Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 8

Đề kiểm tra 45 phút chương 1: Phép nhân và phép chia các đa thức - Đề số 1

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Kết quả của phép chia $\left( {6x{y^2} + 4{x^2}y - 2{x^3}} \right):2x$ là

A

$3{y^2} + 2xy - {x^2}$
B

$3{y^2} + 2xy + {x^2}$
C

$3{y^2} - 2xy - {x^2}$
D

$3{y^2} + 2xy$

Câu 2 :

Phân tích đa thức ${x^8} + 4$ thành hiệu hai bình phương, ta được

A

${\left( {{x^4} - 2} \right)^2} - {\left( {2{x^2}} \right)^2}$.
B

${\left( {{x^4} + 4} \right)^2} - {\left( {4{x^2}} \right)^2}$.
C

${\left( {{x^4} + 2} \right)^2} - {\left( {4{x^2}} \right)^2}$.
D

${\left( {{x^4} + 2} \right)^2} - {\left( {2{x^2}} \right)^2}$.

Câu 3 :

Chọn câu đúng.

A

${\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = 5\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)$.
B

${\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = \left( {5x - y} \right)\left( {x - 5y} \right)$.
C

${\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)$.
D

${\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = 5\left( {x - y} \right)\left( {x - 5y} \right)$.

Câu 4 :

Thương và phần dư của phép chia đa thức $2{x^3} - 3{x^2} - 3x - 2$ cho đa thức ${x^2} + 1$ lần lượt là

A

$2x - 3;5x - 5$.
B

$2x - 3; - 5x + 1$.
C

$ - 5x + 1;2x - 3$.
D

$2x - 3; - 5x - 5$.

Câu 5 :

Cho $2x\left( {3x - 1} \right) - 3x\left( {2x - 3} \right) = 11$ .Kết quả $x$ bằng:

A

$ - \dfrac{{11}}{7}$
B

$\dfrac{7}{{11}}$
C

$1$
D

$\dfrac{{11}}{7}$

Câu 6 :

Thương của phép chia đa thức $\left( {3{x^4} - 2{x^3} + 4x - 2{x^2} - 8} \right)$ cho đa thức $\left( {{x^2} - 2} \right)$ có hệ số tự do là

A

$2$.
B

$3$.
C

$1$.
D

$4$.

Câu 7 :

Viết biểu thức $\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - 3{x^2} + 9} \right)$ dưới dạng tổng hai lập phương.

A

${\left( {{x^2}} \right)^3} + {3^3}$.
B

${\left( {{x^2}} \right)^3} - {3^3}$.
C

${\left( {{x^2}} \right)^3} + {9^3}$.
D

${\left( {{x^2}} \right)^3} - {9^3}$.

Câu 8 :

Chọn câu sai.

A

${A^3} + {B^3} $$ = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)$
B

${A^3} - {B^3} $$ = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$
C

${\left( {A + B} \right)^3} $$= {\left( {B + A} \right)^3}$
D

${\left( {A - B} \right)^3} = {\left( {B - A} \right)^3}$

Câu 9 :

Cho $B = {\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - {x^2}\left( {{x^2} + 3} \right) - 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$. Chọn câu đúng.

A

$B < 12$
B

$B > 13$
C

$12 < B < 14$
D

$11 < B < 13$

Câu 10 :

Đa thức ${x^2} + x - 2ax - 2a$ được phân tích thành

A

$\left( {x + 2a} \right)\left( {x - 1} \right)$.
B

$\left( {x - 2a} \right)\left( {x + 1} \right)$.
C

$\left( {x + 2a} \right)\left( {x + 1} \right)$.
D

$\left( {x - 2a} \right)\left( {x - 1} \right)$.

Câu 11 :

Chọn câu sai.

A

$ax - bx + ab - {x^2} = \left( {x + b} \right)\left( {a - x} \right)$.
B

${x^2} - {y^2} + 4x + 4 = \left( {x + y} \right)\left( {x - y + 4} \right)$.
C

$ax + ay - 3x - 3y = \left( {a - 3} \right)\left( {x + y} \right)$.
D

$xy + 1 - x - y = \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)$

Câu 12 :

Cho $\left( {27{x^3} + 27{x^2} + 9x + 1} \right):{\left( {3x + 1} \right)^2} = \left( {...} \right)$ Điền vào chỗ trống đa thức thích hợp

A

${\left( {3x + 1} \right)^5}$.
B

$3x + 1$.
C

$3x - 1$.
D

${\left( {3x + 1} \right)^3}$

Câu 13 :

Gọi $x$ là giá trị thỏa mãn $\left( {3x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) = 3x\left( {x - 9} \right) - 3$. Khi đó

A

$x < 0$
B

$x < - 1$
C

$x > 2$
D

$x > 0$

Câu 14 :

Biểu thức ${\left( {a - b - c} \right)^2}$ bằng

A

${a^2} + {b^2} + {c^2} - 2\left( {bc + ac + ab} \right)$
B

${a^2} + {b^2} + {c^2} + bc - ac - 2ab$
C

${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc + ac - ab} \right)$
D

${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc - ac - ab} \right)$

Câu 15 :

Biểu thức $K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6$ có giá trị nhỏ nhất là

A

$6$
B

$1$
C

$ - 7$
D

$7$

Câu 16 :

Cho $P = {\left( {4x + 1} \right)^3} - \left( {4x + 3} \right)\left( {16{x^2} + 3} \right)$ và $Q = {\left( {x - 2} \right)^3} - x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 6x\left( {x - 3} \right) + 5x$

Chọn câu đúng.

A

$P = Q$
B

$P < Q$
C

$P > Q$
D

$P = 2Q$

Câu 17 :

Rút gọn biểu thức $M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)$ ta được giá trị của $M$ là

A

Một số lẻ
B

Một số chẵn
C

Một số chính phương
D

Một số chia hết cho $5$

Câu 18 :

Có bao nhiêu giá trị của $x$ thỏa mãn ${\left( {x - 3} \right)^2} - 9{\left( {x + 1} \right)^2} = 0$ ?

A

$2$.
B

$1$.
C

$0$.
D

$4$.

Câu 19 :

Giá trị của biểu thức $D = {x^3}-{x^2}y-x{y^2} + {y^3}$ khi $x = y$ là

A

$3$.
B

$2$.
C

$1$.
D

$0$.

Câu 20 :

Gọi ${x_1};{x_2}\,\left( {{x_1} > {x_2}} \right)$ là hai giá trị thỏa mãn ${x^2} + 3x - 18 = 0$. Khi đó $\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}$ bằng

A

$ - 2$.
B

$2$.
C

$\dfrac{1}{2}$.
D

$ - \dfrac{1}{2}$.

Câu 21 :

Giá trị số tự nhiên $n$ để phép chia ${x^{2n}}:{x^4}$ thực hiện được là:

A

$n \in \mathbb{N},n > 2$
B

$n \in \mathbb{N},n \ge 4$
C

$n \in \mathbb{N},n \ge 2$
D

$n \in \mathbb{N},n \le 2$

Câu 22 :

Tìm $a$ và $b$ để đa thức $f\left( x \right) = {x^4} - 9{x^3} + 21{x^2} + ax + b$ chia hết cho đa thức $g\left( x \right) = {x^2} - x - 2$

A

$a = - 1;\,b = 30$.
B

$a = 1;\,b = 30$.
C

$a = - 1;\,b = - 30$.
D

$a = 1;\,b = - 30$.

Câu 23 :

Để đa thức ${x^3} + a{x^2} - 4$ chia hết cho ${x^2} + 4x + 4$ thì giá trị của $a$ là

A

$a = - 6$.
B

$a = 6$.
C

$a = - 3$.
D

$a = 3$.

Câu 24 :

Cho biết ${x^3} = 2p + 1$ trong đó $x$ là số tự nhiên, $p$ là số nguyên tố. Tìm $x.$

A

$x = 9$
B

$x = 7$
C

$x = 5$
D

$x = 3$

Câu 25 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y$

A

$17$.
B

$0$
C

$ - 17$.
D

$ - 10$.

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Kết quả của phép chia $\left( {6x{y^2} + 4{x^2}y - 2{x^3}} \right):2x$ là

A

$3{y^2} + 2xy - {x^2}$
B

$3{y^2} + 2xy + {x^2}$
C

$3{y^2} - 2xy - {x^2}$
D

$3{y^2} + 2xy$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức.

Muốn chia đa thức $A$ cho đơn thức $B$ ( trường hợp các hạng tử của đa thức $A$ đều chia hết cho đơn thức $B$), ta chia mỗi hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng kết quả với nhau.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {6x{y^2} + 4{x^2}y - 2{x^3}} \right):2x\\ = 6x{y^2}:2x + 4{x^2}y:2x - 2{x^3}:2x\\ = 3{y^2} + 2x - {x^2}.\end{array}$

Câu 2 :

Phân tích đa thức ${x^8} + 4$ thành hiệu hai bình phương, ta được

A

${\left( {{x^4} - 2} \right)^2} - {\left( {2{x^2}} \right)^2}$.
B

${\left( {{x^4} + 4} \right)^2} - {\left( {4{x^2}} \right)^2}$.
C

${\left( {{x^4} + 2} \right)^2} - {\left( {4{x^2}} \right)^2}$.
D

${\left( {{x^4} + 2} \right)^2} - {\left( {2{x^2}} \right)^2}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Thêm bớt hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${x^8} + 4 = {\left( {{x^4}} \right)^2} + 4{x^4} + 4 - 4{x^4}$$ = {\left( {{x^4} + 2} \right)^2} - {\left( {2{x^2}} \right)^2}$

Câu 3 :

Chọn câu đúng.

A

${\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = 5\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)$.
B

${\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = \left( {5x - y} \right)\left( {x - 5y} \right)$.
C

${\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)$.
D

${\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = 5\left( {x - y} \right)\left( {x - 5y} \right)$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức ${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$ để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = \left( {3x - 2y + 2x - 3y} \right)\left( {3x - 2y - \left( {2x - 3y} \right)} \right)$$ = \left( {5x - 5y} \right)\left( {3x - 2y - 2x + 3y} \right) = 5\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)$

Câu 4 :

Thương và phần dư của phép chia đa thức $2{x^3} - 3{x^2} - 3x - 2$ cho đa thức ${x^2} + 1$ lần lượt là

A

$2x - 3;5x - 5$.
B

$2x - 3; - 5x + 1$.
C

$ - 5x + 1;2x - 3$.
D

$2x - 3; - 5x - 5$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Đặt phép chia.

- Chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia.

- Nhân kết quả tìm được với đa thức chia, rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích nhận được, hiệu tìm được gọi là dư thứ nhất.

- Chia hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia, được kết quả lại thực hiện tương tự như trên, cho đến khi dư cuối cùng không thể chia được nữa.

Lời giải chi tiết :

Thương của phép chia là $2x - 3$ và dư là $ - 5x + 1$

Câu 5 :

Cho $2x\left( {3x - 1} \right) - 3x\left( {2x - 3} \right) = 11$ .Kết quả $x$ bằng:

A

$ - \dfrac{{11}}{7}$
B

$\dfrac{7}{{11}}$
C

$1$
D

$\dfrac{{11}}{7}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Thực hiện các phép tính: phá ngoặc, chuyển vế .. để biến đổi về dạng tìm $x$ thường gặp

Lời giải chi tiết :

Ta có $2x\left( {3x - 1} \right) - 3x\left( {2x - 3} \right) = 11$$ \Leftrightarrow 2x.3x - 2x.1 - 3x.2x - 3x.\left( { - 3} \right) = 11$

$ \Leftrightarrow 6{x^2} - 2x - 6{x^2} + 9x = 11$ $ \Leftrightarrow 7x = 11 \Leftrightarrow x = \dfrac{{11}}{7}$

Vậy $x = \dfrac{{11}}{7}$ .

Câu 6 :

Thương của phép chia đa thức $\left( {3{x^4} - 2{x^3} + 4x - 2{x^2} - 8} \right)$ cho đa thức $\left( {{x^2} - 2} \right)$ có hệ số tự do là

A

$2$.
B

$3$.
C

$1$.
D

$4$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Đặt phép chia.

- Chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia.

- Nhân kết quả tìm được với đa thức chia, rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích nhận được, hiệu tìm được gọi là dư thứ nhất.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\left( {3{x^4} - 2{x^3} + 4x - 2{x^2} - 8} \right):\left( {{x^2} - 2} \right) $$= \left( {3{x^4} - 2{x^3} - 2{x^2} + 4x - 8} \right):\left( {{x^2} - 2} \right)$

$\left( {3{x^4} - 2{x^3} + 4x - 2{x^2} - 8} \right):\left( {{x^2} - 2} \right) = 3{x^2} - 2x + 4$

Hệ số tự do của thương là $4.$

Câu 7 :

Viết biểu thức $\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - 3{x^2} + 9} \right)$ dưới dạng tổng hai lập phương.

A

${\left( {{x^2}} \right)^3} + {3^3}$.
B

${\left( {{x^2}} \right)^3} - {3^3}$.
C

${\left( {{x^2}} \right)^3} + {9^3}$.
D

${\left( {{x^2}} \right)^3} - {9^3}$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức hiệu hai lập phương $\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - 3{x^2} + 9} \right)$$ = \left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} - 3.{x^2} + {3^2}} \right) = {\left( {{x^2}} \right)^3} + {3^3}$

Câu 8 :

Chọn câu sai.

A

${A^3} + {B^3} $$ = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)$
B

${A^3} - {B^3} $$ = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$
C

${\left( {A + B} \right)^3} $$= {\left( {B + A} \right)^3}$
D

${\left( {A - B} \right)^3} = {\left( {B - A} \right)^3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương

${A^3} + {B^3} $$ = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)$

${A^3} - {B^3}$$ = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${A^3} + {B^3} $$ = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)$ và ${A^3} - {B^3}$$ = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$ nên A, B đúng.

Vì $A + B = B + A $

$ \Rightarrow {\left( {A + B} \right)^3} $$ = {\left( {B + A} \right)^3}$ nên C đúng.

Vì $A - B = - \left( {B - A} \right)$

$ \Rightarrow {\left( {A - B} \right)^3} $$ = - {\left( {B - A} \right)^3}$ nên D sai.

Câu 9 :

Cho $B = {\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - {x^2}\left( {{x^2} + 3} \right) - 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$. Chọn câu đúng.

A

$B < 12$
B

$B > 13$
C

$12 < B < 14$
D

$11 < B < 13$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ , $\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}$ và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

Ta có $B = {\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - {x^2}\left( {{x^2} + 3} \right) - 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$$ = {\left( {{x^2}} \right)^2} + 2.{x^2}.3 + {3^2} - \left( {{x^2}.{x^2} + {x^2}.3} \right) - 3\left( {{x^2} - 1} \right)$

$ = {x^4} + 6{x^2} + 9 - {x^4} - 3{x^2} - 3{x^2} + 3$ $ = 12$ .

Câu 10 :

Đa thức ${x^2} + x - 2ax - 2a$ được phân tích thành

A

$\left( {x + 2a} \right)\left( {x - 1} \right)$.
B

$\left( {x - 2a} \right)\left( {x + 1} \right)$.
C

$\left( {x + 2a} \right)\left( {x + 1} \right)$.
D

$\left( {x - 2a} \right)\left( {x - 1} \right)$.

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Ta có ${x^2} + x - 2ax - 2a$$ = \left( {{x^2} + x} \right) - \left( {2ax + 2a} \right) = x\left( {x + 1} \right) - 2a\left( {x + 1} \right) = \left( {x - 2a} \right)\left( {x + 1} \right)$

Câu 11 :

Chọn câu sai.

A

$ax - bx + ab - {x^2} = \left( {x + b} \right)\left( {a - x} \right)$.
B

${x^2} - {y^2} + 4x + 4 = \left( {x + y} \right)\left( {x - y + 4} \right)$.
C

$ax + ay - 3x - 3y = \left( {a - 3} \right)\left( {x + y} \right)$.
D

$xy + 1 - x - y = \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử thích hợp để phân tích đa thức thành nhân tử.

Chú ý đến tính chất $A = - \left( { - A} \right)$ để làm xuất hiện nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có $ax - bx + ab - {x^2} = \left( {ax - {x^2}} \right) + \left( {ab - bx} \right)$$ = x\left( {a - x} \right) + b\left( {a - x} \right) = \left( {x + b} \right)\left( {a - x} \right)$ nên A đúng.

*${x^2} - {y^2} + 4x + 4 = \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) - {y^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} - {y^2} = \left( {x + 2 + y} \right)\left( {x + 2 - y} \right)$ nên B sai.

* $ax + ay - 3x - 3y = a\left( {x + y} \right) - 3\left( {x + y} \right) = \left( {a - 3} \right)\left( {x + y} \right)$ nên C đúng.

* $xy + 1 - x - y = \left( {xy - x} \right) + \left( {1 - y} \right) = x\left( {y - 1} \right) - \left( {y - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)$ nên D đúng.

Câu 12 :

Cho $\left( {27{x^3} + 27{x^2} + 9x + 1} \right):{\left( {3x + 1} \right)^2} = \left( {...} \right)$ Điền vào chỗ trống đa thức thích hợp

A

${\left( {3x + 1} \right)^5}$.
B

$3x + 1$.
C

$3x - 1$.
D

${\left( {3x + 1} \right)^3}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Đưa số bị chia thành hằng đẳng thức ${a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3}$

+ Sử dụng quy tắc ${x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}$ với $x \ne 0;\,m,n \in \mathbb{N};\,m \ge n$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left( {27{x^3} + 27{x^2} + 9x + 1} \right):{\left( {3x + 1} \right)^2} = {\left( {3x + 1} \right)^3}:{\left( {3x + 1} \right)^2} = 3x + 1$

Câu 13 :

Gọi $x$ là giá trị thỏa mãn $\left( {3x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) = 3x\left( {x - 9} \right) - 3$. Khi đó

A

$x < 0$
B

$x < - 1$
C

$x > 2$
D

$x > 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thực hiện các biến đổi phá ngoặc, chuyển vế… rồi rút gọn hai vế đưa về dạng tìm $x$ thường gặp

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left( {3x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) = 3x\left( {x - 9} \right) - 3$ $ \Leftrightarrow 3x.x + 3x.\left( { - 2} \right) - 4.x - 4.\left( { - 2} \right) = 3x.x + 3x.\left( { - 9} \right) - 3$

$ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 4x + 8 = 3{x^2} - 27x - 3$ $ \Leftrightarrow 17x = - 11 \Leftrightarrow x = - \dfrac{{11}}{{17}}$

Vậy $x = - \dfrac{{11}}{{17}}$ .

Câu 14 :

Biểu thức ${\left( {a - b - c} \right)^2}$ bằng

A

${a^2} + {b^2} + {c^2} - 2\left( {bc + ac + ab} \right)$
B

${a^2} + {b^2} + {c^2} + bc - ac - 2ab$
C

${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc + ac - ab} \right)$
D

${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc - ac - ab} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng hẳng đẳng thức ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\left( {a - b - c} \right)^2}$$ = {\left[ {\left( {a - b} \right) - c} \right]^2} = {\left( {a - b} \right)^2} - 2\left( {a - b} \right).c + {c^2}$

$ = {a^2} - 2ab + {b^2} - 2ac + 2bc + {c^2}$ $ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc - ac - ab} \right)$ .

Câu 15 :

Biểu thức $K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6$ có giá trị nhỏ nhất là

A

$6$
B

$1$
C

$ - 7$
D

$7$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Biến đổi $K$ về dạng ${\left( {A - B} \right)^2} + {\left( {C - D} \right)^2} + m$ rồi đánh giá ${\left( {A - B} \right)^2} + {\left( {C - D} \right)^2} + m \ge m.$

Dấu “=” xảy ra khi $A = B$ và $C = D.$

Giá trị nhỏ nhất của $K$ là $m$ khi $A = B$ và $C = D.$

Lời giải chi tiết :

Ta có $K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6$$ = {x^2} - 2.x.3 + 9 + {y^2} - 2.y.2 + 4 - 7$$ = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 7$

Vì ${\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0;\,\forall x;\,y$ nên ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 7 \ge - 7$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $E$ là $ - 7$ khi $x = 3;y = 2$ .

Câu 16 :

Chọn câu đúng.

A

$P = Q$
B

$P < Q$
C

$P > Q$
D

$P = 2Q$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dùng hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn $P$ và $Q$ .

Sau đó tìm mối quan hệ giữa $P$ và $Q$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $P = {\left( {4x + 1} \right)^3} - \left( {4x + 3} \right)\left( {16{x^2} + 3} \right)$$ = {\left( {4x} \right)^3} + 3.{\left( {4x} \right)^2}.1 + 3.4x{.1^2} + {1^3} - \left( {64{x^3} + 12x + 48{x^2} + 9} \right)$

$ = 64{x^3} + 48{x^2} + 12x + 1 - 64{x^3} - 12x - 48{x^2} - 9= - 8$ nên $P = - 8$

+ $Q = {\left( {x - 2} \right)^3} - x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 6x\left( {x - 3} \right) + 5x$$ = {x^3} - 3.{x^2}.2 + 3x{.2^2} - {2^3} - x\left( {{x^2} - 1} \right) + 6{x^2} - 18x + 5x$

$ = {x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 - {x^3} + x + 6{x^2} - 18x + 5x = - 8$$ \Rightarrow Q = - 8$

Vậy $P = Q$ .

Câu 17 :

Rút gọn biểu thức $M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)$ ta được giá trị của $M$ là

A

Một số lẻ
B

Một số chẵn
C

Một số chính phương
D

Một số chia hết cho $5$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức $\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}$ để phân tích và rút gọn $M$

Lời giải chi tiết :

Ta có $M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)$$ = \left( {2x + 3} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2x.3 + {3^2}} \right] - 8{x^3} + 12$

$ = {\left( {2x} \right)^3} + {3^3} - 8{x^3} + 12 = 8{x^3} + 27 - 8{x^3} + 12 = 39$.

Vậy giá trị của $M$ là một số lẻ.

Câu 18 :

Có bao nhiêu giá trị của $x$ thỏa mãn ${\left( {x - 3} \right)^2} - 9{\left( {x + 1} \right)^2} = 0$ ?

A

$2$.
B

$1$.
C

$0$.
D

$4$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Sử dụng hằng đẳng thức ${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$ để phân tích đa thức thành nhân tử.

+ Từ đó đưa về dạng $A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\left( {x - 3} \right)^2} - 9{\left( {x + 1} \right)^2} = 0$$ \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} - {\left[ {3\left( {x + 1} \right)} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} - {\left( {3x + 3} \right)^2} = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {x - 3 + 3x + 3} \right)\left( {x - 3 - 3x - 3} \right) = 0$$ \Leftrightarrow 4x\left( { - 2x - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 0\\ - 2x - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\ - 2x = 6\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 3\end{array} \right.$

Vậy có hai giá trị của $x$ thỏa mãn là $x = 0;x = - 3$ .

Câu 19 :

Giá trị của biểu thức $D = {x^3}-{x^2}y-x{y^2} + {y^3}$ khi $x = y$ là

A

$3$.
B

$2$.
C

$1$.
D

$0$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Phân tích $D$ thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức và nhóm hạng tử thích hợp.

- Sử dụng giả thiết $x = y$ để tính giá trị của $D$ .

Lời giải chi tiết :

$D = \left( {{x^3} + {y^3}} \right)-xy\left( {x + y} \right) $$= \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - xy\left( {x + y} \right) $$= \left( {x + y} \right)\left( {{x^2}-xy + {y^2}-xy} \right)$$ = \left( {x + y} \right)[\left( {x\left( {x-y} \right)-y\left( {x-y} \right)} \right] $$= \left( {x + y} \right){\left( {x-y} \right)^2}$

Vì $x = y$$ \Leftrightarrow x - y = 0$ nên $D = \left( {x + y} \right){\left( {x - y} \right)^2} = 0$ .

Câu 20 :

Gọi ${x_1};{x_2}\,\left( {{x_1} > {x_2}} \right)$ là hai giá trị thỏa mãn ${x^2} + 3x - 18 = 0$. Khi đó $\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}$ bằng

A

$ - 2$.
B

$2$.
C

$\dfrac{1}{2}$.
D

$ - \dfrac{1}{2}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử.

Từ đó đưa về dạng tìm $x$ đã biết $A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}\;{x^2} + 3x - 18 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 3x - 18 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 3x} \right) + \left( {6x - 18} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) + 6\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 6} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\end{array}$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 6 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 6\\x = 3\end{array} \right.$

Suy ra ${x_1} = 3;{x_2} = - 6\,\left( {do\,\,{x_1} > {x_2}} \right)$

$ \Rightarrow \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \dfrac{3}{{ - 6}} = - \dfrac{1}{2}$ .

Câu 21 :

Giá trị số tự nhiên $n$ để phép chia ${x^{2n}}:{x^4}$ thực hiện được là:

A

$n \in \mathbb{N},n > 2$
B

$n \in \mathbb{N},n \ge 4$
C

$n \in \mathbb{N},n \ge 2$
D

$n \in \mathbb{N},n \le 2$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc ${x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}$ với $x \ne 0;\,m,n \in \mathbb{N};\,m \ge n$.

Lời giải chi tiết :

Để phép chia ${x^{2n}}:{x^4} = {x^{2n - 4}}$ thực hiện được thì $n \in \mathbb{N};\,2n - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \,n \ge 2;\,n \in \mathbb{N}$ .

Câu 22 :

Tìm $a$ và $b$ để đa thức $f\left( x \right) = {x^4} - 9{x^3} + 21{x^2} + ax + b$ chia hết cho đa thức $g\left( x \right) = {x^2} - x - 2$

A

$a = - 1;\,b = 30$.
B

$a = 1;\,b = 30$.
C

$a = - 1;\,b = - 30$.
D

$a = 1;\,b = - 30$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.

+ Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư $R = 0$ thì phép chia đó là phép chia hết.

Chú ý: $Ax + B = 0$ với $\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có

Phần dư của phép chia $f\left( x \right)$ cho $g\left( x \right)$ là $R = \left( {a - 1} \right)x + b + 30$

Để phép chia trên là phép chia hết thì $R = 0$ với $\forall x$ $ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)x + b + 30 = 0$ với $\forall x$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\b + 30 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 30\end{array} \right.$ . Vậy $a = 1;\,b = - 30$.

Câu 23 :

Để đa thức ${x^3} + a{x^2} - 4$ chia hết cho ${x^2} + 4x + 4$ thì giá trị của $a$ là

A

$a = - 6$.
B

$a = 6$.
C

$a = - 3$.
D

$a = 3$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.

+ Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư $R = 0$ thì phép chia đó là phép chia hết.

Chú ý: $Ax + B = 0$ với $\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$ .

Lời giải chi tiết :

Để ${x^3} + a{x^2}-4$ chia hết cho ${x^2} + 4x + 4$ thì $4\left( {3-a} \right).x-4a + 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {3 - a} \right) = 0\\12 - 4a = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow a = 3$.

Vậy $a = 3$.

Câu 24 :

Cho biết ${x^3} = 2p + 1$ trong đó $x$ là số tự nhiên, $p$ là số nguyên tố. Tìm $x.$

A

$x = 9$
B

$x = 7$
C

$x = 5$
D

$x = 3$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Chỉ ra $x$ là số lẻ

+ Gọi $x = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$ sau đó biển đổi để tìm $k$. Từ đó tìm ra $x$

Chú ý rằng: Số nguyên tố là số chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

Lời giải chi tiết :

Vì $p$ là số nguyên tố nên $2p + 1$ là số lẻ. Mà ${x^3} = 2p + 1$ nên ${x^3}$ cũng là một số lẻ, suy ra $x$ là số lẻ

Gọi $x = 2k + 1\,\,\left( {k \in N} \right)$. Ta có ${x^3} = 2p + 1 \Leftrightarrow {\left( {2k + 1} \right)^3} = 2p + 1$

$ \Leftrightarrow 8{k^3} + 12{k^2} + 6k + 1 = 2p + 1 \Leftrightarrow 2p = 8{k^3} + 12{k^2} + 6k$

$ \Leftrightarrow p = 4{k^3} + 6{k^2} + 3k = k\left( {4{k^2} + 6k + 3} \right)$

Mà $p$ là số nguyên tố nên $k = 1 \Rightarrow x = 3$

Vậy số cần tìm là $x = 3.$

Câu 25 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y$

A

$17$.
B

$0$
C

$ - 17$.
D

$ - 10$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử một cách thích hợp để tách biểu thức đã cho thành dạng C = a² + b² + c.

- Khi đó, $A \ge c$ với mọi x.

- Suy ra, giá trị nhỏ nhất của A.

Lời giải chi tiết :

$A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y$

$\Leftrightarrow A = {x^2} + {y^2} + 1 - 2xy + 2x - 2y + {y^2} - 8y + 16 - 17$

$ \Leftrightarrow A = \left( {{x^2} + {y^2} + {1^2} - 2.x.y + 2.x.1 - 2.y.1} \right) + \left( {{y^2} - 2.4.y + {4^2}} \right) - 17$

$ \Leftrightarrow A = {\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 17.$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0\\{\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.$ với mọi $x,y$ nên $A \ge - 17$ với mọi $x,y.$

$ \Rightarrow A = - 17 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.$

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là $A = - 17$ tại $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.$.

Bài liên quan