Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 9

Đề kiểm tra 15 phút chương 5: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Đề số 1

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai?

A

$A{B^2} = BH.BC$
B

$A{C^2} = CH.BC$
C

$AB.AC = AH.BC$
D

$A{H^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}}$

Câu 2 :

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

A

$x = 3,6;y = 6,4$
B

$y = 3,6;x = 6,4$
C

$x = 4;y = 6$
D

$x = 2,8;y = 7,2$

Câu 3 :

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

A

$x = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};y = \sqrt {74} $
B

$y = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};x= \sqrt {74} $
C

$x = 4;y = 6$
D

$x = 2,8;y = 7,2$

Câu 4 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AH \bot BC$( $H$ thuộc $BC$ ). Cho biết $AB:AC = 3:4$ và $BC = 15cm.$ Tính độ dài đoạn thẳng $BH$.

A

$BH = 5,4$
B

$BH = 4,4$
C

$BH = 5,2$
D

$BH = 5$

Câu 5 :

Tính $x$ trong hình vẽ sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A

$x \approx 8,81$
B

$x \approx 8,82$
C

$x \approx 8,83$
D

$x \approx 8,80$

Câu 6 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 8\,cm,\,\,AC = 6cm.$ Tính tỉ số lượng giác $\tan C$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ $2$ ).

A

$\tan C \approx 0,87$
B

$\tan C \approx 0,86$
C

$\tan C \approx 0,88$
D

$\tan C \approx 0,89$

Câu 7 :

Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh $\sin 20^\circ $ và $\sin 70^\circ $

A

$\sin 20^\circ < \sin 70^\circ $
B

$\sin 20^\circ > \sin 70^\circ $
C

$\sin 20^\circ = \sin 70^\circ $
D

$\sin 20^\circ \ge \sin 70^\circ $

Câu 8 :

Tính giá trị biểu thức $B = \tan 1^\circ .\tan 2^\circ .\tan 3^\circ .....\tan88^\circ .\tan89^\circ $

A

$B = 44$
B

$B = 1$
C

$B = 45$
D

$B = 2$

Câu 9 :

Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$. Khi đó $\tan \widehat {MNP}$ bằng

A

$\dfrac{{MN}}{{NP}}$
B

$\dfrac{{MP}}{{NP}}$
C

$\dfrac{{MN}}{{MP}}$
D

$\dfrac{{MP}}{{MN}}$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai?

A

$A{B^2} = BH.BC$
B

$A{C^2} = CH.BC$
C

$AB.AC = AH.BC$
D

$A{H^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}}$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức

$A{C^2} = CH.BC$; $A{B^2} = BH.BC$; $AB.AC = BC.AH$và $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$

Nhận thấy phương án D: $A{H^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$ là sai.

Câu 2 :

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

A

$x = 3,6;y = 6,4$
B

$y = 3,6;x = 6,4$
C

$x = 4;y = 6$
D

$x = 2,8;y = 7,2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính $BC$ theo định lý Pytago

Bước 2: Tính $x,y$ theo hệ thức lượng $A{B^2} = BH.BC;A{C^2} = CH.BC$

Lời giải chi tiết :

Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 100 \Leftrightarrow BC = 10$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} $

$= \dfrac{{{6^2}}}{10} = 3,6$ hay $x = 3,6$

$ \Rightarrow CH = BC - BH $$= 10 - 3,6 = 6,4.$

hay $y = 6,4$.

Vậy $x = 3,6;y = 6,4.$

Câu 3 :

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

A

$x = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};y = \sqrt {74} $
B

$y = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};x= \sqrt {74} $
C

$x = 4;y = 6$
D

$x = 2,8;y = 7,2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính $BC$ theo định lý Pytago

Bước 2: Tính $x,y$ theo hệ thức lượng $AH.BC = AB.AC$

Lời giải chi tiết :

Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 74 \Leftrightarrow BC = \sqrt {74} $

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$AH.BC = AB.AC \Leftrightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{5.7}}{{\sqrt {74} }} = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}}$

Vậy $x = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};y = \sqrt {74} $

Câu 4 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AH \bot BC$( $H$ thuộc $BC$ ). Cho biết $AB:AC = 3:4$ và $BC = 15cm.$ Tính độ dài đoạn thẳng $BH$.

A

$BH = 5,4$
B

$BH = 4,4$
C

$BH = 5,2$
D

$BH = 5$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm $AB,AC$. $\left( {\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c}}{{b + d}}} \right)$

Bước 2: Tính $BH$ theo hệ thức $A{B^2} = BH.BC$

Lời giải chi tiết :

Ta có $AB:AC = 3:4$$ \Leftrightarrow \dfrac{{AB}}{3} = \dfrac{{AC}}{4} \Rightarrow \dfrac{{A{B^2}}}{9} = \dfrac{{A{C^2}}}{{16}} $$= \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{9+16}}= \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{25}}$ $=\dfrac{{B{C^2}}}{{25}}$$= \dfrac{{225}}{{25}} = 9$

(Vì theo định lý Pytago ta có $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow A{B^2} + A{C^2} = 225$)

Nên $\dfrac{{A{B^2}}}{9} = 9 \Rightarrow AB = 9$; $\dfrac{{A{C^2}}}{{16}} = 9 \Rightarrow AC = 12$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ ta có $A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{81}}{{15}} = 5,4$

Vậy $BH = 5,4$.

Câu 5 :

Tính $x$ trong hình vẽ sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A

$x \approx 8,81$
B

$x \approx 8,82$
C

$x \approx 8,83$
D

$x \approx 8,80$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tính $x$ theo hệ thức lượng $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$

Lời giải chi tiết :

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông $ABC$ ta có:

$\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}} $$\Leftrightarrow A{H^2} = \dfrac{{A{B^2}.A{C^2}}}{{A{B^2} + A{C^2} }}$

$ \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{12.13}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{13}^2}} }} \approx 8,82$

Vậy $x \approx 8,82$.

Câu 6 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 8\,cm,\,\,AC = 6cm.$ Tính tỉ số lượng giác $\tan C$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ $2$ ).

A

$\tan C \approx 0,87$
B

$\tan C \approx 0,86$
C

$\tan C \approx 0,88$
D

$\tan C \approx 0,89$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính cạnh còn lại theo định lý Pytago

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lời giải chi tiết :

Theo định lý Py-ta-go ta có: $B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} $ suy ra $AB = \sqrt {{8^2} - {6^2}} \approx 5,29$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} \approx \dfrac{{5,29}}{6} \approx 0,88.$

Câu 7 :

Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh $\sin 20^\circ $ và $\sin 70^\circ $

A

$\sin 20^\circ < \sin 70^\circ $
B

$\sin 20^\circ > \sin 70^\circ $
C

$\sin 20^\circ = \sin 70^\circ $
D

$\sin 20^\circ \ge \sin 70^\circ $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng nhận xét : Với góc nhọn $\alpha ,\,\beta ,$ ta có: $\sin \alpha < \sin \beta \Leftrightarrow \alpha < \beta $

Lời giải chi tiết :

Vì $20^\circ < 70^\circ \Leftrightarrow \sin 20^\circ < \sin 70^\circ $.

Câu 8 :

Tính giá trị biểu thức $B = \tan 1^\circ .\tan 2^\circ .\tan 3^\circ .....\tan88^\circ .\tan89^\circ $

A

$B = 44$
B

$B = 1$
C

$B = 45$
D

$B = 2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng một góc hoặc cùng loại (sử dụng tính chất "Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia")

Bước 2 : Sử dụng đẳng thức lượng giác $\tan \alpha .\cot\alpha = 1$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\tan 89^\circ = \cot1^\circ ;\tan 88^\circ = \cot2^\circ ;..;\tan 46^\circ = \cot44^\circ $ và $\tan \alpha .\cot\alpha = 1$

Nên $B = \left( {\tan 1^\circ .\tan 89^\circ } \right).\left( {\tan 2^\circ .\tan 88^\circ } \right)....\left( {\tan 46^\circ .\tan 44^\circ } \right).\tan 45^\circ $

$ = \left( {\tan 1^\circ .\cot 1^\circ } \right).\left( {\tan 2^\circ .\cot 2^\circ } \right).\left( {\tan 3^\circ .\cot 3^\circ } \right)....\left( {\tan 44^\circ .\cot 44^\circ } \right).\tan 45^\circ $

$ = 1.1.1....1.1 = 1$

Vậy $B = 1$.

Câu 9 :

Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$. Khi đó $\tan \widehat {MNP}$ bằng

A

$\dfrac{{MN}}{{NP}}$
B

$\dfrac{{MP}}{{NP}}$
C

$\dfrac{{MN}}{{MP}}$
D

$\dfrac{{MP}}{{MN}}$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Ta có $\tan \widehat {MNP} = \dfrac{{MP}}{{MN}}$

Bài liên quan

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...