Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 9

Đề kiểm tra 45 phút chương 1: Căn bậc hai - Căn bậc ba - Đề số 1

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 9 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Cho các biểu thức với $A < 0$ và $B \ge 0$ , khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$\sqrt {{A^2}B} = A\sqrt B $
B

$\sqrt {{A^2}B} = - A\sqrt B $
C

$\sqrt {{A^2}B} = -B\sqrt A $
D

$\sqrt {{A^2}B} = B\sqrt A $

Câu 2 :

Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} $ là?

A

$\dfrac{9}{{13}}$
B

$\dfrac{9}{{169}}$
C

$\dfrac{3}{{13}}$
D

$\dfrac{{13}}{9}$

Câu 3 :

Rút gọn biểu thức $2\sqrt[3]{{27{a^3}}} - 3\sqrt[3]{{8{a^3}}} + 4\sqrt[3]{{125{a^3}}}$ ta được:

A

$14a$
B

$20a$
C

$9a$
D

$ - 8a$

Câu 4 :

Cho $a,b$ là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$\sqrt {ab} = a\sqrt b $
B

$\sqrt a \sqrt b = b\sqrt a $
C

$\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} $
D

$\sqrt {ab} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$

Câu 5 :

Biểu thức $\sqrt {x - 3} $ có nghĩa khi

A

$x < 3$
B

$x < 0$
C

$x \ge 0$
D

$x \ge 3$

Câu 6 :

So sánh hai số $5\sqrt 3 $ và $4\sqrt 5 $

A

$5\sqrt 3 > 4\sqrt 5 $
B

$5\sqrt 3 = 4\sqrt 5 $
C

$5\sqrt 3 \ge 4\sqrt 5 $
D

$5\sqrt 3 < 4\sqrt 5 $

Câu 7 :

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$\sqrt[3]{{ab}} = \sqrt a .\sqrt b $
B

$\dfrac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}} = \dfrac{a}{b}$ với $b \ne 0$
C

${\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^3} = - a\, khi\,a < 0$
D

$\dfrac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}} = \sqrt[3]{{\dfrac{a}{b}}}$ với $b \ne 0$

Câu 8 :

Phép tính $\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}} $ có kết quả là?

A

$35$
B

$5$
C

$ - 35$
D

Không tồn tại.

Câu 9 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} $ là

A

$1$
B

$0$
C

$2$
D

$3$

Câu 10 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {7 - 2\sqrt {10} } $.

A

$2\sqrt 2 $
B

$0$
C

$\sqrt 2 $
D

$2\sqrt 5 $

Câu 11 :

Đưa thừa số $5y\sqrt y $ ($y \ge 0$) vào trong dấu căn ta được

A

$\sqrt {5{y^2}} $
B

$\sqrt {25{y^3}} $
C

$\sqrt {5{y^3}} $
D

$\sqrt {25y\sqrt y } $

Câu 12 :

Nghiệm của phương trình $\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 31} = x + 4$ là

A

$x = 2$
B

$x = 5$
C

$x = 3$
D

$x = 3;x = 5$

Câu 13 :

Tìm giá trị của $x$ không âm biết $2\sqrt x - 30 = 0$.

A

$x = - 15$
B

$x = 225$
C

$x = 25$
D

$x = 15$

Câu 14 :

Giá trị biểu thức $\sqrt {5x + 3} .\sqrt {5x - 3} $ khi $x = \sqrt {3,6} $ là:

A

$3,6$
B

$3$
C

$81$
D

$9$

Câu 15 :

Nghiệm của phương trình $\dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{2}\sqrt {9{\rm{x}} - 9} + 16\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{64}}} = 12$ là:

A

$x = 37$
B

$x = 7$
C

$x = 35$
D

$x = 5$

Câu 16 :

Rút gọn biểu thức $D = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}\sqrt {\dfrac{b}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}} $ với $a,b > 0$ ta được:

A

$a + b$
B

$2$
C

$\dfrac{{\sqrt b }}{2}$
D

$2\sqrt b $

Câu 17 :

Trục căn thức ở mẫu biểu thức $\dfrac{4}{{3\sqrt x + 2\sqrt y }}$ với $x \ge 0;y \ge 0;x \ne \dfrac{4}{9}y$ ta được:

A

$\dfrac{{3\sqrt x - 2\sqrt y }}{{9x - 4y}}$
B

$\dfrac{{12\sqrt x - 8\sqrt y }}{{3x + 2y}}$
C

$\dfrac{{12\sqrt x + 8\sqrt y }}{{9x + 4y}}$
D

$\dfrac{{12\sqrt x - 8\sqrt y }}{{9x - 4y}}$

Câu 18 :

Rút gọn biểu thức $\dfrac{{4a}}{{\sqrt 7 - \sqrt 3 }} - \dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt 2 }} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}$ ta được:

A

$2a$
B

$2\sqrt 7 a$
C

$a\left( {\sqrt 7 + 2} \right)$
D

$a\left( {\sqrt 7 - 2} \right)$

Câu 19 :

Trục căn thức ở mẫu biểu thức $\dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt a }}$với $a \ge 0;a \ne 4$ ta được

A

$\dfrac{{ - 2a\sqrt a + 4a}}{{4 - a}}$
B

$\dfrac{{2a\sqrt a - 4a}}{{4 - a}}$
C

$\dfrac{{2a\sqrt a + 4a}}{{4 - a}}$
D

$ - \dfrac{{2a\sqrt a + 4a}}{{4 - a}}$

Câu 20 :

Cho biểu thức $A = \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}$với $x \ge 0$. So sánh $A$ với $2$.

A

$A > 2$
B

$A < 2$
C

$A = 2$
D

$A \ge 2$

Câu 21 :

Cho biểu thức $P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}$ với $x \ge 0;x \ne 1$. Giá trị của $P$ khi $x = \dfrac{8}{{3 - \sqrt 5 }}$ là:

A

$5 + \sqrt 5 $
B

$5$
C

$\dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{5}$
D

$\sqrt 5 $

Câu 22 :

Rút gọn biểu thức $2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} $ với $a > 0$ ta được

A

$14\sqrt a + a\sqrt a $
B

$14\sqrt a - a\sqrt a $
C

$14\sqrt a + 2a\sqrt a $
D

$20\sqrt a - 2a\sqrt a $

Câu 23 :

Tìm $x$ biết $\sqrt[3]{{4 - 2x}} > 4$.

A

$x < 30$
B

$x > - 30$
C

$x < - 30$
D

$x > 30$

Câu 24 :

Rút gọn biểu thức $P = \dfrac{{2\sqrt 6 + \sqrt 3 + 4\sqrt 2 + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt {12} + \sqrt {18} } \right)} }}$ ta được

A

$P = \sqrt 3 - 1$
B

$P = \sqrt 3 + 1$
C

$P = 2\sqrt 3 $
D

$P = \sqrt 3 + 2$

Câu 25 :

Giả sử $a;\,\,b;\,\,c$ là các số thực dương. Chọn câu đúng.

A

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
B

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
C

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $
D

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho các biểu thức với $A < 0$ và $B \ge 0$ , khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$\sqrt {{A^2}B} = A\sqrt B $
B

$\sqrt {{A^2}B} = - A\sqrt B $
C

$\sqrt {{A^2}B} = -B\sqrt A $
D

$\sqrt {{A^2}B} = B\sqrt A $

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$

Câu 2 :

Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} $ là?

A

$\dfrac{9}{{13}}$
B

$\dfrac{9}{{169}}$
C

$\dfrac{3}{{13}}$
D

$\dfrac{{13}}{9}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

Lời giải chi tiết :

$\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} = \dfrac{{\sqrt {81} }}{{\sqrt {169} }} = \dfrac{{\sqrt {{9^2}} }}{{\sqrt {{{13}^2}} }} = \dfrac{9}{{13}}$

Câu 3 :

Rút gọn biểu thức $2\sqrt[3]{{27{a^3}}} - 3\sqrt[3]{{8{a^3}}} + 4\sqrt[3]{{125{a^3}}}$ ta được:

A

$14a$
B

$20a$
C

$9a$
D

$ - 8a$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức $\sqrt[3]{{{a^3}}} = a$ sau đó cộng trừ các số hạng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $2\sqrt[3]{{27{a^3}}} - 3\sqrt[3]{{8{a^3}}} + 4\sqrt[3]{{125{a^3}}}$$ = 2\sqrt[3]{{{{\left( {3a} \right)}^3}}} - 3\sqrt[3]{{{{\left( {2a} \right)}^3}}} + 4\sqrt[3]{{{{\left( {5a} \right)}^3}}}$

$ = 2.3a - 3.2a + 4.5a = 20a$.

Câu 4 :

Cho $a,b$ là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$\sqrt {ab} = a\sqrt b $
B

$\sqrt a \sqrt b = b\sqrt a $
C

$\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} $
D

$\sqrt {ab} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $.

Câu 5 :

Biểu thức $\sqrt {x - 3} $ có nghĩa khi

A

$x < 3$
B

$x < 0$
C

$x \ge 0$
D

$x \ge 3$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện để $\sqrt A $ có nghĩa. Ta có $\sqrt A $ có nghĩa $ \Leftrightarrow A \ge 0$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {x - 3} $ có nghĩa khi $x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$.

Câu 6 :

So sánh hai số $5\sqrt 3 $ và $4\sqrt 5 $

A

$5\sqrt 3 > 4\sqrt 5 $
B

$5\sqrt 3 = 4\sqrt 5 $
C

$5\sqrt 3 \ge 4\sqrt 5 $
D

$5\sqrt 3 < 4\sqrt 5 $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai số $\sqrt A < \sqrt B \Leftrightarrow 0 \le A < B$.

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$

+) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$

Lời giải chi tiết :

Ta có $5\sqrt 3 = \sqrt {{5^2}.3} = \sqrt {25.3} = \sqrt {75} $; $4\sqrt 5 = \sqrt {{4^2}.5} = \sqrt {16.5} = \sqrt {80} $

Vì $75 < 80 \Leftrightarrow \sqrt {75} < \sqrt {80} \Leftrightarrow 5\sqrt 3 < 4\sqrt 5 $

Câu 7 :

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$\sqrt[3]{{ab}} = \sqrt a .\sqrt b $
B

$\dfrac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}} = \dfrac{a}{b}$ với $b \ne 0$
C

${\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^3} = - a\, khi\,a < 0$
D

$\dfrac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}} = \sqrt[3]{{\dfrac{a}{b}}}$ với $b \ne 0$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

+) $a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$

+) $\sqrt[3]{{ab}} = \sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}$

+) Với $b \ne 0$, ta có $\sqrt[3]{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}}$.

+)${\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^3} = \sqrt[3]{{{a^3}}} = a$

Từ đó D đúng.

Câu 8 :

Phép tính $\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}} $ có kết quả là?

A

$35$
B

$5$
C

$ - 35$
D

Không tồn tại.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} $

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

Cách giải:

$\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}} = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{7^2}} = \left| { - 5} \right|.\left| 7 \right| = 5.7 = 35$.

Câu 9 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} $ là

A

$1$
B

$0$
C

$2$
D

$3$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích $\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)$ đưa biểu thức về các căn thức cùng loại (cùng biểu thức dưới dấu căn).

-Cộng trừ các căn thức

Lời giải chi tiết :

$\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} $$ = \sqrt {16.2} + \sqrt {25.2} - 3\sqrt {4.2} - \sqrt {9.2} $

$= 4\sqrt 2 + 5\sqrt 2 - 6\sqrt 2 - 3\sqrt 2 = 0$

Câu 10 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {7 - 2\sqrt {10} } $.

A

$2\sqrt 2 $
B

$0$
C

$\sqrt 2 $
D

$2\sqrt 5 $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức ${a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}$

- Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.$

- Cộng trừ các căn thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

$\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {7 - 2\sqrt {10} } $$ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {5 - 2\sqrt 5 .\sqrt 2 + 2} $$= \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)}^2}} $

$ = \left| {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right| - \left| {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right| $$= \sqrt 2 + \sqrt 5 -\sqrt 5 +\sqrt 2 = 2\sqrt 2 $

Câu 11 :

Đưa thừa số $5y\sqrt y $ ($y \ge 0$) vào trong dấu căn ta được

A

$\sqrt {5{y^2}} $
B

$\sqrt {25{y^3}} $
C

$\sqrt {5{y^3}} $
D

$\sqrt {25y\sqrt y } $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$

+) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$

Lời giải chi tiết :

Ta có $5y\sqrt y $$ = \sqrt {{{\left( {5y} \right)}^2}y} = \sqrt {25{y^2}.y} = \sqrt {25{y^3}} $.

Câu 12 :

Nghiệm của phương trình $\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 31} = x + 4$ là

A

$x = 2$
B

$x = 5$
C

$x = 3$
D

$x = 3;x = 5$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phương trình theo dạng $\sqrt A = B$

- Tìm điều kiện $B \ge 0$

- Với điều kiện trên thì phương trình theo dạng $\sqrt A = B \Leftrightarrow A = {B^2}$

- So sánh điều kiện và kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

ĐK: $x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 4$

Với điều kiện trên ta có:

$\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 31} = x + 4$$ \Leftrightarrow 2{x^2} + 31 = {\left( {x + 4} \right)^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 31 = {x^2} + 8x + 16$$\Leftrightarrow 2{x^2} + 31 - {x^2} - 8x - 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 = 0$

$ \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 5x + 15 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) - 5\left( {x - 3} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( N \right)\\x = 5\left( N \right)\end{array} \right.$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = 3;x = 5.$

Câu 13 :

Tìm giá trị của $x$ không âm biết $2\sqrt x - 30 = 0$.

A

$x = - 15$
B

$x = 225$
C

$x = 25$
D

$x = 15$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đưa phương trình chứa căn về dạng $\sqrt A = B$ và sử dụng cách giải $\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết :

Với $x$ không âm ta có

$2\sqrt x - 30 = 0 $

$\Leftrightarrow 2\sqrt x = 30 $

$\Leftrightarrow \sqrt x = 15$ mà $15 > 0$ nên $\sqrt x = 15 $

$\Leftrightarrow x = {15^2} $

$\Leftrightarrow x = 225$ (thỏa mãn).

Vậy $x = 225$.

Câu 14 :

Giá trị biểu thức $\sqrt {5x + 3} .\sqrt {5x - 3} $ khi $x = \sqrt {3,6} $ là:

A

$3,6$
B

$3$
C

$81$
D

$9$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} $

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\sqrt {\left( {5x - 3} \right)\left( {5x + 3} \right)} = \sqrt {25{x^2} - 9} $ với $x \ge \dfrac{3}{5}$

Thay $x = \sqrt {3,6} $ (tm đk $x \ge \dfrac{3}{5}$) vào biểu thức ta được: $\sqrt {25{x^2} - 9} = \sqrt {25.{{\left( {\sqrt {3,6} } \right)}^2} - 9} = \sqrt {81} = 9$.

Câu 15 :

Nghiệm của phương trình $\dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{2}\sqrt {9{\rm{x}} - 9} + 16\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{64}}} = 12$ là:

A

$x = 37$
B

$x = 7$
C

$x = 35$
D

$x = 5$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm điều kiện xác định.

- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $

- Sửdụng công thức khai phương một thương: Với $a$ không âm và $b>0$, ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt a }{\sqrt b} $

- Nhóm nhân tử chung để đưa phương trình về dạng đã biết.

- So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\9x - 9 \ge 0\\\dfrac{{x - 1}}{{64}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\9\left( {x - 1} \right) \ge 0\\x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$

Với điều kiện trên ta có: $\dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{2}\sqrt {9{\rm{x}} - 9} + 16\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{64}}} = 12$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{2}\sqrt {9\left( {x - 1} \right)} + 16\dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {64} }} = 12\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{2}\sqrt 9 .\sqrt {x - 1} + 16\dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{8} = 12\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{3}{2}.\sqrt {x - 1} + 2\sqrt {x - 1} = 12\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1} = 12\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 6\\ \Leftrightarrow x - 1 = 36\\ \Leftrightarrow x = 37\left( {TM} \right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 37$.

Câu 16 :

Rút gọn biểu thức $D = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}\sqrt {\dfrac{b}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}} $ với $a,b > 0$ ta được:

A

$a + b$
B

$2$
C

$\dfrac{{\sqrt b }}{2}$
D

$2\sqrt b $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $

- Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương, ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

- Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

$D = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}\sqrt {\dfrac{b}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}} $$ = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt {{a^2} + 2ab + {b^2}} }} = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}} }}$$ = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{\left| {a + b} \right|}} = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{a + b}} = 2$ (Vì $a,b > 0 \Rightarrow a + b > 0 \Rightarrow \left| {a + b} \right| = a + b$)

Câu 17 :

Trục căn thức ở mẫu biểu thức $\dfrac{4}{{3\sqrt x + 2\sqrt y }}$ với $x \ge 0;y \ge 0;x \ne \dfrac{4}{9}y$ ta được:

A

$\dfrac{{3\sqrt x - 2\sqrt y }}{{9x - 4y}}$
B

$\dfrac{{12\sqrt x - 8\sqrt y }}{{3x + 2y}}$
C

$\dfrac{{12\sqrt x + 8\sqrt y }}{{9x + 4y}}$
D

$\dfrac{{12\sqrt x - 8\sqrt y }}{{9x - 4y}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức

Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,B \ge 0,A \ne B$ ta có:

$\dfrac{C}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$; $\dfrac{C}{{\sqrt A + \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\dfrac{4}{{3\sqrt x + 2\sqrt y }}$$ = \dfrac{{4\left( {3\sqrt x - 2\sqrt y } \right)}}{{\left( {3\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left( {3\sqrt x - 2\sqrt y } \right)}} = \dfrac{{4\left( {3\sqrt x - 2\sqrt y } \right)}}{{{{\left( {3\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {2\sqrt y } \right)}^2}}} = \dfrac{{12\sqrt x - 8\sqrt y }}{{9x - 4y}}$

Câu 18 :

Rút gọn biểu thức $\dfrac{{4a}}{{\sqrt 7 - \sqrt 3 }} - \dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt 2 }} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}$ ta được:

A

$2a$
B

$2\sqrt 7 a$
C

$a\left( {\sqrt 7 + 2} \right)$
D

$a\left( {\sqrt 7 - 2} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Trục căn thức ở mẫu theo công thức

Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có: $\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$

- Quy đồng mẫu số các phân số rồi rút gọn.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\dfrac{{4a}}{{\sqrt 7 - \sqrt 3 }} - \dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt 2 }} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}$$ = \dfrac{{4a\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {\sqrt 7 - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)}} - \dfrac{{2a\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}} - \dfrac{{a\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}$

$ = a\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right) - a\left( {2 + \sqrt 2 } \right) - a\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)$$ = a\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 - 2 - \sqrt 2 - \sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)$

$ = a\left( {\sqrt 7 - 2} \right)$

Câu 19 :

Trục căn thức ở mẫu biểu thức $\dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt a }}$với $a \ge 0;a \ne 4$ ta được

A

$\dfrac{{ - 2a\sqrt a + 4a}}{{4 - a}}$
B

$\dfrac{{2a\sqrt a - 4a}}{{4 - a}}$
C

$\dfrac{{2a\sqrt a + 4a}}{{4 - a}}$
D

$ - \dfrac{{2a\sqrt a + 4a}}{{4 - a}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Trục căn thức ở mẫu theo công thức

Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt a }} = \dfrac{{2a\left( {2 + \sqrt a } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt a } \right)\left( {2 + \sqrt a } \right)}} = \dfrac{{2a\sqrt a + 4a}}{{4 - a}}.$

Câu 20 :

Cho biểu thức $A = \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}$với $x \ge 0$. So sánh $A$ với $2$.

A

$A > 2$
B

$A < 2$
C

$A = 2$
D

$A \ge 2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Muốn so sánh hai biểu thức $A$ và $B$ ta so sánh hiệu $A - B$ với số $0$.

Nếu $A - B > 0 \Leftrightarrow A > B$, nếu $A - B < 0 \Leftrightarrow A < B$

- Khi so sánh với số $0$ ta thường đưa về hằng đẳng thức để so sánh.

Lời giải chi tiết :

Ta xét hiệu: $A - 2 = \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}} - 2 = \dfrac{{2\sqrt x + 1 - 2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x + 1}}$

Vì $ - 1 < 0$ và $\sqrt x \ge 0,\,\forall x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 \ge 1 > 0$ nên $\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x + 1}} < 0$ hay $A - 2 < 0 \Leftrightarrow A < 2.$.

Câu 21 :

Cho biểu thức $P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}$ với $x \ge 0;x \ne 1$. Giá trị của $P$ khi $x = \dfrac{8}{{3 - \sqrt 5 }}$ là:

A

$5 + \sqrt 5 $
B

$5$
C

$\dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{5}$
D

$\sqrt 5 $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Sử dụng các phép biến đổi như trục căn thức ở mẫu và đưa về hằng đẳng thức để rút gọn biến số trước khi thay vào biểu thức.

- Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $x = \dfrac{8}{{3 - \sqrt 5 }} = \dfrac{{8\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}} = \dfrac{{8\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{9 - 5}} = 6 + 2\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)^2}\left( {tm} \right)$$ \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 5 + 1$

Khi đó ta có: $P = \dfrac{{\sqrt 5 + 1}}{{\sqrt 5 + 1 - 1}} = \dfrac{{\sqrt 5 + 1}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{5}$.

Câu 22 :

Rút gọn biểu thức $2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} $ với $a > 0$ ta được

A

$14\sqrt a + a\sqrt a $
B

$14\sqrt a - a\sqrt a $
C

$14\sqrt a + 2a\sqrt a $
D

$20\sqrt a - 2a\sqrt a $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một thương $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ với $A \ge 0,B > 0$ và công thức khai phương một tích $\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)$

-Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)$

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

-Cộng trừ các căn thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

Với $a>0$ ta có $2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} $$ = 2\sqrt a - \sqrt {9{a^2}.a} + {a^2}\dfrac{{\sqrt {16a} }}{a} + \dfrac{2}{{{a^2}}}.\sqrt {36{a^4}.a} $

$ = 2\sqrt a - 3a\sqrt a + 4a\sqrt a + \dfrac{2}{{{a^2}}}.6{a^2}\sqrt a $$ = 2\sqrt a - 3a\sqrt a + 4a\sqrt a + 12\sqrt a = 14\sqrt a + a\sqrt a $

Câu 23 :

Tìm $x$ biết $\sqrt[3]{{4 - 2x}} > 4$.

A

$x < 30$
B

$x > - 30$
C

$x < - 30$
D

$x > 30$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Áp dụng $\sqrt[3]{a} > b \Leftrightarrow a > {b^3}$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\sqrt[3]{{4 - 2x}} > 4 \Leftrightarrow 4 - 2x > {4^3} \Leftrightarrow 4 - 2x > 64 \Leftrightarrow 2x < - 60 \Leftrightarrow x < - 30$.

Câu 24 :

Rút gọn biểu thức $P = \dfrac{{2\sqrt 6 + \sqrt 3 + 4\sqrt 2 + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt {12} + \sqrt {18} } \right)} }}$ ta được

A

$P = \sqrt 3 - 1$
B

$P = \sqrt 3 + 1$
C

$P = 2\sqrt 3 $
D

$P = \sqrt 3 + 2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Sử dụng công thức khai phương một tích $\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \left( {A;B \ge 0} \right)$

+ Sử dụng hẳng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ và ${\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có $P = \dfrac{{2\sqrt 6 + \sqrt 3 + 4\sqrt 2 + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt {12} + \sqrt {18} } \right)} }}$

$ = \dfrac{{\left( {\sqrt 6 + 3 + 3\sqrt 2 } \right) + \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)}}{{\sqrt {2 + 3 + 6 + 2\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 + \sqrt 2 .\sqrt 6 + \sqrt 3 .\sqrt 6 } \right)} }}$

$ = \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right) + \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)}}{{\sqrt {2 + 3 + 6 + 2\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 + \sqrt 2 .\sqrt 6 + \sqrt 3 .\sqrt 6 } \right)} }}$

$ = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)}^2}} }}$

$ = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 }}$

$ = \sqrt 3 + 1.$

Vậy $P = \sqrt 3 + 1$ .

Câu 25 :

Giả sử $a;\,\,b;\,\,c$ là các số thực dương. Chọn câu đúng.

A

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
B

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
C

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $
D

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bài toán kết hợp cả hai bất đẳng thức quen thuộc là Cosi và Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức.

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

+ Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương: $a + b \ge 2\sqrt {ab} $.

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số $(a;\,\,b);\,\,(c;\,\,d)$ ta có ${\left( {ac + bd} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Theo bất đẳng thức Cô si:

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} \ge 2\sqrt {\sqrt {1 + {a^2}} \sqrt {1 + {b^2}} } = 2\sqrt[4]{(1 + {a^2}) (1 + {b^2})}.$

Theo bất đẳng thức Bunhia cốpxki:

$\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) = \left( {1 + {a^2}} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge {(a + b)^2}$

$ \Rightarrow \sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} \ge 2\sqrt {a + b} $

Tương tự: $\sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\sqrt {b + c} $$ \Rightarrow \sqrt {1 + {c^2}} + \sqrt {1 + {a^2}} \ge 2\sqrt {c + a} $

Cộng cả ba bất đẳng thức trên rồi chia cho 2 ta có:

$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $

Dấu “=” xảy ra khi $a = b = c = 1.$

Bài liên quan