Giải mục 3 trang 68, 69, 70 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thứcCho hai vectơ cùng phương u=(x;y) và v=(kx;ky) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương u=(x;y) và v=(x';y'). Tích vô hướng và góc giữa hai vectơ u=(0; - 5), v= Cho ba vectơ u = (x1;y1), v=(x2;y2), w=x3;y3 Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác. Một lực F không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ2 Cho hai vectơ cùng phương →u=(x;y)→u=(x;y) và →v=(kx;ky)→v=(kx;ky). Hãy kiểm tra công thức →u.→v=k(x2+y2)→u.→v=k(x2+y2) theo từng trường hợp sau: a) →u=→0→u=→0 b) →u≠→0→u≠→0 và k≥0k≥0 c) →u≠→0→u≠→0 và k<0k<0 Phương pháp giải: Tính tích vô hướng bằng công thức: →u.→v=|→u|.|→v|.cos(→u,→v)→u.→v=∣∣→u∣∣.∣∣→v∣∣.cos(→u,→v) Lời giải chi tiết: a) Vì →u=→0→u=→0 nên →u→u vuông góc với mọi →v→v. Như vậy →u.→v=0→u.→v=0 Mặt khác: →u=→0⇔x=y=0→u=→0⇔x=y=0 ⇒k(x2+y2)=0=→u.→v⇒k(x2+y2)=0=→u.→v b) Vì →u≠→0→u≠→0 và k≥0k≥0 nên →u→u và →v→vcùng hướng. ⇒(→u,→v)=0o⇔cos(→u,→v)=1⇒(→u,→v)=0o⇔cos(→u,→v)=1 ⇒→u.→v=|→u|.|→v|=√x2+y2.√(kx)2+(ky)2=√x2+y2.|k|.√x2+y2=k(x2+y2) (|k|= k do k > 0) c) Vì →u≠→0 và k<0 nên →u và →vngược hướng. ⇒(→u,→v)=180o⇔cos(→u,→v)=−1 ⇒→u.→v=−|→u|.|→v|=−√x2+y2.√(kx)2+(ky)2=−√x2+y2.|k|.√x2+y2=k(x2+y2). HĐ3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương →u=(x;y) và →v=(x′;y′). a) Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho →OA=→u,→OB=→v. b) Tính AB2,OA2,OB2 theo tọa độ của A và B. c) Tính →OA.→OB theo tọa độ của A, B. Lời giải chi tiết: a) Vì →OA=→u=(x;y) nên A(x; y). Tương tự: do →OB=→v=(x′;y′) nên B (x’; y’) b) Ta có: →OA=(x;y)⇒OA2=|→OA|2=x2+y2. Và →OB=(x′;y′)⇒OB2=|→OB|2=x′2+y′2. Lại có: →AB=→OB−→OA=(x′;y′)−(x;y)=(x′−x;y′−y) ⇒AB2=|→AB|2=(x′−x)2+(y′−y)2. c) Theo định lí cosin trong tam giác OAB ta có: cosˆO=OA2+OB2−AB22.OA.OB Mà →OA.→OB=|→OA|.|→OB|.cos(→OA,→OB)=OA.OB.cosˆO ⇒→OA.→OB=OA.OB.OA2+OB2−AB22.OA.OB=OA2+OB2−AB22 ⇒→OA.→OB=x2+y2+x′2+y′2−(x′−x)2−(y′−y)22⇔→OA.→OB=−(−2x′.x)−(−2y′.y)2=x′.x+y′.y Luyện tập 3 Tích vô hướng và góc giữa hai vectơ →u=(0;−5),→v=(√3;1) Phương pháp giải: Cho →u=(x;y) và →v=(x′;y′), khi đó: →u.→v=x.x′+y.y′ Lời giải chi tiết: Ta có: →u=(0;−5),→v=(√3;1) ⇒→u.→v=0.√3+(−5).1=−5. HĐ4 Cho ba vectơ →u=(x1;y1),→v=(x2;y2),→w=(x3;y3). a) Tính →u.(→v+→w),→u.→v+→u.→w theo tọa độ của các vectơ →u,→v,→w. b) So sánh →u.(→v+→w) và →u.→v+→u.→w c) So sánh →u.→v và →v.→u Phương pháp giải: Cho →u=(x;y) và →v=(x′;y′), khi đó: →u.→v=x.x′+y.y′ Lời giải chi tiết: a) Ta có: →u=(x1;y1),→v=(x2;y2),→w=(x3;y3). ⇒→v+→w=(x2;y2)+(x3;y3)=(x2+x3;y2+y3)⇒→u.(→v+→w)=x1.(x2+x3)+y1.(y2+y3) Và: →u.→v+→u.→w=(x1.x2+y1.y2)+(x1.x3+y1.y3)=x1.x2+y1.y2+x1.x3+y1.y3. b) Vì x1.x2+y1.y2+x1.x3+y1.y3=(x1.x2+x1.x3)+(y1.y2+y1.y3)=x1.(x2+x3)+y1.(y2+y3) Nên →u.(→v+→w)=→u.→v+→u.→w c) Ta có: →u=(x1;y1),→v=(x2;y2) ⇒{→u.→v=x1.x2+y1.y2→v.→u=x2.x1+y2.y1⇔→u.→v=→v.→u Luyện tập 4 Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác. a) Chứng minh rằng →AH.→BC=→0 và →BH.→CA=→0 b) Tìm tọa độ của H. c) Giải tam giác ABC. Phương pháp giải: a) →u⊥→v⇔→u.→v=0 b) Lập hệ PT biết →AH.→BC=→0 và →BH.→CA=→0. c) Nếu vectơ →AB(x;y) thì |→AB|=√x2+y2 Lời giải chi tiết: a) AH⊥BC và BH⊥CA ⇒(→AH,→BC)=90o⇔cos(→AH,→BC)=0 . Do đó →AH.→BC=→0 Tương tự suy ra →BH.→CA=→0. b) Gọi H có tọa độ (x; y) ⇒{→AH=(x−(−1);y−2)=(x+1;y−2)→BH=(x−8;y−(−1))=(x−8;y+1) Ta có: →AH.→BC=→0 và →BC=(8−8;8−(−1))=(0;9) (x+1).0+(y−2).9=0⇔9.(y−2)=0⇔y=2. Lại có: →BH.→CA=→0 và →CA=(−1−8;2−8)=(−9;−6) (x−8).(−9)+(y+1).(−6)=0⇔−9x+72+3.(−6)=0⇔−9x+54=0⇔x=6. Vậy H có tọa độ (6; 2) c) Ta có: →AB=(8−(−1);−1−2)=(9;−3)⇒AB=|→AB|=√92+(−3)2=3√10 Và →BC=(0;9)⇒BC=|→BC|=√02+92=9; →CA=(−9;−6)⇒AC=|→CA|=√(−9)2+(−6)2=3√13. Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có: cosˆA=b2+c2−a22bc=(3√13)2+(3√10)2−(9)22.3√13.3√10≈0,614⇒ˆA≈52,125o cosˆB=a2+c2−b22ac=(9)2+(3√10)2−(3√13)22.9.3√10=√1010⇒ˆB≈71,565o ⇒ˆC≈56,31o Vậy tam giác ABC có: a=9;b=3√13;c=3√10; ˆA≈52,125o;ˆB≈71,565o;ˆC≈56,31o. Vận dụng Một lực →F không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực →F được phân tích thành hai lực thành phần là →F1 và →F2 (→F=→F1+→F2). a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực →F (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực →F1 và →F2. b) Giả sử các lực thành phần →F1, →F2tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực →F và lực →F1. Phương pháp giải: Khi lực →F không đổi tác dụng lên một vật và điểm đặt chuyển dời một đoạn s theo hướng hợp với hướng của lực góc α thì công sinh bởi lực đó là: A=F.s.cosα Lời giải chi tiết: a)
Gọi A,A1,A2 lần lượt là công sinh bởi lực →F, →F1 và →F2. Ta cần chứng minh: A=A1+A2 Xét lực →F, công sinh bởi lực →F là: A=|→F|.AB.cos(→F,→AB)=→F.→AB Tương tự, ta có: A1=→F1.→AB, A2=→F2.→AB Áp dụng tính chất của tích vô hướng ta có: A1+A2=→F1.→AB+→F2.→AB=(→F1+→F2).→AB=→F.→AB=A b)
Vì →F2tương ứng vuông góc với phương chuyển động nên →F2⊥→AB Do đó: công sinh bởi lực →F2 là: A2=→F2.→AB=0 Mà A=A1+A2 ⇒A=A1 Vậy công sinh bởi lực →F bằng công sinh bởi lực →F1.
Quảng cáo
|