Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vecto - SGK Toán 10 Cánh diều

A. Lý thuyết

1. Tổng của hai vecto

a) Định nghĩa

Phép lấy tổng của hai vecto còn được gọi là phép cộng vecto.

b) Quy tắc hình bình hành

c) Tính chất

2. Hiệu của hai vecto

a) Hai vecto đối nhau

Quy ước: Vecto đối của vecto $\overrightarrow 0$ là vecto $\overrightarrow 0$.

Nhận xét:

+) $\overrightarrow a  + ( - \overrightarrow a ) = ( - \overrightarrow a ) + \overrightarrow a$.

+) Hai vecto $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$ là hai vecto đối nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow 0$.

+) Với hai điểm A, B, ta có: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow 0$.

Chú ý:

b) Hiệu của hai vecto

Phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto.

Nhận xét: Với ba điểm A, B, O bất kì, ta có: $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA}$.

B. Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AM}$.

Giải:

Vì $\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {BM}$ nên $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AM}$.

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh $\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right|$.

Giải:

Theo quy tắc hình bình hành, ta có:

$\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}$, $\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BD}$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC$, $\left| {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD$.

Do AC = BD nên $\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right|$.

Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD}$.

Giải:

Ta có $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}$

$= \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}$ (tính chất giao hoán)

$= \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CD}$ (tính chất kết hợp)

$= \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}$ (quy tắc ba điểm)

$= \overrightarrow {AD}$ (quy tắc ba điểm).

Bài 4: Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0$.

Giải:

Ta có $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {CB}  = \left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {DD}  = \overrightarrow 0$.