P \in \left( C \right)\). +) Với \(Q\left( {3;9} \right)\), thay \(x = 3;y = 9\) ta được \(9 = 3.3 \Leftrightarrow 9 = 9\) (luôn đúng) nên \(Q \in \left( C \right)\). +) Với \(A\left( { - 2;6} \right)\), thay \(x = - 2;y = 6\) ta được \(6 = \left( { - 2} \right).3 \Leftrightarrow 6 = - 6\) (vô lý) nên \(A \notin \left( C \right)\). Vậy có ba điểm thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) trong số các điểm đã cho.
Câu 10 :
Hàm số \(y = \dfrac{1}{2}x + 3\) là hàm số?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số. Bước 2: Giả sử \({x_1} < {x_2}\) và \({x_1},{x_2} \in D\). Xét hiệu \(H = f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)\). + Nếu \(H < 0\) với \({x_1},{x_2}\) bất kỳ thì hàm số đồng biến. + Nếu \(H > 0\) với \({x_1},{x_2}\) bất kỳ thì hàm số nghịch biến. Lời giải chi tiết :
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\) Giả sử \({x_1} < {x_2}\) và \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\) . Ta có \(f\left( {{x_1}} \right) = \dfrac{1}{2}{x_1} + 3;f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{1}{2}{x_2} + 3\). Xét hiệu \(H = f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{1}{2}{x_1} + 3 - \left( {\dfrac{1}{2}{x_2} + 3} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}{x_1} + 3 - \dfrac{1}{2}{x_2} - 3 = \dfrac{1}{2}\left( {{x_1} - {x_2}} \right) < 0\) (vì \({x_1} < {x_2}\)) Vậy \(y = \dfrac{1}{2}x + 3\) là hàm số đồng biến.
Câu 11 :
Cho đường thẳng $d:y = 3x - \dfrac{1}{2}$. Giao điểm của $d$ với trục tung là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng theo các bước Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đó để tìm hoành độ giao điểm. Bước 2. Thay hoành độ giao điểm vừa tìm được vào một trong hai phương trình đường thẳng ta tìm được tung độ giao điểm. Lời giải chi tiết :
Giao điểm của đường thẳng $d$ và trục tung có hoành độ $x = 0$. Thay $x = 0$ vào phương trình $y = 3x - \dfrac{1}{2}$ ta được $y = 3.0 - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{1}{2}$. Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là $D\left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right)$
Câu 12 :
Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số \(y = - 2x + m + 2\) và \(y = 5x + 5 - 2m\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Để hai đường thẳng ${d_1}:y = ax + b$ và ${d_2}:y = a'x + b'$ cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne a'\\b = b'\end{array} \right.$ Lời giải chi tiết :
Để hai đồ thị hàm số \(y = - 2x + m + 2\) và \(y = 5x + 5 - 2m\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì $\left\{ \begin{array}{l} - 2 \ne 5\\m + 2 = 5 - 2m\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow 3m = 3 \Leftrightarrow m = 1$.
Câu 13 :
Gọi \({d_1}\) là đồ thị hàm số \(y = mx + 1\) và \({d_2}\) là đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{2}x - 2.\) Xác định giá trị của $m$ để $M\left( {2; - 1} \right)$ là giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Để $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là giao của hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ ta thay tọa độ điểm $M$ vào từng phương trình đường thẳng để tìm $m$. Lời giải chi tiết :
+) Nhận thấy $M \in {d_2}$. +) Ta thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình ${d_1}$ được phương trình $ - 1 = 2.m + 1 \Leftrightarrow m = - 1$ Vậy $m = - 1$.
Câu 14 :
Cho hàm số $y = \left( {m + 1} \right)x - 1$ có đồ thị là đường thẳng ${d_1}$ và hàm số $y = x + 1$ có đồ thị là đường thẳng ${d_2}$. Xác định $m$ để hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại một điểm có tung độ $y = 4$.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Để hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại một điểm có tung độ $y = {y_0}$. Bước 1. Thay $y = {y_0}$ vào phương trình đường thẳng đã biết để tìm ${x_0}$. Bước 2. Thay $x = {x_0}$; $y = {y_0}$ vào phương trình đường thẳng còn lại để tìm $m$. Lời giải chi tiết :
Thay $y = 4$ vào phương trình đường thẳng ${d_2}$ ta được $x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 3$. Suy ra tọa độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là $\left( {3;4} \right)$. Thay $x = 3;y = 4$ vào phương trình đường thẳng ${d_1}$ ta được $\left( {m + 1} \right).3 - 1 = 4 \Leftrightarrow m + 1 = \dfrac{5}{3} \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{3}$. Vậy $m = \dfrac{2}{3}$.
Câu 15 :
Cho hai đồ thị của hàm số bậc nhất là hai đường thẳng $d:y = \left( {m + 2} \right)x - m$ và $d':y = - 2x - 2m + 1$. Với giá trị nào của $m$ thì $d$ cắt $d'$?
Đáp án : C Phương pháp giải :
+) Tìm điều kiện để hàm số $y=ax+b$ là hàm số bậc nhất là $a\ne 0$ +) Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$. +) $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$ +) \(d\) cắt $d'$\( \Leftrightarrow a \ne a'\). +) \(d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\). +) \(d \bot d' \Leftrightarrow a.a' = - 1\). Lời giải chi tiết :
+) Ta thấy $d:y = \left( {m + 2} \right)x - m$ có $a = m + 2$ và $d':y = - 2x - 2m + 1$ có $a' = - 2$ . +) Để $y = \left( {m + 2} \right)x - m$ là hàm số bậc nhất thì $m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2$ +) Để \(d\) cắt $d'$\( \Leftrightarrow a \ne a'\) $ \Leftrightarrow m + 2 \ne - 2 \Leftrightarrow m \ne - 4$ Vậy $m \ne \left\{ { - 2; - 4} \right\}$.
Câu 16 :
Cho đường thẳng \(d:y = (k - 2)x - 1\). Tìm \(k\) để \(d\) cắt 2 trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng \(1\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và các trục tọa độ Sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối để tìm \(m\) Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\}\\x_B = 0 \Rightarrow y_B = - 1\\ \Rightarrow B(0; - 1) \Rightarrow OB = | - 1| = 1\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\}\\y_A = 0 \Leftrightarrow (k - 2)x_A - 1 = 0 \Leftrightarrow x_A = \dfrac{1}{{k - 2}}(k \ne 2)\\ \Rightarrow A\left( {\dfrac{1}{{k - 2}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{1}{{k - 2}}} \right|\end{array}\) \(\begin{array}{l}{S_{\Delta AOB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.1.\left| {\dfrac{1}{{k - 2}}} \right| = 1\\ \Leftrightarrow |k - 2| = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \dfrac{5}{2}\\k = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.(tmdk)\end{array}\)
Câu 17 :
Viết phương trình đường thẳng \(d\) biết \(d\) vuông góc với đường thẳng \(d':y = \dfrac{1}{5}x + 2\) và đi qua điểm \(M\left( { - 4;2} \right)\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) Bước 2: Tìm hệ số \(a\) theo mối quan hệ vuông góc. Bước 3: Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng ta tìm được \(b\). Lời giải chi tiết :
Gọi phương trình đường thẳng \(d\) cần tìm là \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) Vì \(d\)\( \bot \)\(d'\) nên \(a.\dfrac{1}{5} = - 1 \Leftrightarrow a = - 5\left( {TM} \right)\)\( \Rightarrow d:y = - 5x + b\) Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \( - 5.\left( { - 4} \right) + b = 2 \Leftrightarrow b = - 18\) Vậy phương trình đường thẳng \(d:y = - 5x - 18\).
Câu 18 :
Viết phương trình đường thẳng \(d\) biết \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {3;3} \right);B\left( { - 1;4} \right)\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là \(y = ax + b\,\,\)\(\left( {a \ne 0} \right)\) Bước 2: Thay tọa độ hai điểm \(A,B\) vào phương trình đường thẳng \(d\) để tìm hệ số \(a,b\). Lời giải chi tiết :
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là \(y = ax + b\,\,\)\(\left( {a \ne 0} \right)\) Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \(3a + b = 3\)\( \Rightarrow b = 3 - 3a\) Thay tọa độ điểm \(B\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \( - 1.a + b = 4\)\( \Rightarrow b = 4 + a\) Suy ra \(3 - 3a = 4 + a \Leftrightarrow 4a = - 1 \Leftrightarrow a = - \dfrac{1}{4}\)\( \Rightarrow b = 4 + a = 4 + \left( { - \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{{15}}{4} \Rightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{4}x + \dfrac{{15}}{4}\). Vậy \(d:y = - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{{15}}{4}\).
Câu 19 :
Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ tạo với đường thẳng $y = 1$ một góc bằng $120^\circ $ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $ - 2$.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Lời giải chi tiết :
Gọi phương trình đường thẳng $d:y = ax + b$ $(a \ne 0)$ Vì góc tạo bởi đường thẳng $d$ và đường thẳng $y = 1$ là $120^\circ $ nên góc tạo bởi đường thẳng $d$ và trục $Ox$ cũng là $120^\circ $ (do đường thẳng $y = 1$ song song với trục $Ox$) nên $a = \tan 120^\circ = - \sqrt 3 $ $ \Rightarrow y = - \sqrt 3 x + b$ Vì đường thẳng $d$ cắt trục tung tại điểm có tung độ $ - 2$ nên $ b = - 2$. Từ đó $d:y = - \sqrt 3 x - 2$.
Câu 20 :
Tìm hệ số góc của đường thẳng $d:y = (3 - m)x + 2$ biết nó vuông góc với đường thẳng $d':x - 2y - 6 = 0$.
Đáp án : A Phương pháp giải :
+ Sử dụng điều kiện vuông góc của hai đường thẳng để tìm $m$. + Sau đó sử dụng lý thuyết về hệ số góc để tìm hệ số góc của đường thẳng $d'$ Đường thẳng có phương trình \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\) có $a$ là hệ số góc. Lời giải chi tiết :
Ta có $d':x - 2y - 6 = 0$$ \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{2}x - 3$ Vì $d \bot d' \Rightarrow \left( {3 - m} \right).\dfrac{1}{2} = - 1 \Leftrightarrow 3 - m = - 2 \Leftrightarrow m = 5$ $ \Rightarrow d:y = - 2x + 2$ có hệ số góc $k = - 2$
Câu 21 :
Đường thẳng $y = 2(m + 1)x - 5m - 8$ đi qua điểm $A(3; - 5)$ có hệ số góc bằng bao nhiêu?
Đáp án : A Phương pháp giải :
+) Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ để tìm $m$. +) Sử dụng cách tìm hệ số góc : đường thẳng $d:y = ax + b$$\left( {a \ne 0} \right)$ có hệ số góc $a$. Lời giải chi tiết :
Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có $2\left( {m + 1} \right).3 - 5m - 8 = - 5 \Leftrightarrow m = - 3$ Khi đó $y = - 4x + 7$ Đường thẳng $y = - 4x + 7$ có hệ số góc $k = - 4$.
Câu 22 :
Tìm hệ số góc của đường thẳng $d$ biết $d$ đi qua điểm $A\left( {1;1} \right)$ và điểm $B\left( { - 1;2} \right).$
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng $d$ Bước 2: Xác định hệ số góc: đường thẳng $d$ có phương trình \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\) có $a$ là hệ số góc. Lời giải chi tiết :
Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,$ Vì $d$ đi qua $A\left( {1;1} \right)$ nên $a + b = 1 \Rightarrow b = 1 - a$ Thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình ta được $ - a + b = 2$$ \Rightarrow b = a + 2$ Nên ta có $1 - a = a + 2 \Leftrightarrow a = - \dfrac{1}{2}$$ \Rightarrow b = 1 - \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{3}{2} \Rightarrow y = - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$ Hệ số góc của $d$ là $k = - \dfrac{1}{2}$.
Câu 23 :
Cho $2$ đường thẳng $d:y = x + 3;d':y = \dfrac{{ - 2}}{3}x + \dfrac{4}{3}$. Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $d'$ . $A$ và $C$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $d'$ với trục hoành; $B$ và $D$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $d'$ với trục tung. Khi đó diện tích tam giác $CMB$ là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Lập bảng giá trị để xác định 2 điểm thuộc đường thẳng. - Xác định giao điểm 2 đường thẳng đã cho - Tính độ dài các đoạn thẳng cần thiết - Dựng đường cao của tam giác được tạo thành - Tính diện tích các tam giác phụ được tạo thành - Tính diện tích tam giác theo yêu cầu đề bài Lời giải chi tiết :
 Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x + 3 = - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow 3x + 9 = - 2x + 4 \Leftrightarrow 5x = - 5 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y = 2$ Do đó giao điểm của $2$ đường thẳng đã cho là $M\left( { - 1;2} \right)$ $\begin{array}{l}d \cap Ox = A( - 3;0) \Rightarrow OA = 3\\d' \cap Ox = C(2;0) \Rightarrow OC = 2\\d \cap Oy = B(0;3) \Rightarrow OB = 3\\d' \cap Oy = D\left( {0;\dfrac{4}{3}} \right)\\ \Rightarrow AC = OA + OC = 3 + 2 = 5\\{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AC.OB = \dfrac{1}{2}.5.3 = \dfrac{{15}}{2}(dvdt)\end{array}$ Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $Ox$ $\begin{array}{l} \Rightarrow MH = |{y_M}| = 2\\{S_{\Delta AMC}} = \dfrac{1}{2}MH.AC = \dfrac{1}{2}.2.5 = 5(dvdt)\\{S_{\Delta BMC}} = {S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta AMC}} = \dfrac{{15}}{2} - 5 = \dfrac{5}{2}(dvdt)\end{array}$
Câu 24 :
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $2$ đường thẳng $d:y = mx - 2;d':y = 2x + 1$ cắt nhau tại điểm có hoành độ là số nguyên.
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Điều kiện để 2 đường thẳng cắt nhau - Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng - Tìm nghiệm nguyên Lời giải chi tiết :
Ta có: $d \cap d' \Leftrightarrow m \ne 2$. Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$ : $mx - 2 = 2x + 1 \Leftrightarrow (m - 2)x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{{m - 2}}$ Ta có $x = \dfrac{3}{{m - 2}} \in Z \Leftrightarrow m - 2 \in U(3) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}$ Ta có bảng sau:  Vậy $m \in \left\{ { - 1;1;3;5} \right\}$.
Câu 25 :
Điểm cố định mà đường thẳng \(d:y = \dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}x + \sqrt k + \sqrt 3(k \ge 0)\) luôn đi qua là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
\(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà d luôn đi qua\( \Leftrightarrow M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in d,\forall m \Leftrightarrow m.A + B = 0,\forall m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) Giải hệ phương trình tìm nghiệm. Lời giải chi tiết :
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà d luôn đi qua. \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in d\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow {y_0} = \dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}{x_0} + \sqrt k + \sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \sqrt k {x_0} + {x_0} + \sqrt {3k} - \sqrt k - \sqrt 3 + 3 - \sqrt 3 {y_0} + {y_0} = 0\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \sqrt k ({x_0} + \sqrt 3 - 1) + {x_0} + 3 - \sqrt 3 + (1 - \sqrt 3 ){y_0} = 0\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} + \sqrt 3 - 1 = 0\\{x_0} + (1 - \sqrt 3 ){y_0} + 3 - \sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\(1 - \sqrt 3 ) + (1 - \sqrt 3 ){y_0} + 3 - \sqrt 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\(1 - \sqrt 3 ){y_0} + 4 - 2\sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\(1 - \sqrt 3 ){y_0} + {(1 - \sqrt 3 )^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\{y_0} = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}\) \( \Rightarrow M\left( {1 - \sqrt 3 ;\sqrt 3 - 1} \right)\)là điểm cố định mà d luôn đi qua. |
