Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto - SGK Toán 10 Kết nối tri thức

1. GÓC GIỮA HAI VECTO 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Quảng cáo

1. GÓC GIỮA HAI VECTO

Cho hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) khác \(\overrightarrow 0 \). Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) , kí hiệu \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\)

a) Cách xác định góc: Chọn điểm A bất kì, vẽ \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow v \). Khi đó \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \widehat {BAC}\).

 

b) Các trường hợp đặc biệt:

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow 0 } \right) = \alpha \) tùy ý, với \({0^ \circ } \le \alpha  \le {180^ \circ }\)

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {90^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u  \bot \overrightarrow v \) hoặc \(\overrightarrow v  \bot \overrightarrow u \). Đặc biệt: \(\overrightarrow 0  \bot \overrightarrow u \;\;\forall \overrightarrow u \;\)

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {0^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng hướng

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {180^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v \) ngược hướng

 

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO

+) Tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \): \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\)

+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u  \bot \;\overrightarrow v \;\;\)

+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow u \;\; = {\overrightarrow u ^2} = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|.\cos {0^ \circ } = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}\)

 

3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

a) Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho \(\overrightarrow u (x;y)\) và \(\overrightarrow v  = (x';y')\).

Khi đó \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = xx' + yy'\)

Hệ quả:

+) \(\overrightarrow u  \bot \;\overrightarrow v \; \Leftrightarrow xx' + yy' = 0\)

+) \({\overrightarrow u ^2} = \overrightarrow u .\;\overrightarrow u \;\; = x.x + y.y = {x^2} + {y^2}\)

+) Tìm góc giữa hai vecto: \(\cos \left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\;\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\;\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{xx' + yy'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2}} }}\)

b) Công thức tính tích vô hướng khi biết độ dài:

Theo định lí cosin: \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}\)

 c) Tính chất

Cho 3 vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow w \) bất kì và mọi số thực k, ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = \overrightarrow v .\;\overrightarrow u \;\\\overrightarrow u .\;\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow w \;} \right)\; = \overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \overrightarrow u .\;\overrightarrow w \;\\\left( {k\overrightarrow u } \right).\overrightarrow v  = k.\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;} \right) = \overrightarrow u .\;\left( {k\overrightarrow v \;} \right)\end{array}\)

Hệ quả

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u .\;\left( {\overrightarrow v  - \overrightarrow w \;} \right)\; = \overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; - \overrightarrow u .\;\overrightarrow w \\{\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)^2}\;\; = {\overrightarrow u ^2} + 2\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \;{\overrightarrow v ^2};\;\;{\left( {\overrightarrow u  - \overrightarrow v } \right)^2}\;\; = {\overrightarrow u ^2} - 2\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \;{\overrightarrow v ^2}\\\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)\left( {\overrightarrow u  - \overrightarrow v } \right) = {\overrightarrow u ^2} - {\overrightarrow v ^2}\end{array}\)

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close