Giải bài tập 6.30 trang 23 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho phương trình \(3{x^2} - x - 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

A = \(\left( {3{x_1} - 1} \right)(3{x_2} - 1)\)

B = \({x_1}^2 + {x_2}^2\)

Lời giải chi tiết

Phương trình \(3{x^2} - x - 1 = 0\) có a = 3; b = -1, c = -1.

\(\Delta  = {( - 1)^2} - 4.3.( - 1) = 13 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Ta có \(S = {x_1} + {x_2} = \frac{1}{3},P = {x_1}{x_2} =  - \frac{1}{3}\).

A = \(\left( {3{x_1} - 1} \right)(3{x_2} - 1) = 9{x_1}{x_2} - 3{x_1} - 3{x_2} + 1\)

\(\begin{array}{l} = 9{x_1}{x_2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1\\ = 9.\left( { - \frac{1}{3}} \right) - 3.\frac{1}{3} + 1\\ =  - 3\end{array}\)

B = \({x_1}^2 + {x_2}^2\)

Ta có \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2\)

Suy ra \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = \frac{1}{3} - 2.\left( { - \frac{1}{3}} \right) = 1.\)