Giải mục 3 trang 68, 69, 70 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho hai vectơ cùng phương u=(x;y) và v=(kx;ky) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương u=(x;y) và v=(x';y'). Tích vô hướng và góc giữa hai vectơ u=(0; - 5), v= Cho ba vectơ u = (x1;y1), v=(x2;y2), w=x3;y3 Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác. Một lực F không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B.

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ2

Cho hai vectơ cùng phương u=(x;y)u=(x;y)v=(kx;ky)v=(kx;ky). Hãy kiểm tra công thức u.v=k(x2+y2)u.v=k(x2+y2) theo từng trường hợp sau:

a) u=0u=0

b) u0u0k0k0

c) u0u0k<0k<0

Phương pháp giải:

Tính tích vô hướng bằng công thức: u.v=|u|.|v|.cos(u,v)u.v=u.v.cos(u,v)

Lời giải chi tiết:

a) Vì u=0u=0 nên uu vuông góc với mọi vv.

Như vậy u.v=0u.v=0

Mặt khác: u=0x=y=0u=0x=y=0

k(x2+y2)=0=u.vk(x2+y2)=0=u.v

b) Vì u0u0k0k0 nên uuvvcùng hướng.

(u,v)=0ocos(u,v)=1(u,v)=0ocos(u,v)=1

u.v=|u|.|v|=x2+y2.(kx)2+(ky)2=x2+y2.|k|.x2+y2=k(x2+y2)

(|k|= k do k > 0)

c) Vì u0k<0 nên uvngược hướng.

(u,v)=180ocos(u,v)=1

u.v=|u|.|v|=x2+y2.(kx)2+(ky)2=x2+y2.|k|.x2+y2=k(x2+y2).

HĐ3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương u=(x;y)v=(x;y).

a) Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho OA=u,OB=v.

b) Tính AB2,OA2,OB2 theo tọa độ của A và B.

c) Tính OA.OB theo tọa độ của A, B.

Lời giải chi tiết:

a) Vì OA=u=(x;y) nên A(x; y).

Tương tự: do OB=v=(x;y) nên B (x’; y’)

b) Ta có: OA=(x;y)OA2=|OA|2=x2+y2.

OB=(x;y)OB2=|OB|2=x2+y2.

Lại có: AB=OBOA=(x;y)(x;y)=(xx;yy)

AB2=|AB|2=(xx)2+(yy)2.

c) Theo định lí cosin trong tam giác OAB ta có:

cosˆO=OA2+OB2AB22.OA.OB

OA.OB=|OA|.|OB|.cos(OA,OB)=OA.OB.cosˆO

OA.OB=OA.OB.OA2+OB2AB22.OA.OB=OA2+OB2AB22

OA.OB=x2+y2+x2+y2(xx)2(yy)22OA.OB=(2x.x)(2y.y)2=x.x+y.y

Luyện tập 3

Tích vô hướng và góc giữa hai vectơ u=(0;5),v=(3;1)

Phương pháp giải:

Cho u=(x;y)v=(x;y), khi đó: u.v=x.x+y.y

Lời giải chi tiết:

 Ta có: u=(0;5),v=(3;1)

u.v=0.3+(5).1=5.

HĐ4

Cho ba vectơ u=(x1;y1),v=(x2;y2),w=(x3;y3).

a) Tính u.(v+w),u.v+u.w theo tọa độ của các vectơ u,v,w.

b) So sánh u.(v+w)u.v+u.w

c) So sánh u.vv.u

Phương pháp giải:

Cho u=(x;y)v=(x;y), khi đó: u.v=x.x+y.y

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: u=(x1;y1),v=(x2;y2),w=(x3;y3).

v+w=(x2;y2)+(x3;y3)=(x2+x3;y2+y3)u.(v+w)=x1.(x2+x3)+y1.(y2+y3)

Và: u.v+u.w=(x1.x2+y1.y2)+(x1.x3+y1.y3)=x1.x2+y1.y2+x1.x3+y1.y3.

b) Vì x1.x2+y1.y2+x1.x3+y1.y3=(x1.x2+x1.x3)+(y1.y2+y1.y3)=x1.(x2+x3)+y1.(y2+y3)

Nên u.(v+w)=u.v+u.w

c) Ta có: u=(x1;y1),v=(x2;y2)

{u.v=x1.x2+y1.y2v.u=x2.x1+y2.y1u.v=v.u

Luyện tập 4

Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng AH.BC=0BH.CA=0

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a)  uvu.v=0

b) Lập hệ PT biết AH.BC=0BH.CA=0.

c) Nếu vectơ AB(x;y) thì |AB|=x2+y2

Lời giải chi tiết:

a) AHBCBHCA

(AH,BC)=90ocos(AH,BC)=0 . Do đó AH.BC=0

Tương tự suy ra BH.CA=0.

b) Gọi H có tọa độ (x; y)

{AH=(x(1);y2)=(x+1;y2)BH=(x8;y(1))=(x8;y+1)

Ta có: AH.BC=0BC=(88;8(1))=(0;9)

(x+1).0+(y2).9=09.(y2)=0y=2.

Lại có: BH.CA=0CA=(18;28)=(9;6)

(x8).(9)+(y+1).(6)=09x+72+3.(6)=09x+54=0x=6.

Vậy H có tọa độ (6; 2)

c) Ta có: AB=(8(1);12)=(9;3)AB=|AB|=92+(3)2=310

Và  BC=(0;9)BC=|BC|=02+92=9;

CA=(9;6)AC=|CA|=(9)2+(6)2=313.

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

cosˆA=b2+c2a22bc=(313)2+(310)2(9)22.313.3100,614ˆA52,125o

cosˆB=a2+c2b22ac=(9)2+(310)2(313)22.9.310=1010ˆB71,565o

ˆC56,31o

Vậy tam giác ABC có: a=9;b=313;c=310; ˆA52,125o;ˆB71,565o;ˆC56,31o.

Vận dụng

Một lực F không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực F được phân tích thành hai lực thành phần là F1F2 (F=F1+F2).

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực F (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực F1F2.

b) Giả sử các lực thành phần F1, F2tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực F và lực F1.

Phương pháp giải:

Khi lực F không đổi tác dụng lên một vật và điểm đặt chuyển dời một đoạn s theo hướng hợp với hướng của lực góc α thì công sinh bởi lực đó là: A=F.s.cosα

Lời giải chi tiết:

a)

 

Gọi A,A1,A2 lần lượt là công sinh bởi lực F, F1F2.

Ta cần chứng minh: A=A1+A2

Xét lực F, công sinh bởi lực F là: A=|F|.AB.cos(F,AB)=F.AB

Tương tự, ta có: A1=F1.AB, A2=F2.AB

Áp dụng tính chất của tích vô hướng ta có:

A1+A2=F1.AB+F2.AB=(F1+F2).AB=F.AB=A

b)

 

F2tương ứng vuông góc với phương chuyển động nên F2AB

Do đó: công sinh bởi lực F2 là: A2=F2.AB=0

A=A1+A2

A=A1

Vậy công sinh bởi lực F bằng công sinh bởi lực F1.

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

close