Bài 67 trang 42 SBT toán 8 tập 1

LG a

Rút gọn rồi tìm giá trị của $x$ để biểu thức $\displaystyle {{{x^2}} \over {x - 2}}.\left( {{{{x^2} + 4} \over x} - 4} \right) + 3$ có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.

Phương pháp giải:

- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc để rút gọn biểu thức.

- Vận dụng kiến thức đã cho ở đầu bài và chứng minh. 

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle {{{x^2}} \over {x - 2}}.\left( {{{{x^2} + 4} \over x} - 4} \right) + 3$ (điều kiện $x \ne 2$ và $x \ne 0$ ) 

$\displaystyle = {{{x^2}} \over {x - 2}}.{{{x^2} + 4 - 4x} \over x} + 3$

$\displaystyle = {{{x^2}} \over {x - 2}}.{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \over x} + 3$

$= x\left( {x - 2} \right) + 3$

$= {x^2} - 2x +3$

$= {x^2} - 2x + 1 + 2$

$= {\left( {x - 1} \right)^2} + 2$

Ta có: ${\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0$ $\Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2$ với mọi giá trị của $x$

Nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng $2$ khi $x = 1$.

Mà $x = 1$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng $2$ tại $x = 1$.

LG b

Rút gọn rồi tìm giá trị của $x$ để biểu thức $\displaystyle {{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.\left( {1 - {{{x^2}} \over {x + 2}}} \right)$$-\displaystyle  {{{x^2} + 6x + 4} \over x}$ có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.

Phương pháp giải:

- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc để rút gọn biểu thức.

- Vận dụng kiến thức đã cho ở đầu bài và chứng minh. 

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle {{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.\left( {1 - {{{x^2}} \over {x + 2}}} \right)$$-\displaystyle  {{{x^2} + 6x + 4} \over x}$ (điều kiện $x \ne 0$ và $x \ne  - 2$)

$\displaystyle = {{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.{{x + 2 - {x^2}} \over {x + 2}}$$-\displaystyle  {{{x^2} + 6x + 4} \over x}$

$\displaystyle = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 2 - {x^2}} \right)} \over x}$$-\displaystyle  {{{x^2} + 6x + 4} \over x}$

$\displaystyle  = {{{x^2} + 2x - {x^3} + 2x + 4 - 2{x^2} - {x^2} - 6x - 4} \over x}$

$\displaystyle = {{ - {x^3} - 2{x^2} - 2x} \over x}$

$\displaystyle  = {{ - x\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)} \over x}$ 

$=  - \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)$

$=  - \left[ {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 1} \right]$

$=  - \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1} \right]$

$=  - {\left( {x + 1} \right)^2} - 1$

Vì ${\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0$ $\Rightarrow  - {\left( {x + 1} \right)^2} \le 0$ $\Rightarrow  - {\left( {x + 1} \right)^2} - 1 \le  - 1$

Nên biểu thức có giá trị lớn nhất bằng $– 1$ khi $x = - 1$.

Mà $x = - 1$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng $– 1$ tại $x = - 1$.

Loigiaihay.com