Đề kiểm tra 1 tiết chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn - Đề số 1Đề bài
Câu 1 :
Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng
Câu 2 :
Trong các khẳng định sau, số khẳng định đúng là: a) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 3x}}{x} = 0\) là \(\left\{ {0; - 3} \right\}\). b) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\) là \(\left\{ { - 2} \right\}\). c) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - 8}}{{x - 7}} = \dfrac{1}{{7 - x}} + 8\) là \(\left\{ 0 \right\}\).
Câu 3 :
Chu vi một mảnh vườn hình chữ nhật là \(45\,m\) . Biết chiều dài hơn chiều rộng \(5\,m\) . Nếu gọi chiều rộng mảnh vườn là \(x\) \(\left( {x > 0;\,{\rm{m}}} \right)\) thì Phương trình của bài toán là
Câu 4 :
Số thứ nhất gấp $6$ lần số thứ hai. Nếu gọi số thứ nhất là $x$ thì số thứ hai là:
Câu 5 :
Các nghiệm của phương trình \(\left( {2 + 6x} \right)\left( { - {x^2} - 4} \right) = 0\) là:
Câu 6 :
Hãy chọn câu đúng. Điều kiện xác định của phương trình \(\dfrac{x}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{{x^2} - 1}} = 0\) là
Câu 7 :
Phương trình \(2x - 3 = 12 - 3x\) có bao nhiêu nghiệm?
Câu 8 :
Phương trình $x - 12 = 6 - x$ có nghiệm là:
Câu 9 :
Phương trình: \(\left( {4 + 2x} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\) có nghiệm là:
Câu 10 :
Phương trình \(\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\) có nghiệm là
Câu 11 :
Một hình chữ nhật có chu vi $372m$ nếu tăng chiều dài $21m$ và tăng chiều rộng $10m$ thì diện tích tăng $2862{m^2}$. Chiều dài của hình chữ nhật là:
Câu 12 :
Hai phương trình nào sau đây là hai phương trình tương đương?
Câu 13 :
Gọi \({x_0}\) là nghiệm của phương trình \(2.\left( {x - 3} \right) + 5x\left( {x - 1} \right) = 5{x^2}\). Chọn khẳng định đúng.
Câu 14 :
Gọi \({x_1}\) là nghiệm của phương trình ${x^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} - 2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^3} + x - 4 - \left( {x - 4} \right)$ và \({x_2}\) là nghiệm của phương trình $x + \dfrac{{2x - 7}}{2} = 5 - \dfrac{{x + 6}}{2} + \dfrac{{3x + 1}}{5}$. Tính \({x_1}.{x_2}\)
Câu 15 :
Tổng các nghiệm của phương trình \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\) là:
Câu 16 :
Chọn khẳng định đúng.
Câu 17 :
Nghiệm lớn nhất của phương trình \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\) là
Câu 18 :
Cho hai biểu thức : \(A = 1 + \dfrac{1}{{2 + x}}\) và \(B = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}\) . Tìm $x$ sao cho \(A = B\) .
Câu 19 :
Cho phương trình $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$ . Bạn Long giải phương trình như sau: Bước 1: ĐKXĐ $x \ne 1;\,x \ne 2$ Bước 2: $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$\( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{ -1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\) Bước 3: \( \Rightarrow x - 2 - 7x + 7 = - 1 \Leftrightarrow - 6x = - 6 \Leftrightarrow x = 1\) Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\}\). Chọn câu đúng.
Câu 20 :
Cho phương trình \(\left( 1 \right)\): \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0\) và phương trình \(\left( 2 \right)\): \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng.
Câu 21 :
Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản xuất $50$ sản phầm. Khi thực hiện tổ đã sản xuất được $57$ sản phẩm một ngày. Do đó hoàn thành trước kế hoạch $1$ ngày và còn vượt mức $13$ sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Câu 22 :
Một công việc được giao cho hai người. Người thứ nhất có thể làm xong công việc một mình trong 24 giờ. Lúc đầu, người thứ nhất làm một mình và sau \(\dfrac{{26}}{3}\) giờ người thứ hai cùng làm. Hai người làm chung trong \(\dfrac{{22}}{3}\) giờ thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm một mình thì người thứ hai cần bao lâu để hoàn thành công việc.
Câu 23 :
Một đội máy cày dự định cày $40$ ha ruộng $1$ ngày. Do sự cố gắng, đội đã cày được $52$ ha mỗi ngày. Vì vậy, chẳng những đội đã hoàn thành sớm hơn $2$ ngày mà còn cày vượt mức được $4$ ha nữa. Tính diện tích ruộng đội phải cày theo dự định.
Câu 24 :
Cho phương trình $\left( 1 \right):$ \(x\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = 0\) và phương trình \(\left( 2 \right):\) \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = 0\). Chọn khẳng định đúng.
Câu 25 :
Nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x + a}}{{b + c}} + \dfrac{{x + b}}{{a + c}} + \dfrac{{x + c}}{{a + b}} = - 3\) là
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Phương trình dạng \(ax + b = 0,\)với a và b là hai số đã cho và \(a \ne 0,\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
Câu 2 :
Trong các khẳng định sau, số khẳng định đúng là: a) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 3x}}{x} = 0\) là \(\left\{ {0; - 3} \right\}\). b) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\) là \(\left\{ { - 2} \right\}\). c) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - 8}}{{x - 7}} = \dfrac{1}{{7 - x}} + 8\) là \(\left\{ 0 \right\}\).
Đáp án : A Phương pháp giải :
+ Tìm ĐKXĐ của phương trình. + Phương trình \(\dfrac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}} = 0 \Rightarrow A\left( x \right) = 0\) + So sánh với điều kiện và kết luận. Lời giải chi tiết :
* Xét phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 3x}}{x} = 0\) ĐK: \(x \ne 0\) Ta có \(\dfrac{{{x^2} + 3x}}{x} = 0\)\( \Rightarrow {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\\x + 3 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\left( {KTM} \right)\\x = - 3\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\) Vậy tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 3x}}{x} = 0\) là \(\left\{ { - 3} \right\}\). * Xét phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\) ĐK: \(x \ne 2\) Ta có \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\)\( \Rightarrow {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {KTM} \right)\\x = - 2\left( {TM} \right)\end{array} \right.\) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\) là \(\left\{ { - 2} \right\}\). * Xét phương trình $\dfrac{{x - 8}}{{x - 7}} = \dfrac{{ - 1}}{{x - 7}} + 8$ ĐKXĐ: $x \ne 7$ $\dfrac{{x - 8}}{{x - 7}} = \dfrac{{ - 1}}{{x - 7}} + 8$\( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 8}}{{x - 7}} = \dfrac{{ - 1}}{{x - 7}} + \dfrac{{8\left( {x - 7} \right)}}{{x - 7}}\) $ \Rightarrow x - 8 = - 1 + 8.\left( {x - 7} \right)$ $ \Leftrightarrow x - 8 = - 1 + 8x - 56$ $ \Leftrightarrow x - 8x = - 1 - 56 + 8$ $ \Leftrightarrow - 7x = - 49 \Leftrightarrow x = 7$ (không thỏa mãn ĐKXĐ ). Vậy $S = \emptyset $ Do đó có \(1\) khẳng định b đúng.
Câu 3 :
Chu vi một mảnh vườn hình chữ nhật là \(45\,m\) . Biết chiều dài hơn chiều rộng \(5\,m\) . Nếu gọi chiều rộng mảnh vườn là \(x\) \(\left( {x > 0;\,{\rm{m}}} \right)\) thì Phương trình của bài toán là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết từ đó lập phương trình của bài toán. Lời giải chi tiết :
Gọi chiều rộng mảnh vườn là \(x\) \(\left( {x > 0;\,{\rm{m}}} \right)\) Vì chiều dài hơn chiều rộng \(5\,m\) nên chiều dài mảnh vườn là \(x + 5\,\) (m). Vì chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là \(45\,m\) nên ta có phương trình: \(\left( {x + x + 5} \right).2 = 45 \)\(\Leftrightarrow 2\left( {2x + 5} \right) = 45\).
Câu 4 :
Số thứ nhất gấp $6$ lần số thứ hai. Nếu gọi số thứ nhất là $x$ thì số thứ hai là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. Lời giải chi tiết :
Vì số thứ nhất gấp \(6\) lần số thứ hai nên số thứ hai bằng \(\dfrac{1}{6}\) lần số thứ nhất. Vậy số thứ nhất là \(x\) thì số thứ hai là \(\dfrac{x}{6}\).
Câu 5 :
Các nghiệm của phương trình \(\left( {2 + 6x} \right)\left( { - {x^2} - 4} \right) = 0\) là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Ta sử dụng \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left( {2 + 6x} \right)\left( { - {x^2} - 4} \right) = 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 + 6x = 0\\ - {x^2} - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = - 2\\ - {x^2} = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{3}\\{x^2} = - 4\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\end{array}\) Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = - \dfrac{1}{3}\) .
Câu 6 :
Hãy chọn câu đúng. Điều kiện xác định của phương trình \(\dfrac{x}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{{x^2} - 1}} = 0\) là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Tìm các điều kiện để tất cả các mẫu thức trong phương trình khác $0$. Lời giải chi tiết :
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\{x^2} - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\{x^2} \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne \pm 1\end{array} \right.\)
Câu 7 :
Phương trình \(2x - 3 = 12 - 3x\) có bao nhiêu nghiệm?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hạng tử tự do về vế phải, thu gọn rồi chia hai vế cho hệ số của ẩn (nếu cần) ta tìm được nghiệm( chú ý khi chuyển vế hạng tử phải đổi dấu hạng tử đó). Lời giải chi tiết :
Ta có \(\begin{array}{l}2x - 3 = 12 - 3x\\ \Leftrightarrow 2x + 3x = 12 + 3\\ \Leftrightarrow 5x = 15\\ \Leftrightarrow x = 15:5\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}\) Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất \(x = 3\) .
Câu 8 :
Phương trình $x - 12 = 6 - x$ có nghiệm là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hạng tử tự do về vế phải, thu gọn rồi chia hai vế cho hệ số của ẩn (nếu cần) ta tìm được nghiệm( chú ý khi chuyển vế hạng tử phải đổi dấu hạng tử đó). Lời giải chi tiết :
Ta có $x - 12 = 6 - x$ \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + x = 6 + 12\\ \Leftrightarrow 2x = 18\\ \Leftrightarrow x = 18:2\\ \Leftrightarrow x = 9\end{array}\) Vậy phương trình có nghiệm \(x = 9\) .
Câu 9 :
Phương trình: \(\left( {4 + 2x} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\) có nghiệm là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Ta sử dụng \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left( {4 + 2x} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 + 2x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - 4\\x = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\) Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 1;\,x = - 2\) .
Câu 10 :
Phương trình \(\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\) có nghiệm là
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Tìm ĐKXĐ của phương trình. + Quy đồng mẫu rồi khử mẫu. + Giải phương trình vừa nhận được . + Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm. Lời giải chi tiết :
ĐKXĐ: \(x \ne \pm 3\) \(\begin{array}{l}\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {3 - x} \right)}} = \dfrac{{x\left( {3 - x} \right) - 3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {3 - x} \right)}}\\ \Rightarrow 6x = x\left( {3 - x} \right) - 3\left( {x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow 6x = 3x - {x^2} - 3x - 9\\ \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = - 3\,\,\,\,\left( {ktm} \right).\end{array}\) Ta thấy \(x = - 3\) không thỏa mãn ĐKXĐ nên phương trình vô nghiệm.
Câu 11 :
Một hình chữ nhật có chu vi $372m$ nếu tăng chiều dài $21m$ và tăng chiều rộng $10m$ thì diện tích tăng $2862{m^2}$. Chiều dài của hình chữ nhật là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Giải theo các bước sau: + Lập phương trình: Chọn ẩn và đặt điều kiện; biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết; lập Phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng + Giải phương trình + Đối chiếu điều kiện rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
Nửa chu vi của hình chữ nhật là: \(372:2 = 186\,\,\left( m \right).\) Gọi chiều dài hình chữ nhật là \(x\,\,\left( m \right),\,\,\,\,\left( {0 < x < 186} \right).\) \( \Rightarrow \) Chiều rộng hình chữ nhật là: \(186 - x\,\,\,\left( m \right).\) Diện tích hình chữ nhật là: \(x\left( {186 - x} \right) = 186x - {x^2}\,\,\,\,\left( {{m^2}} \right).\) Tăng chiều dài lên 21m thì chiều dài mới là: \(x + 21\,\,\,\left( m \right).\) Tăng chiều rộng lên 10m thì chiều rộng mới là: \(186 - x + 10 = 196 - x\,\,\,\left( m \right).\) Diện tích hình chữ nhật mới là: \(\left( {x + 21} \right)\left( {196 - x} \right) = 175x - {x^2} + 4116\,\,\,\left( {{m^2}} \right).\) Theo đề bài ta có phương trình: \(186x - {x^2} + 2862 = 175x - {x^2} + 4116\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 11x = 1254\\ \Leftrightarrow x = 114\,\,\,\left( {TM} \right).\end{array}\) Vậy chiều dài hình chữ nhật là $114m$.
Câu 12 :
Hai phương trình nào sau đây là hai phương trình tương đương?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Tìm tập nghiệm của mỗi phương trình Bước 2: Nếu các tập nghiệm giống nhau thì hai phương trình tương đương, nếu không giống nhau thì hai phương trình không tương đương. Hoặc chỉ ra một giá trị của ẩn là nghiệm của phương trình này nhưng không là nghiệm của phương trình kia thì hai phương trình đã cho không tương đương. Lời giải chi tiết :
+ Xét \(x - 2 = 4 \Leftrightarrow x = 6\) và \(x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1\) nên hai phương trình \(x - 2 = 4\) và \(x + 1 = 2\) không tương đương. + Xét phương trình \({x^2} = 25 \Leftrightarrow x = \pm 5\) nên phương trình \({x^2} = 25\) có hai nghiệm. Suy ra hai phương trình \(x = 5\) và \({x^2} = 25\) không tương đương. + Xét phương trình \(4 + x = 5 \Leftrightarrow x = 1\) , mà \(x = 1\) không là nghiệm của phương trình \({x^3} - 2x = 0\) (vì \({1^3} - 2.1 = - 1 \ne 0\) ) nên hai phương trình \(4 + x = 5\) và \({x^3} - 2x = 0\) không tương đương. + Xét phương trình \(2{x^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\) và \(\left| x \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\) Nhận thấy hai phương trình trên có cùng tập nghiệm $\left\{ {2; - 2} \right\}$ nên chúng tương đương.
Câu 13 :
Gọi \({x_0}\) là nghiệm của phương trình \(2.\left( {x - 3} \right) + 5x\left( {x - 1} \right) = 5{x^2}\). Chọn khẳng định đúng.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng các quy tắc phá ngoặc Bước 2: Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hạng tử tự do về vế phải, thu gọn rồi chia hai vế cho hệ số của ẩn (nếu cần) ta tìm được nghiệm( chú ý khi chuyển vế hạng tử phải đổi dấu hạng tử đó). Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}2\left( {x - 3} \right) + 5x\left( {x - 1} \right) = 5{x^2}\\ \Leftrightarrow 2x - 6 + 5{x^2} - 5x = 5{x^2}\\ \Leftrightarrow 5{x^2} - 5{x^2} + 2x - 5x = 6\\ \Leftrightarrow - 3x = 6\\ \Leftrightarrow x = - 2\end{array}\) Vậy nghiệm của phương trình là \({x_0} = - 2 > - 3\).
Câu 14 :
Gọi \({x_1}\) là nghiệm của phương trình ${x^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} - 2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^3} + x - 4 - \left( {x - 4} \right)$ và \({x_2}\) là nghiệm của phương trình $x + \dfrac{{2x - 7}}{2} = 5 - \dfrac{{x + 6}}{2} + \dfrac{{3x + 1}}{5}$. Tính \({x_1}.{x_2}\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Giải các phương trình đã cho để tìm nghiệm \({x_1};\,{x_2}\) . Sau đó tính tích \({x_1}.{x_2}\) . Lời giải chi tiết :
+ Ta có ${x^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} - 2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^3} + x - 4 - \left( {x - 4} \right)$ \( \Leftrightarrow {x^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} - 2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^3} - x + 4 + \left( {x - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 2\left( {{x^2} - 1} \right) - x + 4 + x - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 2 - 2{x^2} + 2 - x + 4 + x - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {2{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( { - 4x - x + x} \right) + \left( {2 + 2 + 4 - 4} \right) = 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow - 4x = - 4\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}\) Suy ra \({x_1} = 1\) . + Ta có $x + \dfrac{{2x - 7}}{2} = 5 - \dfrac{{x + 6}}{2} + \dfrac{{3x + 1}}{5}$ \( \Leftrightarrow \dfrac{{10x}}{{10}} + \dfrac{{5\left( {2x - 7} \right)}}{{10}} = \dfrac{{50}}{{10}} - \dfrac{{5\left( {x + 6} \right)}}{{10}} + \dfrac{{2\left( {3x + 1} \right)}}{{10}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{10x + 10x - 35}}{{10}} = \dfrac{{50 - 5x - 30 + 6x + 2}}{{10}}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 20x - 35 = x + 22\\ \Leftrightarrow 20x - x = 22 + 35\\ \Leftrightarrow 19x = 57\\ \Leftrightarrow x = 57:19\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}\) Suy ra \({x_2} = 3\) . Nên \({x_1}.{x_2} = 1.3 = 3\) .
Câu 15 :
Tổng các nghiệm của phương trình \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Ta sử dụng \(A\left( x \right).B\left( x \right).C\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\) hoặc \(C\left( x \right) = 0\). Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4 = 0\\x + 6 = 0\\x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\x = - 6\\x = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\\x = - 6\\x = 8\end{array} \right.\) Tổng các nghiệm của phương trình là \(2 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 6} \right) + 8 = 2\) .
Câu 16 :
Chọn khẳng định đúng.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 8x\left( {3x - 5} \right) - 6\left( {3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {8x - 6} \right)\left( {3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x - 6 = 0\\3x - 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = 6\\3x = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{4}\\x = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\end{array}\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương \(x = \dfrac{3}{4};\,x = \dfrac{5}{3}\) .
Câu 17 :
Nghiệm lớn nhất của phương trình \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\) là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Chuyển vế, biến đổi phương trình về dạng \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1 - x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\x = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\) Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ { - 1;1;4} \right\}\) . Nghiệm lớn nhất của phương trình là \(x = 4.\)
Câu 18 :
Cho hai biểu thức : \(A = 1 + \dfrac{1}{{2 + x}}\) và \(B = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}\) . Tìm $x$ sao cho \(A = B\) .
Đáp án : D Phương pháp giải :
Cho \(A = B\) rồi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu theo các bước: + Tìm ĐKXĐ của phương trình. + Quy đồng mẫu rồi khử mẫu. + Giải phương trình vừa nhận được . + Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm. Lời giải chi tiết :
Để \(A = B\) thì \(1 + \dfrac{1}{{2 + x}} = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}\) . ĐKXĐ: \(x \ne - 2\) \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \dfrac{1}{{2 + x}} = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}\,\,\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{{12}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}} = \dfrac{{12}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}\\ \Rightarrow {x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12\\ \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - x + 2x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,(tm)\\x = 1\,\,\,\,(tm)\\x = - 2\,\,\,\,(ktm)\end{array} \right..\end{array}\) Vậy để \(A = B\) thì \(x = 0\) hoặc \(x = 1\).
Câu 19 :
Cho phương trình $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$ . Bạn Long giải phương trình như sau: Bước 1: ĐKXĐ $x \ne 1;\,x \ne 2$ Bước 2: $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$\( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{ -1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\) Bước 3: \( \Rightarrow x - 2 - 7x + 7 = - 1 \Leftrightarrow - 6x = - 6 \Leftrightarrow x = 1\) Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\}\). Chọn câu đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Tìm ĐKXĐ của phương trình. + Quy đồng mẫu rồi khử mẫu. + Giải phương trình vừa nhận được. + Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm. Lời giải chi tiết :
ĐKXĐ: $x \ne 1;\,x \ne 2$ Ta có $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$\( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\) \( \Rightarrow x - 2 - 7x + 7 = - 1 \Leftrightarrow - 6x = - 6 \Leftrightarrow x = 1\)(không thỏa mãn ĐK) Vậy phương trình vô nghiệm. Bạn Long sai ở bước $3$ do không đối chiếu với điều kiện ban đầu.
Câu 20 :
Cho phương trình \(\left( 1 \right)\): \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0\) và phương trình \(\left( 2 \right)\): \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Giải từng phương trình theo các bước sau và kết luận. + Tìm ĐKXĐ của phương trình. + Quy đồng mẫu rồi khử mẫu. + Giải phương trình vừa nhận được. + Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm. Lời giải chi tiết :
*Xét phương trình \(\left( 1 \right)\): \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0\) ĐKXĐ: \(x \ne 0;x \ne 2\) Khi đó \(\begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{1\left( {x - 2} \right) + 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = 0\\ \Rightarrow 1\left( {x - 2} \right) + 2x = 0 \Leftrightarrow x - 2 + 2x = 0\\ \Leftrightarrow 3x = 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\,\left( {TM} \right)\end{array}\) Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{2}{3}\). * Xét phương trình \(\left( 2 \right)\): \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 2\) Khi đó \(\begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} + \dfrac{{5x - 2}}{{{x^2} - 4}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) + 5x - 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) + 5x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 - {x^2} - 2x + 5x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 0x = 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}.\end{array}\) Kết hợp ĐKXĐ ta có phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \ne \pm 2\). Do đó phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiều nghiệm hơn phương trình \(\left( 1 \right)\).
Câu 21 :
Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản xuất $50$ sản phầm. Khi thực hiện tổ đã sản xuất được $57$ sản phẩm một ngày. Do đó hoàn thành trước kế hoạch $1$ ngày và còn vượt mức $13$ sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Giải bài toán năng suất bằng cách lập phương trình +) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. +) Sau đó dựa vào giả thiết của đề bài để lập phương trình. +) Giải phương trình rồi so sánh điều kiện để kết luận. Sử dụng: Năng suất bằng tỉ số giữa khối lượng công việc và thời gian hoàn thành Lời giải chi tiết :
Gọi tổng sản phẩm tổ phải sản xuất theo kế hoạch là \(x\,\left( {x > 0} \right)\) (sản phẩm) Thời gian theo kế hoạch là \(\dfrac{x}{{50}}\) (ngày) Theo thực tế số sản phẩm tổ đã làm là \(x + 13\)(sản phẩm) Vì thực tế tổ hoàn thành trước kế hoạch \(1\) ngày nên ta có phương trình \(\dfrac{{x + 13}}{{57}} + 1 = \dfrac{x}{{50}} \Leftrightarrow 50\left( {x + 13} \right) + 2850 = 57x\) \( \Leftrightarrow 7x = 3500 \Leftrightarrow x = 500\,\left( {TM} \right)\) Vậy tổng sản phẩm theo kế hoạch là \(500\) sản phẩm.
Câu 22 :
Một công việc được giao cho hai người. Người thứ nhất có thể làm xong công việc một mình trong 24 giờ. Lúc đầu, người thứ nhất làm một mình và sau \(\dfrac{{26}}{3}\) giờ người thứ hai cùng làm. Hai người làm chung trong \(\dfrac{{22}}{3}\) giờ thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm một mình thì người thứ hai cần bao lâu để hoàn thành công việc.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Giải theo các bước sau: + Lập phương trình: Chọn ẩn và đặt điều kiện; biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết; lập Phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng + Giải phương trình + Đối chiếu điều kiện rồi kết luận Lời giải chi tiết :
Gọi thời gian làm một mình xong việc của người thứ hai là $x$ (giờ), điều kiện:\(x > \dfrac{{22}}{3}\) . Biểu thị công việc bằng $1$ ta có: Năng suất của người thứ nhất và thứ hai lần lượt là \(\dfrac{1}{{24}}\) (công việc/giờ) và \(\dfrac{1}{x}\) (công việc/giờ). Năng suất làm chung của hai người là \(\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}\) (công việc/giờ) Khối lượng công việc người thứ nhất làm một mình trong $\dfrac{{26}}{3}$ giờ là \(\dfrac{1}{{24}}.\dfrac{{26}}{3} = \dfrac{{13}}{{36}}\) (công việc) Khối lượng công việc hai người làm chung trong \(\dfrac{{22}}{3}\) giờ là \(\dfrac{{22}}{3}.\left( {\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}} \right)\) (công việc) Theo bài ra ta có phương trình: \(\dfrac{{13}}{{36}} + \dfrac{{22}}{3}.\left( {\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}} \right) = 1 \)\(\Leftrightarrow \dfrac{{22}}{3}.\left( {\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}} \right) = \dfrac{{23}}{{36}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{{23}}{{264}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{22}} \Leftrightarrow x = 22\,\left( {TM} \right)\) Vậy nếu làm riêng người thứ hai cần làm trong $22$ giờ thì xong công việc.
Câu 23 :
Một đội máy cày dự định cày $40$ ha ruộng $1$ ngày. Do sự cố gắng, đội đã cày được $52$ ha mỗi ngày. Vì vậy, chẳng những đội đã hoàn thành sớm hơn $2$ ngày mà còn cày vượt mức được $4$ ha nữa. Tính diện tích ruộng đội phải cày theo dự định.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Giải theo các bước sau: + Lập phương trình: Chọn ẩn và đặt điều kiện; biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết; lập Phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng + Giải phương trình + Đối chiếu điều kiện rồi kết luận Lời giải chi tiết :
Gọi số ngày dự kiến đội hoàn thành cày ruộng theo kế hoạch là \(x\) (ngày, $x > 0$ ). Đội hoàn thành diện tích ruộng theo kế hoạch là: \(40x\) (ha). Thời gian thực tế đội hoàn thành diện tích ruộng là: \(x - 2\) (ngày). Đội hoàn thành diện tích ruộng theo thực tế là: \(52(x - 2)\) (ha). Vì tổ vượt mức \(4\) ha nên ta có phương trình: \(52\left( {x - 2} \right) = 40x + 4 \Leftrightarrow 12x = 108\) \( \Leftrightarrow x = 9\) (thỏa mãn) Vậy diện tích ruộng cần cày theo dự định là \(9.40 = 360\,\) ha.
Câu 24 :
Cho phương trình $\left( 1 \right):$ \(x\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = 0\) và phương trình \(\left( 2 \right):\) \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = 0\). Chọn khẳng định đúng.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Phương trình tích $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.$ , giải các phương trình $A\left( x \right) = 0;B\left( x \right) = 0$ rồi lấy hợp tất cả các nghiệm của chúng. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình $\left( 1 \right):$\(x\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 4x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + 1 = 0\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\) Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = 0\). Xét phương trình \(\left( 2 \right):\) \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\{x^2} + 4x + 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{\left( {x + 2} \right)^2} + 1 = 0\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\) Vậy phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm \(x = - 1;\,x = 1\).
Câu 25 :
Nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x + a}}{{b + c}} + \dfrac{{x + b}}{{a + c}} + \dfrac{{x + c}}{{a + b}} = - 3\) là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Chuyển vế, cộng mỗi phân số bên vế trái với số \(1\). Chia làm ba nhóm số hạng. Thực hiện phép qui đồng từng nhóm cho hợp lý để xuất hiện nhân tử chung. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\begin{array}{l}\dfrac{{x + a}}{{b + c}} + \dfrac{{x + b}}{{a + c}} + \dfrac{{x + c}}{{a + b}} = - 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + a}}{{b + c}} + \dfrac{{x + b}}{{a + c}} + \dfrac{{x + c}}{{a + b}} +3=0\\\Leftrightarrow\left( {\dfrac{{x + a}}{{b + c}} + 1} \right) + \left( {\dfrac{{x + b}}{{a + c}} + 1} \right) + \left( {\dfrac{{x + c}}{{a + b}} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + a + b + c}}{{b + c}} + \dfrac{{x + a + b + c}}{{a + c}} + \dfrac{{x + a + b + c}}{{a + b}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + a + b + c = 0\\ \Leftrightarrow x = - \left( {a + b + c} \right)\end{array}\) Vậy phương trình có nghiệm \(x = - \left( {a + b + c} \right)\). |
