Bài 7.2 phần bài tập bổ sung trang 91 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD ,\) các đường chéo cắt nhau tại \(O.\) Gọi \(E, F\) theo thứ tự là trung điểm của \(OD, OB.\) Gọi \(K\) là giao điểm của \(AE\) và \(CD.\) Chứng minh rằng:

\(a)\) \(AE\) song song \(CF\)

\(b)\) \(DK =\displaystyle {1 \over 2}KC\)

Lời giải chi tiết

\(a)\) Vì ABCD là hình bình hành nên \(OB = OD\) (tính chất hình bình hành)

\(OE = \displaystyle {1 \over 2}OD\;\; \) (vì E là trung điểm của OD)

\(OF =\displaystyle  {1 \over 2}OB\;\;\) (vì F là trung điểm của OB)

Suy ra: \(OE = OF\)

Xét tứ giác \(AECF,\) ta có:

\(OE = OF\) (chứng minh trên)

\(OA = OC\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành)

Suy ra: Tứ giác \(AECF\) là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường )

\(⇒ AE // CF\)

\(b)\) Kẻ \(OM // AK\)

Trong \(∆ CAK\) ta có:

\(OA = OC\) ( chứng minh trên)

\(OM // AK\) ( theo cách vẽ)

\(⇒ CM = MK\) (tính chất đường trung bình của tam giác) \((1)\)

Trong \(∆ DMO\) ta có:

\(DE = EO \;\;\) (vì E là trung điểm của OD) 

\(EK // OM\) (do \(OM // AK\))

\(⇒ DK = KM\) (tính chất đường trung bình của tam giác) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(DK = KM = MC\)

\(⇒ DK  = \displaystyle {1 \over 2}KC\)

Loigiaihay.com