Giải mục I trang 83, 84, 85 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

Hoạt động 1

Một vât dịch chuyển từ A đến B và tiếp tục dịch chuyển từ B đến C (Hình 49).

a) Biểu diễn vecto dịch chuyển của vật từ A đến B và từ B đến C.

b) Xác định vecto dịch chuyển tổng hợp của vật

Lời giải chi tiết:

a) vecto dịch chuyển của vật từ A đến B là $\overrightarrow {AB}$và từ B đến C là $\overrightarrow {BC}$

b) Tóm lại vật đó dịch chuyển từ A đến C, vecto dịch chuyển tổng hợp của vật là $\overrightarrow {AC}$

Hoạt động 2

Cho hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$. Lấy một điểm A tùy ý.

a) Vẽ $\overrightarrow {AB}  = a$, $\overrightarrow {BC}  = b$

b) Tổng của hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$bằng vecto nào?

Phương pháp giải:

a) Nêu cách xác định điểm B, điểm C.

b) Xác định tổng của hai vecto $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BC}$

Lời giải chi tiết:

a) Gọi M, N lần lượt là điểm đầu và điểm cuối của vecto $\overrightarrow a$.

Vì $\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AB}$ nên tứ giác MNBA là hình bình hành.

Nói cách khác B là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto $\overrightarrow a$ và điểm A.

Tương tự, C là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto $\overrightarrow b$ và điểm B.

b) Dễ thấy: tổng của hai vecto $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BC}$ là vecto $\overrightarrow {AC}$.

Do đó tổng của hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$bằng vecto $\overrightarrow {AC}$.

Ta có viết: $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$

LT – VD 1

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh $\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AN}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Chứng minh $\overrightarrow {PB}  = \overrightarrow {NM} ;\;\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {NC}$

Bước 2: Tính tổng $\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AN}$

Lời giải chi tiết:

Do M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

$\Rightarrow MN = \frac{{AB}}{2} = PB$ và MN // PB.

$\Rightarrow \overrightarrow {PB}  = \overrightarrow {NM}$

Ta có: $\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC}$

Lại có: $\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AN}$ (do N là trung điểm của AC)

Vậy $\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AN}$

Hoạt động 3

Cho ABCD là hình bình hành (Hình 52). So sánh:

a) Hai vecto $\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {BC}$.

b) Vecto tổng $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}$ và vecto $\overrightarrow {AC}$

Phương pháp giải:

a) Nhận xét về giá, hướng và độ dài của hai vecto đó.

b) Thay vecto $\overrightarrow {AD}$ bởi vecto $\overrightarrow {BC}$trong tổng rồi tính.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AD//BC\\AD = BC\end{array} \right.$ (do tứ giác ABCD là hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}$

b) Ta có: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$

LT-VD 2

Hãy giải thích hướng đi của thuyền ở Hình 48.

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi tên các lực tác động lên thuyền.

Bước 2: Vận dụng quy tắc hình bình hành tính tổng hai lực.

Lời giải chi tiết:

Gọi vecto $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD}$ là các vecto biểu diễn lực mà hai người cùng tác động lên điểm A của thuyền.

Khi đó thuyền chịu một lực là tổng hai lực kéo đó.

Vậy thuyền đi theo hướng của vecto tổng $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}$

Vẽ hình bình hành ABCD. Khi đo ta có: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}$

Vậy khi hai người cùng kéo, thuyền đi theo vecto đường chéo của hình bình hành tạo bởi hai lực kéo của hai người.

LT-VD 3

Cho hình bình hành ABCD và điểm E bất kì. Chứng minh: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AE}$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Sử dụng tính chất giao hoán, ta tính: $(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) + \overrightarrow {CE}$

Bước 2: Vận dụng quy tắc hình bình hành, chỉ ra $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}$từ đó suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {AD}  = (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) + \overrightarrow {CE}$ (tính chất giao hoán)

Mà theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}$

Suy ra $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AE}$

Vậy $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AE}$ với điểm E bất kì.